2023-2024学年重庆市高二数学下学期4月检测试卷附答案解析

-2024学年重庆市高二数学下学期4月检测试卷试卷满分150分，考试用时120分钟2024.4一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（

）A．2 B．-1 C．1 D．2．已知曲线在点处的切线方程为，则a的值是（

）A． B．-2 C． D．23．树人中学国旗班共有50名学生，其中男女比例，平均身高174cm，用等比例分层随机抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，若样本中男生的平均身高为178cm，样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为(

)A．8人

168cm B．8人

170cm C．12人

168cm D．12人

170cm4．函数的图像大致为()A．B．C．D．5．已知是数列的前项和，且满足，，则（

）A． B． C． D．6．志愿团安排去甲､乙､丙､丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远.他们共有多少种不同的安排方法（

）A．14 B．12 C．24 D．287．已知、为双曲线的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于、两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，若，则此双曲线离心率的值为（

）A． B． C． D．8．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线10．已知长轴长、短轴长和焦距分别为和的椭圆，点是椭圆与其长轴的一个交点，点是椭圆与其短轴的一个交点，点和为其焦点，．点在椭圆上，若，则（

）A．成等差数列B．成等比数列C．椭圆的离心率D．的面积不小于的面积11．已知函数的图象与直线有三个交点，记三个交点的横坐标分别为，且，则下列说法正确的是（

）A．存在实数，使得B．C．D．为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若等差数列和等比数列满足，，则.13．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为．14．关于的不等式恒成立，则的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩（满分100分），其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；(2)估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；(3)若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．16．已知数列的前n项和为，且．(1)求，并求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列前20项的和．17．已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．18．已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点相同，点的坐标分别为是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为．(1)求抛物线的标准方程；(2)求证：当点在抛物线上变动时（只要点存在，且点与点不重合），直线恒过定点，并求出定点坐标．19．已知函数，，.(1)判断是否对恒成立，并给出理由；(2)证明：①当时，；②当，时，.1．D【分析】利用导数的定义及几何意义进行求解.【详解】由导数的几何意义，点处的切线斜率为，因为时，，所以，所以在点处的切线斜率为，故选：D.2．D【分析】对函数求导得到导函数，曲线在点处的切线的斜率为：，进而得到参数值.【详解】曲线，求导得到曲线在点处的切线的斜率为：故选：D3．A【分析】根据分层抽样的概念求出样本女生人数，根据平均数的计算法即可求样本中女生的身高估计值．【详解】由题意可知，样本中男生人数为，女生人数为8，则样本中女生的平均身高为．故选：A．4．B【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．5．D【分析】求出的值，由可得出，分析可知数列从第二项开始成以为公比的等比数列，由此可求得的值.【详解】由已知可得，当时，由可得，两式作差可得，则，所以，数列从第二项开始成以为公比的等比数列，则.故选：D.6．A【分析】由去丁扶贫点的先后顺序入手利用加法原理求出结果.【详解】解：根据题意丁扶贫点不能是最后一个去，有以下两类安排方法：①丁扶贫点最先去，有种安排方法；②丁扶贫点安排在中间位置去，有种安排方法，综合①②知共有种安排方法.故选：A.7．D【分析】设的内切圆为圆，该圆切、、于点、、，设的内切圆为圆，推导出，可得出，即可得、所满足的等式，即可求得该双曲线的离心率的值.【详解】设的内切圆为圆，该圆切、、于点、、，设的内切圆为圆，如下图所示：

由切线长定理可得，，，则，即，所以，，则，由圆的几何性质可知，轴，可知，，同理可知，，所以，、、三点共线，且轴，因为，，，所以，，所以，，同理可得，，所以，，所以，，所以，，即，即，即，因为，所以，，可得，故该双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.8．C【详解】试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．9．AC【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.10．BD【分析】根据给定条件，利用垂直关系计算判断ABC；计算三角形的面积，再比较大小判断D.【详解】依题意，椭圆方程为，由对称性不妨设，，，对于，由，得，因此，即成等比数列，A错误，B正确；对于C，由，，得，则，而，因此离心率，C错误；对于D，由椭圆定义得，，，由，得，即，则，，又，因此，所以的面积不小于的面积，D正确.故选：BD11．BCD【分析】化简方程，令，得，构造，则，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于x的方程三个不相等的实数解，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后对选项一一判断即可得出答案．【详解】由方程，可得．令，则有，即．令函数，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，且，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，且，或，，令，若，，则故．若，，则，无解，综上：，故C正确；由图结合单调性可知，故B正确；若，则，又，故A不正确；，故D正确，故选：BCD．【点睛】关键点点睛：构造，判断出函数的单调性，结合图象将，转化成关于t的函数即可求解.12．【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件求出、的值，进而求出和的值，由此可得出的值.【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为和，则，求得，，那么，故答案为.【考点】等差数列和等比数列【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.13．【分析】先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出结果.【详解】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为．【整体点评】根据三角形面积公式先求出母线长，再根据线面角求出底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求出侧面积，思路直接自然，是该题的最优解．14．【分析】由，得，利用导数证明，则问题转化为恒成立，即可得解.【详解】令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，由，得，而，令，则，所以，若，如图作出函数的图象，

由函数图象可知，方程有唯一实数根，即，由，得，即，当时，，即，又，，所以，所以不成立，即当时，不恒成立，综上所述，的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．15．(1)(2)(3)【分析】（1）由频率分布直方图求出成绩在内的频率，即可估计人数；（2）根据百分位数计算规则计算可得；（3）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解.【详解】（1）由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为，则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为人；（2）由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，所以成绩在分以下的学生所占的比例为，成绩在分以下的学生所占的比例为，所以成绩的分位数一定在内，即，因此估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数为；（3）因为，，，所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人，其中有人为航天达人，设为，有人不是航天达人，设为，则从6人中选择2人作为学生代表，有，共种，其中2人均为航天达人为共种，所以被选中的2人均为航天达人的概率为．16．(1)，，(2)【分析】（1）在已知条件中分别取,可求得的值，当时利用和与项的一般关系得到，从而判定数列为等差数列，然后得到通项公式；（2）利用分段求和法、等差数列求和公式和裂项求和法求得数列前20项的和．【详解】（1）解：由题可知，，解得.在中令,得,解得；∵①,∴②,由①－②得：，即,∴．∴数列是首项与公差都为2的等差数列,∴.（2）解：题可知，当时，,∴.当时，,∴,∴.17．（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.18．(1)(2)证明见解析，定点坐标为【分析】（1）由已知求得椭圆右焦点坐标及抛物线焦点坐标，进而可求得结果.（2）设出，，坐标，由，，三点共线可得，进而可得，同理可得，分别写出与时直线EP的方程即可求得定点.【详解】（1）由题意知，，，则，所以椭圆的右焦点为，又抛物线焦点为，所以，即，所以抛物线的标准方程为．（2）证明：如图所示，设，，，则，．由，，三点共线可得，即，化简，得．所以．同理：由，，三点共线可得．①当，即时，直线EP的斜率存在，此时，所以直线EP的方程为，即，整理得．所以直线EP恒过定点，定点坐标为．②当，即时，直线EP的斜率不存在，