2024年广东省广州市越秀区铁一中学中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年广东省广州市越秀区铁一中学中考数学一模试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）1．（3分）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八针锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创，它的主视图是（）A． B． C． D．3．（3分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7 B．7×10﹣6 C．0.7×10﹣6 D．0.7×10﹣74．（3分）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°5．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝130°，若弦BC∥AO，则的长为（）A． B． C． D．6．（3分）为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x10，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（）A．这组数据的平均数 B．这组数据的方差 C．这组数据的众数 D．这组数据的中位数7．（3分）下面计算中正确的是（）A．3x2+2x＝5x3 B． C． D．a3b3÷（﹣ab）2＝b8．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，则∠BAD+∠ABD的度数是（）A．60° B．62° C．72° D．73°9．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，设DN＝x，AN+MN＝y．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点，那么正方形的边长的值为（）A．2 B． C．4 D．10．（3分）如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，则tan∠ACB的值为（）A． B． C． D．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.）11．（3分）因式分解：x2﹣xy＝．12．（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是5．13．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝．14．（3分）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，则DE＝．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数，B两点，若∠AOB＝60°．16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，，点D是BC边上的动点，连接AD．三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）17．（4分）计算：．18．（4分）如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，垂足分别为E、F，连接AD，求证：AD是△ABC的角平分线．19．（6分）先化简，再求值：，其中x满足x2+x﹣2024＝0．20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．21．（8分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是部，中位数是部；（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为度；（3）请将条形统计图补充完整；（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．22．（10分）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场；（1）直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变．经过统计，第21场一一第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：x（场）31025P（万元）10.61214.2（2）求p与x之间满足的函数关系式（3）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？（4）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？23．（10分）如图，AB为经过圆心O的一条线段，且与⊙O交于E点．（1）过B在AB的上方作⊙O的切线，切点为D，过A作AC⊥BD，AC与⊙O交于F点．请尺规作图，不用写作图的详细步骤．（2）求证：AD平分∠BAC；（3）若，求⊙O的半径．24．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣（a+m）x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）当C（0，﹣3）且．①求抛物线的解析式．②若k≤x＜0，且k＜﹣1，y的最大值和最小值分别为p，q，求k的值．③若该抛物线经过M（3n+4，y1），N（2n﹣1，y2）两点，且y1＞y2，求n的取值范围．（2）当AB＝时，函数y＝ax2﹣（a+m）x+m有最小值m﹣1，直接写出a的值．25．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，且＝（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF＝，请写出证明过程．【深入探究】（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，BF，AB之间的数量关系；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF（直接写出结论，不必证明）．【拓展运用】（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．

2024年广东省广州市越秀区铁一中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）1．（3分）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原图既是轴对称图形；符合题意；B．原图是轴对称图形；不符合题意；C．原图是轴对称图形；不符合题意；D．原图是轴对称图形；不符合题意．故选：A．2．（3分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八针锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创，它的主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：它的主视图是：．故选：C．3．（3分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，已知7nm＝0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为（）A．7×10﹣7 B．7×10﹣6 C．0.7×10﹣6 D．0.7×10﹣7【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7．故选：A．4．（3分）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°【解答】解：A、∠3＝∠A，AB∥CD；B、∠1＝∠2，两直线平行可得：AB∥CD；C、∠D＝∠DCE，两直线平行可得：BD∥AC；D、∠D+∠ACD＝180°，两直线平行可得：BD∥AC；故选：B．