线性矩阵不等式市公开课一等奖省赛课微课金奖课件

基于LMI区域极点配置理论1/40问题提出准确极点配置必须以准确数学模型为依据因为不确定性及各种扰动存在，使得准确极点配置不可实现准确极点配置并非是唯一路径，将系统闭环极点配置在复平面上一个适当区域，即可确保系统动态特征和稳态特征2/403/40主要内容LMI区域描述D-稳定性分析含有区域极点约束状态反馈控制器设计含有区域极点约束输出反馈控制器设计4/40LMI区域描述定义对复平面中区域D，假如存在一个实对称矩阵，使得 则称D是一个线性矩阵不等式区域(简记为LMI区域)。矩阵值函数 称为LMI区域D特征函数,特征函数维Hermite矩阵，表示矩阵是负定。是复数变量。取值是和实矩阵5/40注意：LMI区域是凸LMI区域是关于复平面上实轴对称6/40常见LMI区域左半开复平面对应特征值函数7/40对应特征值函数8/40左半复平面垂直条形区域对应特征值函数9/40如图阴影部分所表示：对应特征值函数10/40由r>0可推出:复平面上半径为r，中心在(-q,0)圆盘D(r,q)11/40所以，对应特征值函数可写为：12/40

区域极点配置与动态性能指标之间关系为使闭环系统动态性能满足一定要求，考虑复平面上以下所表示圆盘：阻尼比自然振荡频率衰减振荡频率调整时间闭环系统特征值13/40D－稳定性分析定义

对复平面中给定LMI区域D和实矩阵假如实矩阵A全部特征值都位于区域D中，即，则称实矩阵A是D-稳定。14/40定理4-1给定LMI区域其中：，使得则实矩阵是D-稳定充分必要条件是存在一个对称正定实矩阵15/40证实：仅证充分性。假定存在对称阵X满足MD(A,X)<0.设λ是矩阵A任意特征值，且有应用Kronecker乘积性质，可得16/4017/40由MD(A,X)<0和X>0可推出即因为任意性，依据D-稳定定义，可得矩阵A是D-稳定（必要性证实请见书第102页）。定理得证。18/40D稳定性定理应用一、LMI区域为左半开复平面对于左半开复平面，其特征函数是则由D稳定性定理，可得，矩阵A全部特征值均在左半开复平面充分必要条件是存在对称正定矩阵X，使得Lyapunov不等式19/40二、复平面上半径为r，中心在(-q,0)圆盘D(r,q)对于圆盘D(r,q)，其特征函数是20/40矩阵A全部特征值均在圆盘D(q,r)充分必要条件是存在对称正定矩阵X，使得21/40

推论给定两个LMI区域D1和D2，矩阵A同时是D1-稳定和D2-稳定充分必要条件是存在一个对称正定阵X，使得22/40含有区域极点约束状态反馈控制器设计不确定参数矩阵和是反应不确定性结构常数矩阵，是时变不确定矩阵，且满足。

考虑以下线性不确定系统（4-1）23/40

设计状态反馈控制律闭环系统可写为（4-2）24/40定理4-2

给定LMI区域不确定矩阵，使得对全部允许参数假如存在则称不确定系统(4-2)是二次D-稳定。二次D-稳定性一个对称正定实矩阵，都有25/40二次D-稳定性定理应用

定理4-3

对于给定LMI区域圆盘D(q,r)，假如存在对称正定矩阵X，使得以下不等式成立则不确定系统(4-2)是二次D-稳定。非LMI26/40

定理4-4

对于给定LMI区域圆盘D(q,r)，假如存在对称正定矩阵V，矩阵W，标量ε>0，使得以下线性矩阵不等式成立则u(t)=WV-1x(t)为闭环系统(4-2)含有圆盘极点约束鲁棒控制律，且闭环系统系统(4-2)是二次D-稳定。27/40证实：由定理4.3，知将代入得28/40由引理3.1，对于全部满足FTFI实矩阵F，上式成立，当且仅当存在标量ε>0,使得以下不等式成立Y+MFE+ETFTMT<0Y+εMMT+ε-1ETE<029/40不等式两边分别数乘ε，并记得应用Schur补，得定理得证。30/40含有区域极点约束输出反馈控制器设计不确定参数矩阵和是反应不确定性结构常数矩阵，是时变不确定矩阵，且满足。

考虑以下线性不确定系统（4-3）31/40

设计静态输出反馈控制律闭环系统可写为（4-4）32/40

定理4-5

对于给定LMI区域圆盘D(q,r)，假如存在对称正定矩阵X，使得以下不等式成立则不确定系统(4-4)是二次D-稳定。非LMI33/40

定理4-6

对于给定LMI区域圆盘D(q,r)，假如存在对称正定矩阵V，矩阵W，非奇异阵N，标量ε>0，使得等式约束CV=NC和以下线性矩阵不等式成立则u(t)=WN-1y(t)为闭环系统(4-4)含有圆盘极点约束鲁棒控制律，且闭环系统系统(4-4)是二次D-稳定。34/40证实：前面证实过程同状态反馈，在此不再螯述。不等式两边分别数乘ε，并记得35/40上述不等式包含有”BKCV”和“E2KCV”一项,所以该不等式为关于V和K双线性矩阵不等式(bilinearmatrixinequality-BMI),无法经过Matlab求解.为此,引入等式约束CV=NC,可将其转化为LMI问题

,其中N为一适当维数非奇异实矩阵.将CV=NC代入上式，并记W=KN,可得定理得证。含有等式约束LMI问题求解起来会有很多限制。36/40引理4-1假设一个实对称正定阵

其中是对称实正定阵,表示正交补。和是列满秩实矩阵，那么存在，使得成立，当且仅当,且此时解可表示为37/40

定理4-7

对于给定LMI区域圆盘D(q,r)，假如存在对称正定矩阵NC、S，矩阵W，标量ε>0，使得以下线性矩阵不等式成立则u(t)=WCCTNC-1