3.1不等关系与不等式市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

3.1不等关系与不等式1/45主要内容3.比较代数式大小方法2.不等式性质及其证实4.不等式应用实例1.不等关系2/451.不等关系3/45观察最低限速60km最低限速50km/hv50km/h最高限速120km小汽车限速范围60kmv120km/h4/45问题1

设点A与平面M距离为d，B为平面M上任意一点，则d|AB|AMBd5/45问题2

某种杂志原以每本2.5元价格销售，能够售出8万本.据市场调查，若单价每提升0.1元，销售量就可能对应降低本。若把提价后杂志定价设为x元，怎样用不等式表示销售总收入不低于20万元呢？分析：若杂志定价为x元，则销售总收入为万元.那么不等关系“销售总收入不低于20万元”能够表示为不等式6/45问题3

某钢铁厂要把长度为4000mm钢管截成500mm和600mm两种.按照生产要求，600mm钢管数量不能超出500mm钢管3倍。怎样写出满足上述全部不等关系不等式呢？

分析：假设截得500mm钢管x根，截得600mm钢管y根.由题意，应有以下不等关系：（1）截得两种钢管总长度不能超出4000mm；（2）600mm钢管数量不能超出500mm钢管3倍；（3）截得两种钢管数量都不能为负.7/45

要同时满足上述三个不等关系，能够用下面不等式组来表示：8/452.不等式性质及其证实9/45

实际上，实数与数轴上点是一一对应.在数轴上不一样两点中，右边点表示实数比左边点表示实数大．

譬如图中，设点A表示实数a，点B表示实数b,点A在点B右边，那么a＞b．BAab回想两个实数大小是怎样确定？10/45

从上面性质可知，要比较两个实数大小，只要考查它们差就能够了，这也是我们研究不等关系一个出发点.基本事实作差比较法11/451.不等式性质性质1假如a>b,那么b<a;假如b<a,那么a>b证实：因为a>b,可得a-b>0所以-（a-b）<0即b-a<0所以b<a.同理可证得：假如b<a,那么a>b说明：此性质可称为不等式自反性12/45性质2假如a>b,b>c,那么a>c.证实：因为a>b,得a-b>0；又b>c，得b-c>0;所以a-c=(a-b)+(b-c)>0即a-c>0所以a>c.说明：此性质可称为不等式传递性。13/45性质3假如a>b,那么a+c>b+c证实：因为a>b,得a-b>0；所以（a+c）-（b+c）=a-b>0即(a+c)-(b+c)>0所以a+c>b+c.说明：此性质可称为不等式加法性质也叫平移性，即不等式两边同时加上同一个常数，不等号方向不变.14/45性质4假如a>b,c>0,那么ac>bc;证实：因为a>b,得a-b>0；ac-bc=c(a-b)>0所以ac>bc.说明：此性质可称为不等式乘法性质，也叫伸缩性：即不等式两边同时乘上同一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘上同一个负数，不等号方向改变.假如a>b,c<0,那么ac<bc.当c>0时ac-bc=c(a-b)<0所以ac<bc.当c<0时15/45性质5假如a>b,c>d,那么a+c>b+d;证实：因为a>b,得a-b>0又c>d,得c-d>0；说明：此性质可称为不等式叠加性：两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.所以(a+c)-（b+d）=(a-b)+(c-d)>0所以a+c<b+d.16/45性质6假如a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;证实：因为a>b,得a-b>0,又c>d,得c-d>0ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)+d(a-b)说明：此性质可称为不等式叠乘性：两边都是正数同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向.所以ac-bd>0即ac>bd.由题意知a>0,d>0,且c-d>0,a-b>017/45性质7假如a>b>0,那么an>bn(n

N,n2);证实：因为a>b>0,依据性质6，自乘得；aa>bb即a2>b2.说明：此性质可称为不等式乘方性质：当不等式两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得不等式和原不等式同向.继续用性质6，可得a3>b3.显然a2>b2>0,继续下去可得an>bn(n

N,n2);18/45性质8假如a>b>0,那么(n

N,n2);证实：用反证法证实，假设结论不成立则；说明：此性质可称为不等式开方性质：当不等式两边都是正数时，不等式两边同时开方所得不等式和原不等式同向.则得a=b，与已知a>b矛盾若若

则由性质7,两边n次幂得a<b，所以假设不成立，原结论成立(n

N,n2).与已知a>b矛盾.19/45证实命题方法介绍

在数学学科中，依据是否由论据直接过渡到论题，我们把证实命题方法分为直接证实和间接证实.

