高中数学第三章导数及其应用3.3.3最大值与最小值省公开课一等奖新名师获奖课件

3.3.3最大值与最小值第三章§3.3导数在研究函数中应用1/331.了解函数最值概念，了解其与函数极值区分与联络.2.会求某闭区间上函数最值．学习目标2/33栏目索引知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠3/33知识梳理自主学习知识点一函数f(x)在闭区间[a，b]上最值函数f(x)在闭区间[a，b]上图象是一条连续不停曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数最值必在

处或

处取得．知识点二求函数y＝f(x)在[a，b]上最值步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内

．(2)将函数y＝f(x)各极值与

函数值f(a)，f(b)比较，其中最大一个是

，最小一个是

．答案端点极值点极值端点处最大值最小值4/33知识点三最值与极值区分与联络(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数定义区间整体而言．(2)在函数定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．(3)函数f(x)极值点为定义域中内点，而最值点能够是区间端点．(4)对于可导函数，函数最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．如图是y＝f(x)在区间[a，b]上函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．返回5/33题型探究重点突破解析答案题型一求函数在闭区间上最值例1

求以下各函数最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；解f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．当x改变时，f′(x)，f(x)改变情况以下表令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.x－2(－2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x)

＋0－0＋

f(x)－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x＝4时，f(x)取最大值35.即f(x)最大值为35，最小值为－37.当x＝－2时，f(x)取最小值－37.6/33解析答案反思与感悟(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．解f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f′(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)最小值为－12，最大值为2.7/33反思与感悟(1)求函数最值，显然求极值是关键一步．但仅仅是求最值，可用下面简化方法求得．①求出导数为零点．②比较这些点与端点处函数值大小，就可求出函数最大值和最小值．(2)若函数在闭区间[a，b]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得．8/33解析答案跟踪训练1求以下函数最值：当x改变时，f′(x)，f(x)改变情况以下表：所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；即f(x)最小值为0，最大值为π.当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.9/33解析答案(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正实数．当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数．故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.即f(x)最小值为e－a－ea，最大值为0.10/33解析答案题型二含参数函数最值问题例2

已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)单调递减区间；解f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)．令f′(x)＜0，得x＜－1或x＞3，故函数f(x)单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．11/33解析答案(2)若f(x)在区间[－2,2]上最大值为20，求它在该区间上最小值．解因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)＞f(－2)，因为在(－1,3)上f′(x)＞0，所以f(x)在[－1,2]上单调递增，所以f(－1)是f(x)极小值，且f(－1)＝a－5，所以f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.所以f(－1)＝－2－5＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上最小值为－7.反思与感悟12/33反思与感悟函数最值与极值及单调性亲密相关，因而在求解函数最值问题时，普通都要判断函数单调性与极值点．导数是研究函数与极值有力工具．13/33解析答案跟踪训练2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上有最大值3，最小值－29，求a，b值．14/33解析答案解由题意，知a≠0.所以令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)．若a＞0，当x改变时，f′(x)，f(x)改变情况以下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)＋0－f(x)单调递增↗极大值单调递减↘

由上表，知当x＝0时，f(x)取得最大值，所以f(0)＝b＝3，又因为f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，故f(－1)＞f(2)，所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，解得a＝2.因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1,2]，15/33若a＜0，当x改变时，f′(x)，f(x)改变情况以下表：x[－1,0)0(0,2]f′(x)－0＋f(x)单调递减↘

极小值单调递增↗所以当x＝0时，f(x)取得最小值，所以f(0)＝b＝－29.又因为f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，故f(2)＞f(－1)．所以当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－29＝3，解得a＝－2.16/33解析答案题型三函数最值应用例3设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)最小值h(t)；解∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.17/33解析答案(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m取值范围．解令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．当t改变时g′(t)、g(t)改变情况以下表：t(0,1)1(1,2)g′(t)＋0－g(t)单调递增1－m单调递减∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0对t∈(0,2)恒成立，反思与感悟只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m取值范围是(1，＋∞)．18/33反思与感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一个常见题型，普通地，可采取分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数恒成立问题，直接求含参函数最值即可．(2)这类问题尤其要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”情况，以此来确定参数范围能否取得“＝”．19/33解析答案跟踪训练3

已知函数f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x＞0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数，若对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c取值范围．20/33解析答案解由题意，知f(1)＝－3－c.所以b－c＝－3－c，从而b＝－3.所以对f(x)求导，得＝x3(4alnx＋a－12)．由题意，知f′(1)＝0，即a－12＝0，得a＝12.所以f′(x)＝48x3lnx(x＞0)，令f′(x)＝0，得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数；21/33当x＞1时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数．所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－3－c，而且此极小值也是最小值．所以要使f(x)≥－2c2(x＞0)恒成立，只需－3－c≥－2c2即可．22/33解析答案返回解后反思思想方法分类讨论思想应用23/33解析答案解后反思分析

(1)求出g(x)表示式是解题关键；(2)结构辅助函数，结合单调性求解；(3)显然g(x)最值决定了参数a取值范围．当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故g(x)单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．所以，x＝1是g(x)唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)最小值为g(1)＝1.当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，24/33解析答案解后反思当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h′(1)＝0，所以，h(x)在(0，＋∞)内单调递减．25/33解后反思(3)由(1)，知g(x)最小值为1.解得0＜a＜e.26/33返回解后反思27/33当堂检测12345解析答案1.函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上最大值和最小值分别是______.解析∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)最大值和最小值分别是10,2.10,228/33解析答案123452.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)________.①有最大值，但无最小值

②有最大值，也有最小值③无最大值，但有最小值

④既无最大值，也无最小值解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故④正确.④29/3312345解析答案解析因为y′＝1－cosx，所以y最大值为ymax＝π－sinπ＝π.π30/33解析答案123454.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上最大值为10，则其最小值为________.解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x