2022年北京大兴初二（上）期末数学试卷及答案

1/12022北京大兴初二（上）期末数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.飞沫一般认为是直径大于5微米（5微米＝0.000005米）的含水颗粒．飞沫传播是新型冠状病毒的主要传播途径之一，日常面对面说话、咳嗽、打喷嚏都可能造成飞沫传播．因此有效的预防措施是戴口罩并尽量与他人保持1米以上社交距离．将0.000005用科学记数法表示应为（）．A. B. C. D.2.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.在代数式，，，，中，分式的个数为（）．A.2 B.3 C.4 D.54.下列运算正确的是（）．A. B.C. D.5.下列因式分解正确是（）．A. B.C D.6.若一个多边形外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形7.下列三个说法：①有一个内角是30°，腰长是6两个等腰三角形全等；②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等；③有两条边长分别为5，12的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（）．A.3 B.2 C.1 D.08.将一个长为2m，宽为的长方形纸片，用剪刀沿图1中虛线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形纸片，然后按图2的方式拼成一个边长为的正方形，则图2中空白部分的小正方形面积是（）．

A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若分式有意义，则x的取值范围是______．10.分解因式：__________．11.若是完全平方式，则k的值等于______．12.若，且，则分式中的值为______．13.如图，在中，，，，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则的最小值是______．14.甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x个零件，则可列方程______．15.如图，在中，，，交BC于点D．若，则______．

16.如图，在中，，交BC的延长线于点E，若，点C是BE中点，则______°．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：．18.计算：．19.已知，求代数式的值．20.计算：．21.解方程：．22.如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．

（1）求证：；（2）若，求的度数．23.下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a和线段b．求作：，使得，，BC边上的中线为b．作法：如图2，①作射线BM，并在射线BM上截取；②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于点D；③以点D为圆心，b为半径作弧，交PQ于点A；④连接AB和AC．则为所求作的等腰三角形．（1）用直尺和圆规，依作法补全图2中的图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知，．∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，∴（______）（填推理的依据）．又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于点D，∴．∴AD为BC边上的中线．24.如图，在中，AD平分，于点E．求证：．25.如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．求证：．26.观察下列各式：；；．（1）请你按照以上各式的运算规律，填空．①______；②（______）；③（______）．（2）应用规律计算：．27.在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F．（1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是______．（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：．（3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是______．

28.在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：点P到图形上各点的最短距离为，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”．已知点，．（1）在点，，中，______是点A和点O的“等距点”；（2）在点，，中，______是线段OA和OB的“等距点”；（3）点为x轴上一点，点P既是点A和点C的“等距点”，又是线段OA和OB的“等距点”．①当时，是否存在满足条件的点P，如果存在请求出满足条件的点P的坐标，如果不存在请说明理由；②若点P在内，请直接写出满足条件的m的取值范围．

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.飞沫一般认为是直径大于5微米（5微米＝0.000005米）的含水颗粒．飞沫传播是新型冠状病毒的主要传播途径之一，日常面对面说话、咳嗽、打喷嚏都可能造成飞沫传播．因此有效的预防措施是戴口罩并尽量与他人保持1米以上社交距离．将0.000005用科学记数法表示应为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将0.000005写成a×10n（1＜|a|＜10，n为整数）的形式即可．【详解】解：0.000005=5×10-6．故选D．【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成a×10n（1＜|a|＜10，n为整数）的形式，确定a、n的值成为解答本题的关键．2.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，故此选项错误．

故选C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.在代数式，，，，中，分式的个数为（）．A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】根据分式的定义解答即可．【详解】解：、的分母中含字母，是分式，、、的分母中不含字母，不是分式，故选：A．【点睛】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式．4.下列运算正确的是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除逐项判断即可求解．【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；B、，故本选项正确，符合题意；C、，故本选项错误，不符合题意；D、，故本选项错误，不符合题意；故选：B【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除，熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除法则是解题的关键．5.下列因式分解正确的是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式和平方差公式以及提公因式法分解因式对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、，故本选项错误；

B、，故本选项错误；

C、，故本选项正确；

D、，故本选项错误．

故选：C．【点睛】本题考查了公式法分解因式，提公因式法分解因式，熟记公式结构是解题的关键，分解因式要彻底．6.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形【答案】B【解析】【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可．【详解】解：设多边形的边数为n．

根据题意得：（n−2）×180°＝360°，

解得：n＝4．

故选：B．【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．7.下列三个说法：①有一个内角是30°，腰长是6的两个等腰三角形全等；②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等；③有两条边长分别为5，12的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（）．A.3 B.2 C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】根据三角形全等的判定方法，等腰三角形的性质和直角三角形的性质判断即可．【详解】解：①当一个是底角是30°，一个是顶角是30°时，两三角形就不全等，故本选项错误；②有一个内角是120°，底边长是3的两个等腰三角形全等，本选项正确；

