高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线的标准方程教案省公开课一等奖新名师获奖课件

第二章圆锥曲线与方程1/562．2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2/561.了解双曲线定义、标准方程．2．掌握用待定系数法求双曲线标准方程中a、b、c，能依据条件确定双曲线标准方程.3/564/56新

知

视

界1．双曲线定义把平面内与两个定点F1，F2距离差绝对值等于常数(小于|F1F2|)点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线焦点，两焦点间距离叫做双曲线焦距．5/566/562．平面内与两个定点F1、F2距离差等于常数(小于|F1F2|)点轨迹是不是双曲线？提醒：不是，是双曲线某一支．在双曲线定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲线左、右焦点，则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示双曲线右支．②|PF1|－|PF2|＝－2a，曲线只表示双曲线左支．7/562．双曲线标准方程8/569/56提醒：在x2，y2系数异号前提下，假如x2项系数是正，那么焦点在x轴上，假如y2项系数是正，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，所以，不能像椭圆那样用比较分母大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．10/56尝

试

应

用1．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)距离之差绝对值为2，则点P轨迹是(

)A．双曲线B．双曲线一支C．两条射线D．一条射线答案：C11/56答案：A12/5613/5614/564．点(0,3)是双曲线ky2－8kx2＝8一个焦点，则k值为________．答案：115/5616/5617/5618/5619/5620/5621/5622/56[点评]

(1)本题三角形中角关系转化为边关系，为利用双曲线定义创造了条件．(2)因为动点M到两定点A、B距离差为常数，而不是差绝对值为常数，所以，其轨迹只能是双曲线一支．这一点要尤其注意！23/5624/5625/56解析：(1)由已知得|PM|－|PN|＝2＝|MN|，∴P点轨迹是一条射线．(2)设F1(－5,0)，F2(5,0)，则由双曲线定义知：||PF1|－|PF2||＝2a＝8，而|PF2|＝15，解得|PF1|＝7或23.答案：(1)D

(2)D26/5627/56[分析]

可先设出双曲线标准方程，再结构关于a，b方程组，求得a，b，从而求得双曲线标准方程．注意对平方关系c2＝a2＋b2利用．28/5629/5630/5631/56[点评]

求双曲线标准方程普通采取待定系数法．若明确焦点位置时，可直接设出双曲线方程，若无法判定双曲线焦点位置，分两种情况讨论，或者将双曲线方程设为mx2＋ny2＝1(mn<0)．同时在解题时应注意方法技巧灵活利用．32/5633/5634/5635/5636/5637/5638/56如图1所表示，在△F1PF2中，由余弦定理，得39/5640/56[点评]

在处理与焦点三角形相关问题时候，首先要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想应用和一些变形技巧应用．41/5642/5643/56类型四双曲线实际应用

[例4]如图2所表示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形一块田ABCD中去，已知PA＝100m，PB＝150m，BC＝60m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界限，使位于界限一侧点沿道路PA送肥较近而另一侧点则沿PB送肥较近？假如能，请说出这条界限是什么曲线，并求出它方程．44/56[分析]

首先确定分界限上任一点应是沿PA，PB两条路线距离相等点，然后再进行讨论即可．45/56[解]

田地ABCD中点可分为三类：第一类沿PA送肥较近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA和PB送肥一样远近．由题意知，界限是第三类点轨迹．设M是界限上任一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)．故所求界限是以A、B为焦点双曲线一支．46/5647/56[点评]相关双曲线实际应用题，关键是审清题意，依据题目中所给条件列出方程或等式，假如没有坐标系要先建系，再依据双曲线定义用待定系数法可解．48/56迁移体验4如图3，B地在A地正东方向4km处，C地在B地北偏东30°方向2km处，河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A距离比到B距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路费用都是a万元/km，那么修建这两条公路总费用最低是(

)49/5650/5651/56答案：A52/56思

悟

升

华1．双曲线定义(1)在定义中，必须是一个动点到两定点距离差绝对值，而不是距离差．(2)要注意常数要小于|F1F2|，当常数等于|F1F2|时，轨迹为两条射线，当常数大于|F1F2|时，轨迹不存在，在学习中与椭圆类比记忆．(3)注意常数不能为0，为0时轨迹为线段F1F2垂直平分线．53/5654/56(2)不论焦点在什么轴上，a、b、c均满足c2＝a2＋b2，与椭圆要区分记忆．3．双曲线标准方程求法