2023-2024学年新疆乌鲁木齐高二（上）第一次诊断数学试卷

2023-2024学年新疆乌鲁木齐高二（上）第一次诊断数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1．（5分）直线的倾斜角为（）A．﹣30° B．60° C．120° D．150°2．（5分）若已知点M（3，4，1），点N（0，0，1），则线段MN的长为（）A．5 B．0 C．3 D．13．（5分）直线l过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围（）A．[0，] B．[0，1] C．[0，2] D．（0，）4．（5分）若＝（1，λ，2），＝（2，﹣1，2），＝（1，4，4），且，，共面，则λ＝（）A．1 B．﹣1 C．1或2 D．±15．（5分）过点（1，6），且平行于直线x﹣2y＝0的直线方程是（）A．2x+y﹣8＝0 B．2x﹣y﹣8＝0 C．x﹣2y+11＝0 D．x+2y+11＝06．（5分）如图，空间四边形OABC中，，点M在上，且OM＝2MA，点N为BC中点，则＝（）A． B． C． D．7．（5分）比代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军业，怎样走才能使总路程最短？试求最小值（）A． B． C．1 D．28．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝2，空间中存在一动点P满足||＝1，记I1＝，I2＝，I3＝，则（）A．存在点P，使得I1＝I2 B．存在点P，使得I1＝I3 C．对任意的点P，有I1＞I2 D．对任意的点P，有I2＞I3二、多选题（每小题5分，共20分）（多选）9．（5分）已知直线l过点P（4，5），且直线l在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程为（）A．5x﹣4y＝0 B．x﹣y+1＝0 C．x+y﹣9＝0 D．x+y+1＝0（多选）10．（5分）下列说法是错误的为（）A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 B．直线x+2y﹣4＝0与直线2x﹣y+2＝0的交点坐标是（0，2） C．斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 D．经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）表示（多选）11．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于O点，且∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AB＝AD＝4，AA1＝5，则下列结论正确的有（）A．AC1⊥BD B．＝9 C．BD1＝ D．＝（多选）12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为线段BD1上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（）​A．存在点M，使得C1M⊥平面A1DB B．存在点M，使得直线AM与直线B1C所成的角为60° C．存在点M．使得三棱锥D1﹣C1DM的体积为 D．不存在点M，使得α＞β，其中α为二面角M﹣AA1﹣B的大小，β为直线MA1与AB所成的角三、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知直线l过点A（2，4），B（1，6），则直线l的斜率为．14．（5分）m变化时，两平行线3x﹣4y+m﹣1＝0和3x﹣4y+m2＝0之间距离的最小值等于．15．（5分）如图，正方体ABCD﹣EFMN的棱长为3，在棱AB上有一动点H，设直线EH与平面DEM所成的角为θ，当时，则此时点H与点D之间的距离HD＝．16．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz上，有一个等边三角形ABC，其中点A在z轴上．已知该等边三角形的边长为2，重心为G，点B，C在平面xOy上，若在z轴上的投影是z，则＝（用字母z表示）．四、解答题（17题10分，其余各题每小题10分，共70分）17．（10分）已知△ABC的顶点坐标分别是A（0，5），B（1，3），C（﹣3，6）．（1）求直线AB的方程（答案用一般式方程表示）；（2）求AB边上的高线的长．18．（12分）已知向量＝（1，0，1），＝（1，2，0）．（1）求与﹣的夹角余弦值；（2）若（2+）⊥（﹣t），求t的值．19．（12分）已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（﹣1，0），B（3，0）．求：（1）△ABC外接圆的一般方程；（2）直角边BC的中点M的轨迹方程．20．（12分）已知直线l的方程为：（2+m）x+（1﹣2m）y+（4﹣3m）＝0．