直接证实就是由论据按照推理规则直接推出论题证实.其特点是：从论题出发，为论题真实性直接提供证实理由.直接证实是最常见证实方法.

间接证实就是经过确定其它命题虚假来确定论题真实性证实，就是说，用这种证实方法证实论题不是由论据按照推理规则直接推得，而是经过间接方法得到证实.间接证实分为反证法和选言证法.20/45

直接证实是相对于间接证实说，综正当和分析法是两种常见直接证实.

综正当:

普通地，利用已知条件和一些数学定义、定理、公理等，经过一系列推理论证，最终推导出所要证实结论成立，这种证实方法叫做综正当（或顺推证法、由因导果法）.

分析法:

普通地，从要证实结论出发，逐步寻求使它成立充分条件，直至最终，把要证实结论归结为判定一个显著成立条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证实方法叫做分析法.

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反证法是属于“间接证实法”一类，是从反面角度思索问题证实方法，即必定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得.法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法实质作过概括：“若必定定理假设而否定其结论，就会造成矛盾”.详细地讲，反证法就是从否定命题结论入手，并把对命题结论否定作为推理已知条件，进行正确逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证实为正确命题等相矛，矛盾原因是假设不成立，所以必定了命题结论，从而使命题取得了证实.反证法介绍22/45

反证法证题模式能够简明概括我为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误推理造成逻辑矛盾，到达新否定，能够认为反证法基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证实主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立.反证法证题模式23/45反证法证实命题普通步骤：第一步，反设：作出与求证结论相反假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此经过一系列正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而必定原命题成立.24/45

用反证法证题时，假如欲证实命题方面情况只有一个，那么只要将这种情况驳倒了就能够，这种反证法又叫“归谬法”；

假如结论方面情况有各种，那么必须将全部反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种反证法又叫“穷举法”归谬法和穷举法反证法类型25/45

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当武器之一”。普通来讲，反证法惯用来证实题型有：2.详细、简单命题；或者直接证实难以下手命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思索，问题可能处理得十分干脆.1.命题结论以“否定形式”、“最少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现命题；或者否定结论更显著.

反证法适用范围26/45不等式常见证实方法直接证法

1）比较法（作差、或作商）

2）综正当

3）分析法

4）其它换元法、放缩法等2.间接证法反证法27/45例1.假如a>b>0,c<0,求证证实：由已知a>b>0,得a-b>0,ab>0,又c<0,所以28/45练习1写出a>b与同时成立充要条件解答：ab<0首先，若ab<0,则另首先能同时成立29/45例2已知a>0，b>0，求证：a3+b3≥a2b+ab2即a3+b3≥a2b+ab2.证实一：比较法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)∵a>0，b>0，∴(a-b)2(a+b)≥0.故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0,∴a+b>0，而(a-b)2≥0.=(a-b)2(a+b).=(a-b)(a2-b2)30/45故a3+b3≥a2b+ab2.证实二：比较法（作商）∵a2+b2≥2ab，∴又a>0，b>0，所以ab>0，31/45所以有a3+b3≥a2b+ab2.证实三：分析法欲证a3+b3≥a2b+ab2，只需证实(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).因为a>0，b>0，所以a+b>0，故只要证实a2+b2-ab≥ab即可。即证实a2+b2≥2ab.而a2+b2≥2ab显然是成立32/45即a3+b3≥a2b+ab2.证实四：综正当∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2-ab≥ab.又∵a>0，b>0，∴a+b>0，故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).33/453.比较代数式大小方法34/45例3.比较与大小．

分析：此题属于两个代数式比较大小，能够作差，判断差值正负，从而得出两个代数式大小.当时，，所以当时，，所以2.比较代数式大小方法35/45例4.已知，比较与大小．解：作差比较因为a

0，所以-a2<036/45解：所以

比较与大小．练习237/451).假如a＜b＜0，则以下不等式中不成立是（）（A）＞

（B）＞（C）｜a｜＞｜b｜（D）a2＞b22).a、b是任意实数，且a＞b，则（）（A）a2＞b2

（B）

（C）lg（a-b）＞0（D）＜BD练习338/453.a、b、c、d是任意实数，且a＞b，c＞d，则以下结论正确是（）（A）a+c＞b+d（B）a-c＞b-d

（C）ac＞bd（D）A39/454.不等式应用实例40/45

例5.某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号帐篷中选择一个