常微分方程12-解的存在唯一性省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

§1.2解存在惟一性对于给定微分方程，它通解普通有没有限多个，而给定初始条件后，其解有时惟一，有时不惟一.给定初始条件微分方程解存在惟一性?(一)它是数值解和定性分析前提;(二)若实际问题中建立方程模型解不是存在且惟一，该模型就是一个坏模型.11/27例1:初值问题有解:

.它存在区间为例2:初值问题解为:存在区间为初值问题解:

22/27例3:初始值问题:有没有穷多解,存在区间为:33/271.2.1例子和思绪例4:证实初值问题解存在且惟一。证：若是初始值问题解,两端积分满足反之，若一个连续函数满足则它是解。44/27……取来证实结构迭代序列有解．55/27因为收敛，且代入验证函数为初值问题解,这就得到解存在性。惟一性证实:设有两个解则可微，且满足这就证实了惟一性。66/271.2.2存在惟一性定理及其证实设在矩形区域上连续，假如有常数L>0,使得对于全部都有:考虑微分方程:Lipschitz条件:(1.2.3)77/27L称为Lipschitz常数。则称在R上关于y满足Lipschitz条件。注:若关于y偏导数连续,则在R上关于y满足Lipschitz条件。88/27一解，其中上存在惟证实：定理1:在R上连续且关于y满足若（１）将初值问题解存在惟一性化为积分方程解存在惟一性．思绪：在区间Lipschitz条件，则初值问题(1.2.3)99/27（２）结构积分方程迭代函数序列.（４）证实该序列极限是积分方程解．（５）证实惟一性．仅考虑上存在.详细证实：(1)等价积分方程解等价。初值问题与积分方程(1.2.3)（３）证实该迭代序列收敛．1010/27（2）结构Picard迭代数列这么就得到一个连续函数列Picard迭代序列。它称为1111/27（3)Picard序列收敛性引理1.1对于一切续且满足连.则证实:显然对一切都有有定义且上满足:设在区间连续,1212/27证实：考虑函数项级数预计级数通项:于是一致收敛性与级数一致收敛性等价。引理1.2上一致收敛。函数列它前项部分和为:1313/27其中第二个不等式由Lipschitz条件能够得到，设：对有1414/27于是，由数学归纳法得，对于全部自然数k，有级数在上一致收敛。因为正项级数收敛,由Weiestrass判别法知，设:由连续性和一致收敛性可得:在上连续.1515/27（4）Picard迭代数列极限函数就是积分方程连续解。引理1.3

是积分方程定义于上连续解。

证实：由Lipschitz条件以及在上一致收敛，得出函数序列在一致收敛于函数.上1616/27因而对取极限，得即这表明是积分方程连续解。1717/27（5）解惟一性证实：则引理1.4上连续解，则必有是积分方程在设和令1818/271919/27注1:定理中几何意义:故取.注2:函数连续性确保解存在性,Lipschitz条件确保解惟一性．注３:定理结论只是在局部范围内给出解存在惟一性．可重复使用该定理，使解范围延拓到最大区间．在解有可能跑到之外．2020/27解证实：取在矩形区域：连续，且它关于y有连续偏导数。例５证实初始值问题：计算2121/27对等价积分方程得故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题内存在唯一。当然也在内存在唯一，解2222/27内连续，且对有连续偏导数．因任意．先取使最大．对于任意正数函数在解：解存在唯一区间．例６讨论初始值问题2323/27显然使得最大，且取则由定理得解存在惟一区间为：再使用依次存在惟一性定理：，以令为区域中心，讨论新初始值问题：2424/27当时，取得最大值此时故取可得到解在