（1）求证：不论m为何值，直线必过定点M；（2）过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程．21．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，AA1＝3，点M，N分别在棱CC1，AA1上，且，．（1）求证：平面BCN⊥平面ABM；（2）求点B1到平面ABM的距离．22．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，且满足，将△ADE沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成四棱锥P﹣ABCE．（1）若点F在线段AP上，且EF∥平面PBC，试确定点F的位置．（2）若，求平面PEC和平面ABCE所成角的大小．

参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共40分）1．【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【解答】解：设直线的倾斜角为θ，0≤θ＜π，∵直线y＝﹣x，∴k＝tanθ＝﹣，∴θ＝150°，故选：D．【点评】本题主要考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题2．【分析】直接利用空间两点间的距离公式的应用求出结果．【解答】解：已知点M（3，4，1），点N（0，0，1），所以|MN|＝．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：空间两点间的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3．【分析】由斜率公式数形结合可得．【解答】解：∵直线l过点A（1，2），∴当直线的倾斜角为0°，斜率k＝0；当直线经过原点时，斜率k′＝2，当直线在如图的区域时不经过第四象限，∴直线l的斜率的取值范围为[0，2]，故选：C．【点评】本题考查直线的斜率，属基础题．4．【分析】向量，，共面，存在实数m，n使得＝，即可得出．【解答】解：向量，，共面，∴存在实数m，n使得＝，∴，解得λ＝1．故选：A．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共面定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．【分析】根据平行直线系即可求解．【解答】解：与直线x﹣2y＝0平行的直线可设为x﹣2y+c＝0，将（1，6）代入x﹣2y+c＝0可得c＝11，故直线方程为x﹣2y+11＝0，故选：C．【点评】本题考查求已知直线的平行线方程，属于基础题．6．【分析】由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项．【解答】解：由题意＝++＝+﹣+＝﹣++﹣＝﹣++又＝，＝，＝∴＝﹣++故选：B．【点评】本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题．7．【分析】求得点P（0，1）关于x轴的对称点P′的坐标，结合题意，作图，运算可得答案．【解答】解：＝+，设P（0，1），Q（1，2），则点P关于x轴的对称点的坐标为P'（0，﹣1），连接P′Q，设x轴上的饮马点为S，则|PS|+|QS|≥|P′Q|＝＝（当且仅当P′、S、Q三点共线时取得等号），故选：B．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查对称问题与作图法的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．【分析】建立空间直角坐标系由题意可得各顶点的坐标，设P的坐标由点P满足||＝1，可得x，y，z的取值范围都为[﹣1，1]，求出数量积，由P的坐标的范围可得答案．【解答】解：如图所建立如图所示的空间直角坐标系，以B1A1为x轴，B1C1为y轴，B1B为z轴，B1为坐标原点，由题意则B（0，0，2），A（4，0，2），D（4，3，2），C1（0，3，0），设P（x，y，z），所以＝（﹣4，0，0），＝（x﹣4，y，z﹣2），＝（0，3，0），＝（﹣4，3，﹣2），＝（x，y，z），因为满足||＝1，所以x2+y2+z2＝1，x∈[﹣1，1]，y∈[﹣1，1]，z∈[﹣1，1]，∴I1＝＝﹣4（x﹣4），∴I2＝＝3y∴I3＝＝﹣4（x﹣4）+3y﹣2（z﹣2），I1﹣I2＝﹣4（x﹣4）﹣3y＝16﹣4x﹣3y＞0恒成立，故C正确，A不正确；I1﹣I3＝﹣3y+2（z﹣2）＝﹣4﹣3y+2z＜0恒成立，所以B不正确，I2﹣I3＝4（x﹣4）+2（z﹣2）＝﹣12+4x+2z＜0恒成立，所以D不正确；故选：C．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、线面平行的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、多选题（每小题5分，共20分）9．