③当一条直角边为12，一条斜边为12时，两个直角三角形不全等，故本选项错误；正确的只有1个，

故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．8.将一个长为2m，宽为的长方形纸片，用剪刀沿图1中虛线剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形纸片，然后按图2的方式拼成一个边长为的正方形，则图2中空白部分的小正方形面积是（）．

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可得图2中空白部分的小正方形面积等于大正方形的面积减去图1中长方形的面积，即可求解．【详解】解：根据题意得：图2中空白部分的小正方形面积是．故选：D【点睛】本题主要考查了完全平方公式与几何图形，利用数形结合思想解答是解题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.若分式有意义，则x的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】利用分式有意义的条件：分母不能为0，即可求出答案．【详解】解：分式有意义，故有，，故答案为：．【点睛】本题主要是考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，是解决该题的关键．10.分解因式：__________．【答案】【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：．

故答案为．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．11.若是完全平方式，则k的值等于______．【答案】【解析】【分析】这里首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和积的2倍．【详解】解：，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，注意积的2倍的符号，避免漏解．12.若，且，则分式中的值为______．【答案】2【解析】【分析】直接利用已知代入分式化简得出答案．【详解】解：∵a−3b＝0，且a≠0，∴a＝3b，则分式＝＝＝2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了分式化简求值，正确对式子进行变形，化简求值是解决本题的关键．在解题过程中要注意思考已知条件的作用．13.如图，在中，，，，EF是AC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则的最小值是______．【答案】4【解析】【分析】先根据∠A=90°，∠C=30°，AB=2，求出BC的长，再根据线段的垂直平分线的性质可得AF=FC，最后根据两点之间线段最短即可求解．【详解】解：如图，连接AF，∵EF是AC的垂直平分线，∴AF=FC，∵∠A=90°，∠C=30°，AB=2，∴BC=4，∵根据两点之间线段最短，∴PA+PB=PB+PC=BC，最小，此时点P与点F重合，∴PA+PB的最小值是BC的长，即为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了在直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半和轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．14.甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做x个零件，则可列方程______．【答案】【解析】【分析】设甲每天做x个零件，则乙每天做个零件，根据“甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，”列出方程，即可求解．【详解】解：设甲每天做x个零件，则乙每天做个零件，根据题意得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．15.如图，在中，，，交BC于点D．若，则______．

【答案】9【解析】【分析】根据，，可得∠BAD=30°，从而得到AD=BD=3，∠ADC=∠B+∠BAD=60°，进而得到∠C=30°，从而得到CD=2AD=6，即可求解．【详解】解：∵，∴∠CAD=90°，∵，∴∠BAD=30°，∵，∴AD=BD=3，∠ADC=∠B+∠BAD=60°，∴∠C=90°-∠ADC=30°，∴CD=2AD=6，∴BC=BD+CD=9．故答案为：9【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．16.如图，在中，，交BC的延长线于点E，若，点C是BE中点，则______°．

【答案】67.5°##67.5度【解析】【分析】连接AE，先得出∠BAC=∠BAE，再根据，得出∠BAC=22.5°，最后得出结果．【详解】解：连接AE，∵点C是BE中点，∴BC=CE，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BE，∴AB=AE，∴∠BAC=∠BAE，∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∵，∴∠AED=∠DAE=45°，∴∠BAC=∠BAE=22.5°，∴∠B=90°-∠BAC=67.5°．故答案为：67.5°．

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：．【答案】12【解析】【分析】根据乘方，零指数幂，二次根式及负指数幂进行计算即可，【详解】解：原式=9-1+2+2=12．【点睛】本题考查了乘方，零指数幂，二次根式化简及负指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则．18.计算：．【答案】【解析】【分析】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则依次计算后将结果相加即可．【详解】解：a3⋅a+(−3a3)2÷a2=a4+9a6÷a2=a4+9a4=10a4【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式乘法中的同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则，以及整式的同底数幂的除法法则、合并同类项法则是解题的关键．19.已知，求代数式的值．【答案】代数式值为9．【解析】【分析】先把变形为，然后利用完全平方公式以及多项式乘多项式，将式子去括号展开，并合并同类项，然后将整体代入化简的式子中求值即可．【详解】解：由可得：，原式，故该代数式的值为9．【点睛】本题主要是考查了完全平方公式以及多项式乘多项式、整体代入法求解代数式值，熟练利用完全平方公式以及多项式乘多项式，把整式进行化简，这是解决该题的关键．20.计算：．【答案】a+1【解析】【分析】根据分式的除法法则和减法，先计算除法、后计算减法即可.【详解】解：====a+1．【点睛】本题考查了分式的混合运算，把分式因式分解化为最简再计算是解题关键．21.解方程：．【答案】【解析】【分析】去分母化为整式方程，然后求解方程并检验即可．【详解】解：分式两边同乘得：，整理化简得：，解得：，检验，当，．是原分式方程的解．【点睛】本题主要是考查了解分式方程，正确地去分母，把分式方程化成整式方程，是求解的关键．22.如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F．

