湖南省邵阳市洞口县高沙镇中学高三数学理测试题含解析

湖南省邵阳市洞口县高沙镇中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A． B．﹣ C．5 D．参考答案：C【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=2，当n=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=，a=，n=3，当n=3时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=﹣，a=﹣，n=4，当n=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=5，当n=5时，不满足进行循环的条件，故输出的a值为5，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．2.已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()．A．是偶函数

B．是奇函数C．是非奇非偶函数

D．既是奇函数又是偶函数参考答案：B3.在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由?=（）?，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出?的值．【解答】解：由题意得AB=3，△ABC是等腰直角三角形，?=（）?=+=0+||?||cos45°=×3×3×=3，故选B．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．4.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长均为，底面是两邻边长分别为及的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为A.18π

B.

C.36π

D.48π参考答案：C因为四棱锥的底面为矩形，所以对角线AC为截面圆的直径。由题意得该四棱锥的外接球的球心O在截面ABC内的射影为AC的中点F，此时，则，解得。设外接球的半径为R，则，所以在中，由勾股定理得，解得，所以外接球的表面积为。选C。

5.若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为A. B.2 C. D.参考答案：D【分析】结合渐近线方程，计算得出a,b的关系，结合离心率计算方法，计算，即可。【详解】结合渐近线方程，可得，故，故，故选D。【点睛】考查了离心率计算方法，关键得出a,b的关系，即可，难度中等。6.下列命题中的假命题是（

）A． B.

C．

D．参考答案：C7.对于上可导的任意函数，若满足，则必有（

）A． B．C． D．参考答案：A考点：导数与函数的单调性．8.如图，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的内切球表面积为（

）A．B．C．D．参考答案：D9.已知平面向量，，若与共线，则A．

B．

C．

D．参考答案：D10.若展开式中存在常数项，则n的值可以是

(A)8

(B)9

(C)10

(D)12参考答案：答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在锐角三角形ABC中BC=1,B=2A则AC的取值范围是

参考答案：（，）

12.若对任意的，关于的方程组都有两组不同的解，则实数的值是

．参考答案：-213.已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若?=0．（1）k的值为（2）||=．参考答案：考点： 平面向量数量积的运算；向量的模．专题： 平面向量及应用．分析： （1）利用数量积的定义及其运算性质即可得出；（2）利用数量积的运算性质即可得出．解答： 解：（1）∵，是夹角为的两个单位向量，∴==﹣．∵?=0，∴+=0，化为k﹣2﹣=0，解得k=．（2）===．故答案分别为：，．点评： 本题考查了数量积的定义及其运算性质，属于基础题．14.已知函数f（x）=|x2﹣2ax+b|（x∈R），给出下列四个命题：①f（x）必是偶函数；②当f（0）=f（2）时，f（x）的图象必关于x=1对称；③若a2﹣b≤0，则f（x）在区间[a，+∞）上是增函数；④f（x）有最大值|a2﹣b|．其中所有真命题的序号是

．参考答案：③【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义．【分析】当a≠0时，f（x）不具有奇偶性，故①不正确；令a=0，b=﹣2，则f（x）=|x2﹣2|，此时f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x2﹣2|的对称轴为y轴而不关于x=1对称，故②不正确；若b﹣a2≥0，即f（x）的最小值b﹣a2≥0时，f（x）=（x﹣a）2+（b﹣a2），显然f（x）在[a，+∞）上是增函数，故③正确；又f（x）无最大值，故④不正确．【解答】解：当a≠0时，f（x）不具有奇偶性，①错误；令a=0，b=﹣2，则f（x）=|x2﹣2|，此时f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x2﹣2|的对称轴为y轴而不关于x=1对称，②错误；又∵f（x）=|x2﹣2ax+b|=|（x﹣a）2+b﹣a2|，图象的对称轴为x=a．根据题意a2﹣b≤0，即f（x）的最小值b﹣a2≥0，f（x）=（x﹣a）2+（b﹣a2），显然f（x）在[a，+∞）上是增函数，故③正确；又f（x）无最大值，故④不正确．答案：③．【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．15.函数的最小正周期是

.参考答案：答案：9

16.已知函数.若不等式的解集为，则实数的值为

.参考答案：因为不等式的解集为，即是方程的两个根，即，所以，即，解得。17.在中，角所对的边分别为，且，当取最大值时，角的值为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，四棱锥中,面，、分别为、的中点，，.（Ⅰ）证明：∥面；（Ⅱ）求面与面所成锐角的余弦值.参考答案：(Ⅰ)因为、分别为、的中点，所以∥……2分因为面，面所以∥面……4分（Ⅱ）因为所以又因为为的中点所以所以得，即……………6分因为，所以分别以为轴建立坐标系所以则………8分设、分别是面与面的法向量则，令又，令……………11分所以……………12分19.（本小题满分12分）国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：空气质量指数0-5051-100101-150151-200201-300300以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数，数据用茎叶图表示如下：(Ⅰ)试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结果)；(Ⅱ)试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；(Ⅲ)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率。(注:,其中为数据的平均数.)参考答案：20.已知函数f（x）=+x，g（x）=f（x）+lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=0时，记h（x）=g（x）﹣x2﹣x（b∈R且b≠0），求h（x）在定义域内的极值点；（Ⅲ）?x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜lnx2﹣lnx1成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）当a=2时，求函数的导数，即可求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=0时，根据函数的导数和极值点的关系，即可求h（x）在定义域内的极值点；（Ⅲ）根据不等式恒成立，转化为求函数的最值即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=+x，g（x）=+x+lnx，（x＞0）g'（x）=，由g'（x）＞0得，x＞1，此时函数单调递增，由g'（x）＜0得，0＜x＜1，此时函数单调递减，即函数g（x）的单调递增区间为（1，+∞），递减区间为（0，1）；（Ⅱ）当a=0时，记h（x）=g（x）﹣x2﹣x=lnx﹣x2，（x＞0），h'（x）=，①当b＜0时，h'（x）＞0，此时函数单调递增，h（x）在定义域内的无极值点；②当b＞0时，令h'（x）=0，得x=，则

x（0，\sqrt{b}）\sqrt{b}

（\sqrt{b}，+∞）h'（x）+0﹣h（x）递增极大值递减由表格可知：函数h（x）的极大值点为x=．（Ⅲ）?x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜lnx2﹣lnx1成立，则等价为成立，即，即g（x）=+x+lnx，在x≥1上为增函数，∴g'（x）=恒成立，即a≤x2+x在[1，+∞）上恒成立，∴a≤2，即实数a的取值范围a≤2．【点评】本题主要考查函数的单调性和极值的判断，利用导数和函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．21.写出下列命题的否定的形式，并判断它们的真假．(1），；(2