【分析】由已知结合直线方程的截距式对截距的情况进行分类讨论可求．【解答】解：当直线在坐标轴上的截距为0，即l过原点时，直线l的方程为，即5x﹣4y＝0；当直线在坐标轴上的截距相等，及直线l的斜率为1时，直线l的方程为y﹣5＝x﹣4，即x﹣y+1＝0；当直线在坐标轴上的截距相反时，即直线l的斜率为﹣1时，直线l的方程为y﹣5＝﹣（x﹣4），即x+y﹣9＝0．故选：ABC．【点评】本题主要考查了直线方程的截距的应用，属于基础题．10．【分析】结合直线的斜率与倾斜角关于检验选项A，C，联立方程求出交点坐标检验选项B；结合两点式检验选项D．【解答】解：，但tan＜tan，A错误；联立，解得x＝0，y＝2，B正确；根据直线的斜率与倾斜角关系可知，斜率相等的两直线的倾斜角一定相等，C错误；当x1≠x2时，经过不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程为，即（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1），当x1＝x2时，直线方程x＝x1适合上式，故过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）表示，D正确．故选：AC．【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系，直线交点坐标的求解，还考查了直线的两点式方程，属于中档题．11．【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解．【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于O点，且∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，AB＝AD＝4，AA1＝5，则，，对于选项A，∵，∴＝＝＝8﹣16+16﹣8+10﹣10＝0，∴，∴AC1⊥BD，即选项A正确；对于选项B，＝＝＝8+16﹣10+10+10﹣25＝9，即选项B正确；对于选项C，＝＝16+25+16+20﹣16﹣20＝41，即选项C错误；对于选项D，＝＝＝，即选项D错误．故选：AB．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．12．【分析】根据棱柱的结构特征，建立以B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在直线分别为x、y、z轴的空间直角坐标系B﹣xyz，如图所示，利用向量法，逐一分析选项，即可得出答案．【解答】解：在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立以B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在直线分别为x、y、z轴的空间直角坐标系B﹣xyz，如图所示：则A（0，1，0）、B（0，0，0）、C（1，0，0）、D（1，1，0）、A1（0，1，1）、B1（0，0，1）、C1（1，0，1）、D1（1，1，1），设，即点M（t，t，t），且0≤t≤1，对于A：假设存在点M，使得C1M⊥平面A1DB，∵，，，∵C1M⊥平面A1DB，∴，解得，故当点M为线段BD1的中点时，即M（，，），使得C1M⊥平面A1BD，故A正确；对于B：由题意得，，∴，即AM⊥B1C，∴不存在点M，使得直线AM与直线B1C所成的角为60°，故B错误；对于C：假设存在点M，使得三棱锥D1﹣C1DM的体积为，则，且点M到平面CDD1C1的距离为1﹣t，则，解得t＝，∴当点M为线段BD1的靠近B的三等分点时，即M（，，），三棱锥D1﹣C1DM的体积为，故C正确；对于D：由题意得，，设平面AA1M的法向量为，则，取x＝1﹣t，则y＝t，z＝0，∴平面AA1M的法向量为，又平面AA1B的一个法向量为，∴cosα＝|cos＜，＞|＝＝，∵，，∴cosβ＝|cos＜，＞|＝＝，∵，1﹣t∈[0，1]，∴，∵α、β∈[0，]，且y＝cosx在上单调递减，∴a≤β，即不存在点M，使得α＞β，故D正确，故选：ACD．【点评】本题考查棱柱的结构特征、直线与平面垂直、二面角及空间向量的应用，考查数形结合思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力、直观想象，属于中档题．三、填空题（每小题5分，共20分）13．【分析】根据斜率公式即可求解．【解答】解：因为直线l过点A（2，4），B（1，6），由斜率公式可得．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，属于基础题．14．【分析】由条件利用两平行线间的距离公式，二次函数的性质，求得两平行线3x﹣4y+m﹣1＝0和3x一4y+m2＝0之间距离的最小值．【解答】解：由于两平行线3x﹣4y+m﹣1＝0和3x一4y+m2＝0之间距离为d＝＝，故当m＝时，d取得最小值为，故答案为：．