（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【解析】【分析】（1）根据≌，可得∠BAC=∠DAE，即可求证；（2）由（1）可得∠CAE=35°，再由≌，可得∠C=∠AED，然后根据三角形外角的性质，可得∠BED=∠CAE，即可求解．【详解】（1）证明：∵≌，∴∠BAC=∠DAE，即∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE，∴；（2）∵，，∴∠CAE=35°，∵≌，∴∠C=∠AED，∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠AEB=∠AED+∠BED，∴∠BED=∠CAE=35°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．23.下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的中线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：如图1，线段a和线段b．求作：，使得，，BC边上的中线为b．作法：如图2，①作射线BM，并在射线BM上截取；②作线段BC的垂直平分线PQ，PQ交BC于点D；③以点D圆心，b为半径作弧，交PQ于点A；④连接AB和AC．则为所求作的等腰三角形．（1）用直尺和圆规，依作法补全图2中的图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知，．∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，∴（______）（填推理的依据）．又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于点D，∴．∴AD为BC边上的中线．【答案】(1)见详解；（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【解析】【分析】（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形即可；

（2）根据线段的垂直平分线的性质即可证明．【详解】解：（1）△ABC即为所求作的图形，如图所示：

（2）证明：由作图可知BC=a，AD=b．

∵PQ为线段BC的垂直平分线，点A在PQ上，

∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）．

又∵线段BC的垂直平分线PQ交BC于D，

∴BD=CD．（中点定义）．

∴AD为BC边上的中线，且AD=b．

故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是准确画图．24.如图，在中，AD平分，于点E．求证：．【答案】证明见解析.【解析】分析】延长CE交AB于F，求出∠AEC＝∠AEF，∠FAE＝∠CAE，根据ASA证△FAE≌△CAE，推出∠ACE＝∠AFC，根据三角形外角性质得出∠AFC＝∠B＋∠ECD，代入即可．【详解】证明：延长CE交AB于F，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝∠AEF，∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠CAE，△FAE和△CAE中，∵，∴△FAE≌△CAE（ASA），∴∠ACE＝∠AFC，∵∠AFC＝∠B＋∠ECD，∴∠ACE＝∠B＋∠ECD．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，关键是作辅助线后求出∠AFC＝∠ACE．25.如图，为等边三角形，D是BC中点，，CE是的外角的平分线．求证：．【答案】证明见解析.【解析】【分析】过D作DG∥AC交AB于G，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDG＝∠BGD＝60°，于是得到△BDG是等边三角形，再证明△AGD≌△DCE即可得到结论.【详解】证明：过D作DG∥AC交AB于G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，又∵DG∥AC，∴∠BDG＝∠BGD＝60°，∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180°−∠BGD＝120°，∴DG＝BD，∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，∴DG＝CD，∵EC是△ABC外角的平分线，∴∠ACE＝（180°−∠ACB）＝60°，∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°＝∠AGD，∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，又∵∠BDG＝60°，∠ADE＝60°，∴∠ADG＝∠EDC＝30°，在△AGD和△ECD中，，∴△AGD≌△ECD（ASA）．∴AD＝DE．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．26.观察下列各式：；；．（1）请你按照以上各式的运算规律，填空．①______；②（______）；③（______）．（2）应用规律计算：．【答案】（1）①②③（2）【解析】【分析】（1）利用题目中所给式子的运算规律，即可得出正确答案．（2）先将因式分解，分别和后面两项进行运算，最后利用平方差公式求出答案即可．【详解】（1）解：由题目所给式子的规律可得：①；②（）；③（）．（2）解：原式【点睛】本题主要是考查了利用规律进行整式的乘法运算以及平方差公式，通过题目所给式子，找到规律，并利用规律进行运算，这是解决该题的关键．27.在中，，，点D是直线AC上一动点，连接BD并延长至点E，使．过点E作于点F．（1）如图1，当点D在线段AC上（点D不与点A和点C重合）时，此时DF与DC的数量关系是______．（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，依题意补全图形，并证明：．（3）当点D在线段CA的延长线上时，直接用等式表示线段AD，AF，EF之间的数量关系是______．

【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）利用边相等和角相等，直接证明，即可得到结论．（2）利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立．（3）要证明，先利用边相等和角相等，直接证明，得到和，最后通过边与边之间的关系，即可证明结论成立．【详解】（1）解：，，，在和中，，．（2）解：当点D在线段AC的延长线上时，如下图所示：，，，在和中，，，，．（3）解：，如下图所示：，，，在和中，，，，．【点睛】本题主要是考查了三角形全等的判定和性质，熟练利用条件证明三角形全等，然后利用边相等以及边与边之间关系，即可证明结论成立，这是解决该题的关键．28.在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：点P到图形上各点的最短距离为，点P到图形上各点的最短距离为，若，就称点P是图形和图形的一个“等距点”．已知点，．（1）在点，，中，______是点A和点O的“等距点”；（2）在点，，中，____