5．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝130°，若弦BC∥AO，则的长为（）A． B． C． D．【解答】解：连接OC，如图，∵BC∥OA，∴∠AOB+∠OBC＝180°，∠C＝∠AOC，∵∠AOB＝130°，∴∠OBC＝50°，∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC＝50°，∴∠AOC＝50°，∴的长＝＝．故选：C．6．（3分）为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x10，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（）A．这组数据的平均数 B．这组数据的方差 C．这组数据的众数 D．这组数据的中位数【解答】解：标准差，方差能反映数据的波动程度，故选：B．7．（3分）下面计算中正确的是（）A．3x2+2x＝5x3 B． C． D．a3b3÷（﹣ab）2＝b【解答】解：A、3x2，5x不是同类项，故不能合并；B、，所以该选项是正确的；C、，所以该选项是错误的；D、a3b3÷（﹣ab）2＝a3b3÷a7b2＝ab，所以该选项是错误的；故选：B．8．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，在上取点D（不与点A，B重合），连接BD，则∠BAD+∠ABD的度数是（）A．60° B．62° C．72° D．73°【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵四边形ADBC是圆内接四边形，∴∠D+∠C＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，故选：C．9．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，设DN＝x，AN+MN＝y．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点，那么正方形的边长的值为（）A．2 B． C．4 D．【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接MC交BD于点N'．∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∵点M是AB的中点，∴N'是△ABC的重心，∴N'O＝BO，∴N'D＝BD，∵A、C关于BD对称，∴NA＝NC，∴AN+MN＝NC+MN，∵当M、N、C共线时，∴y的值最小就是MC的长，∴MC＝2，设正方形的边长为m，则BM＝m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC8＝BC2+MB2，∴，∴m＝4（负值已舍），∴正方形的边长为4．故选：C．10．（3分）如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A，B，则tan∠ACB的值为（）A． B． C． D．【解答】解：连接BE，∵是小菱形，∴对角线垂直，∴BE⊥AC，由题意知，BE⊥AC，设小菱形的边长为a，CE＝a，∴tan∠ACB＝，故选：D．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.）11．（3分）因式分解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．【解答】解：x2﹣xy＝x（x﹣y）．故答案为：x（x﹣y）．12．（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是515．【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×5＝10π，则：，解得l＝15．故答案为：15．13．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2+2x1+2x2＝1，则实数k＝﹣5．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+k＝3的两个实数根为x1，x2，∴x4+x2＝3，x5•x2＝k，∵x1x8+2x1+2x2＝1，∴k+5×3＝1，解得k＝﹣4，又∵方程有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4k≥2，解得k≤，综合以上可知实数k＝﹣6．故答案为：﹣5．14．（3分）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，则DE＝3．【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵∠ACB＝90°，AC＝2，∴BC＝＝2，∵E为AC的中点，∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝5，故答案为：3．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数，B两点，若∠AOB＝60°25．【解答】解：设点A（a，b），反比例函数的图象与半径为10的⊙O交于A，所以A，B两点关于直线y＝x对称，∴B（b，a），∵⊙O的半径为10，∴OA＝OB＝10，∴OA2＝100，即a8+b2＝100，∵∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝10，∴AB2＝100，即∴（a﹣b）2+（b﹣a）2＝100，化简得：a2+b4﹣2ab＝50，∴100﹣2ab＝50，∴ab＝25，∵A（a，b）在反比例函数，∴k＝ab＝25，故答案为：25．16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，，点D是BC边上的动点，连接AD．【解答】解：作点A关于BC的对称点F，连接DF，垂足为E，∵∠BAC＝90°，AB＝2，，∴，∴，∵∠F＝90°﹣∠FAC＝∠C，∴，∵，∴，∴，∵，∴CD＝5DE，∵点A与点F关于BC对称，∴AD＝DF，∴AD+DE＝DF+DE，当F、D、E共线时，最小值为FE的长．在Rt△AFE中，，∴，∴，即8AD+DC的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）17．（4分）计算：．【解答】解：原式＝＝4．18．（4分）如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，垂足分别为E、F，连接AD，求证：AD是△ABC的角平分线．【解答】证明：∵AD垂直平分EF，∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是△ABC的角平分线．19．（6分）先化简，再求值：，其中x满足x2+x﹣2024＝0．【解答】解：＝＝＝＝x（x+4）＝x2+x，∵x满足x2+x﹣2024＝5，∴x2+x＝2024，∴原式＝2024．20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C6即为所求；（2）如图所示，△A2B2C3即为所求；（3）将△A2B2C7绕着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C2，如图，连接OC3交于D2交于E，∵A2（﹣2，﹣2），B2（﹣1，﹣8），C2（﹣3，﹣7），∴OA2＝＝，OB2＝＝，OC2＝＝4，∴OA2＝OB7＝OD＝OE＝，由旋转得：OA2＝OA7，OB2＝OB3，OC4＝OC3，A2C5＝A3C3，∠C4OC3＝∠DOE＝90°，∴△OA2C3≌△OA3C3（SSS），∴＝，∴线段A2C2在旋转过程中扫过的面积＝S﹣S扇形DOE＝﹣＝．21．（8分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图．