【点评】本题主要考查两平行线间的距离公式的应用，要注意先把两直线的方程中x、y的系数化为相同的，然后才能用两平行线间的距离公式，二次函数的性质，属于基础题．15．【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求解．【解答】解：以A为坐标原点，以AB，AD，AE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．如图所示，易得A（0，0，0），D（0，3，0），E（0，0，3），M（3，3，3），设AH＝a（0≤a≤3），得H（a，0，0），则；设平面DEM的法向量为，又，，于是有，，不妨y＝1，可得x＝﹣1，z＝1，所以；因为，且，则＝，化简得a2﹣10a+9＝0，解得a＝1，或a＝9（舍去）．即AH＝1，从而得．故答案为：．【点评】本题考查了用空间向量及其坐标运算来探究立体几何中的任意不确定性和恒成立问题，考查化归与转化、数形结合思想，考查空间想象、逻辑推理和运算求解能力，属于中档题．16．【分析】设BC的中点为M，连接AM，由三角形重心的性质可得，由题意可知，，所以，再结合空间向量的数量积运算求解即可．【解答】解：如图，设BC的中点为M，连接AM，因为等边三角形ABC的重心为G，所以，设在z轴上的投影是，则，又在z轴上的投影是z，所以|OA|＝3z，因为该等边三角形的边长为2，在Rt△OAB中，，同理可得，因为，所以|＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了空间向量的数量积运算，考查了三角形重心的性质，属于中档题．四、解答题（17题10分，其余各题每小题10分，共70分）17．【分析】（1）由点A（0，5），B（1，3），结合直线的点斜式方程，即可求得AB的方程；（2）过点作CD⊥AB，结合点到直线的距离公式，即可求解．【解答】解：（1）由点A（0，5），B（1，3），可得直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y﹣5＝﹣2（x﹣0），即2x+y﹣5＝0．（2）如图所示，过点作CD⊥AB，即设△ABC的边AB上的高线为CD，由直线AB的方程为2x+y﹣5＝0，，又由C（﹣3，6），根据点到直线的距离公式，可得，即AB边上的高线的长．【点评】本题考查求直线方程和点到直线的距离公式，属于中档题．18．【分析】（1）根据题意，求出﹣的坐标，由数量积的计算公式可得答案；（2）根据题意，求出2+和﹣t的坐标，由向量垂直的判断方法可得（2+）•（﹣t）＝3（1﹣t）﹣4t+2＝0，解可得答案．【解答】解：（1）根据题意，向量＝（1，0，1），＝（1，2，0）．则﹣＝（0，﹣2，1），则有||＝，|﹣|＝，故cos＜，﹣＞＝＝＝；（2）根据题意，向量＝（1，0，1），＝（1，2，0）．则2+＝（3，2，2），﹣t＝（1﹣t，﹣2t，1），若（2+）⊥（﹣t），则（2+）•（﹣t）＝3（1﹣t）﹣4t+2＝0，解可得：t＝．【点评】本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量垂直的判断以及向量夹角的计算，属于基础题．19．【分析】（1）△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，半径为r＝|AB|，由中点坐标公式和两点的距离公式，可得所求圆的一般方程；（2）运用中点坐标公式和△ABC外接圆的方程，由代入法可得所求轨迹方程．【解答】解：（1）由题意可得△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，半径为r＝|AB|，由A（﹣1，0），B（3，0）．可得AB的中点为（1，0），半径r＝×4＝2，可得△ABC的外接圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝4，一般方程为x2+y2﹣2x﹣3＝0（y≠0）；（2）设M（x，y），C（x1，y1），由B（3，0）．可得2x＝x1+3，2y＝y1，即为x1＝2x﹣3，y1＝2y，由C在圆（x﹣1）2+y2＝4上，可得（2x﹣3﹣1）2+（2y）2＝4，化为（x﹣2）2+y2＝1，则直角边BC的中点M的轨迹方程为（x﹣2）2+y2＝1（y≠0），【点评】本题考查圆的方程和中点的轨迹方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．【分析】（1）原方程整理得：（x﹣2y﹣3）m+2x+y+4＝0．由，可得直线必过定点M；（2）表示出面积，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】（1）证明：原方程整理得：（x﹣2y﹣3）m+2x+y+4＝0．由，可得，∴不论m为何值，直线必过定点M（﹣1，﹣2）（2）解：设直线l1的方程为．y＝k（x+1）﹣2（k＜0）．令．∴．当且仅当，即k＝﹣2时，三角形面积最小．则l1的方程为2x+y+4＝0．【点评】本题考查直线过定点，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．