请根据以上信息，解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是1部，中位数是2部；（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为72度；（3）请将条形统计图补充完整；（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率．【解答】解：（1）本次调查的人数为：10÷25%＝40（人），读2部的学生有：40﹣2﹣14﹣10﹣8＝6（人），故本次调查所得数据的众数是1部，中位数是（4+2）÷2＝5（部），故答案为：1，2；（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360°×＝72°，故答案为：72；（3）由（1）知，读2部的学生有6人，补全的条形统计图如图所示；（4）《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母A、B、C、D表示，树状图如图所示：一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种，故他们恰好选中同一名著的概率是，即他们恰好选中同一名著的概率是．22．（10分）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场；（1）直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变．经过统计，第21场一一第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：x（场）31025P（万元）10.61214.2（2）求p与x之间满足的函数关系式（3）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？（4）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？【解答】（1）由题意，当x＝5时，y与x的函数关系式为y＝50﹣x．∴第5场销售45台产品，y与x的函数关系式为y＝50﹣x；（2）设基本价为b，第4场～第20场，1≤x≤20且x为正整数，设P与x的函数关系式为P＝ax+b，依题意得：，解得：，∴P＝7.2x+10．第21场～第40场，即21≤x≤40且x为正整数时，设P与x的函数关系式为，即．依题意得：14.2＝+10，解得m＝105，∴P＝+10，∴当5≤x≤20且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为p＝0.2x+10，P与x之间满足的函数关系式为P＝；（3）当P＝13时，8.2x+10＝13，解得x＝15，或+10＝13，解得x＝35．故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场；（4）设每场获得的利润为w（万元）．当1≤x≤20且x为正整数时，w＝（8.2x+10﹣10）（50﹣x）＝﹣0.6x2+10x＝﹣0.3（x﹣25）2+125，∵在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，∴当x＝20时，w最大2+125＝120（万元）．当21≤x≤40且x为正整数时，w＝＝，∵w随x的增大而减小，∴当x＝21时，w最大﹣105＝145（万元），∵145＞120，∴在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大．23．（10分）如图，AB为经过圆心O的一条线段，且与⊙O交于E点．（1）过B在AB的上方作⊙O的切线，切点为D，过A作AC⊥BD，AC与⊙O交于F点．请尺规作图，不用写作图的详细步骤．（2）求证：AD平分∠BAC；（3）若，求⊙O的半径．【解答】（1）解：如图所示，BD；（2）证明：如图，∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC．∵AC⊥BD，∴OD∥AC．∴∠ODA＝∠CAD．∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠OAD＝∠CAD．∴AD平分∠BAC．（3）解：连接DE，∵AE是⊙O直径，∴∠ADE＝90°．∴∠EDO+∠ODA＝90°．∵BD是⊙O切线，∴OD⊥BD．∴∠BDO＝90°．∴∠EDO+∠BDE＝90°．∴∠ODA＝∠BDE．∵∠ODA＝∠OAD，∴∠BDE＝∠OAD．即∠BDE＝∠BAD，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BAD．∴．∵∠CAD＝∠EAD，∴tan∠EAD＝tan∠CAD＝．∴．∴．∴，AB＝6．∴．∴⊙O的半径为．24．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣（a+m）x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）当C（0，﹣3）且．①求抛物线的解析式．②若k≤x＜0，且k＜﹣1，y的最大值和最小值分别为p，q，求k的值．③若该抛物线经过M（3n+4，y1），N（2n﹣1，y2）两点，且y1＞y2，求n的取值范围．（2）当AB＝时，函数y＝ax2﹣（a+m）x+m有最小值m﹣1，直接写出a的值．【解答】解：（1）①∵，∴y＝﹣m2﹣m+m，将（0，﹣2）代入y＝﹣7﹣mx+m得：m＝﹣4，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣6；②∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∵1＞0，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣6，∵k＜﹣1，k≤x＜0，∴对应的函数的图象在y轴的左侧，此时抛物线的顶点为最低点，∴x＝﹣3，y＝﹣4为函数最小值，∵p+q＝1，∴q＝8﹣q＝5，将y＝5代入y＝x8+2x﹣3得：5＝x2+2x﹣8，解得：x＝2（舍）或x＝﹣4，∴k＝﹣3．③∵y1＞y2，∴y5﹣y2＞0．∵y3﹣y2＝（3n+7）2+2（5n+4）﹣3﹣[（5n﹣1）2+8（2n﹣1）﹣3]＞0，∴5n3+30n+25＞0，∴n2+5n+5＞0，∴n＜﹣7或n＞﹣1．∴若该抛物线经过M（3n+3，y1），N（2n﹣4，y2）两点，且y1＞y8，n的取值范围：n＜﹣5或n＞﹣1；（2）a的值为或．理由：∵函数y＝ax8﹣（a+m）x+m有最小值m﹣1，∴a＞0，＝m﹣3．∴（a+m）2＝4a．设A（x4，0）．B（x2，2），则x1，x2是方程ax6﹣（a+m）x+m＝0的两根，∴x1+x5＝，，∴AB＝|x8﹣x2|＝＝＝＝．∴＝或，∴m＝a或m＝a．当m＝a时，，解得：a＝或3（不合题意，当m＝a时，，解得：a＝或8（不合题意，综上，a的值为或．25．（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，且＝（n为正整数），E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】（1）如图1，当n＝1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF＝，请写出证明过程．【深入探究】（2）①如图2，当n＝2，且点F在线段BC上时，BF，AB之间的数量关系；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF（直接写出结论，不必证明）．【拓展运用】（3）如图3，连接EF，设EF的中点为M，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．【解答】（1）证明：连接CD，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴AB＝AC，AD＝CD＝BD，∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴CE＝BF，∴AE+BF＝AE+CE＝AC＝AB；（2）①AE+BF＝，理由如下：过点D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H，∵∠C＝90°，AC＝B