河南省南阳市龙中学校高三数学理上学期摸底试题含解析

河南省南阳市龙中学校高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等比数列的前项和为，若成等差数列，则的公比（

）A．0 B． C．

D．2参考答案：C略2.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（

）A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱参考答案：B根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱.选B3.定义在R上的函数满足：，，则不等式的解集为（

）A.(0,+∞) B.(－∞,0)∪(3,+∞)C.(－∞,0)∪(0,+∞) D.(3,+∞)参考答案：A【分析】由变形得，，构造函数，利用导数得其单调性，即可得到不等式的解集。【详解】由变形得，，设，所以原不等式等价于，因为，所以在定义域上递增，由，得，故选A。【点睛】本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学生的数学建模能力。4.如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C5.一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则10﹣r+10﹣r=10cm，∴r=10﹣5≈3cm．故选：A．6.若方程的实根在区间上，则

A.

B.1

C.或1

D。0参考答案：C略7.设，且为正实数，则（

）A．2 B．1 C．0 D．参考答案：D略8.某几何体的三视图如图1所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略9.若a＞0，b＞0，且函数在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（

）A．2

B．3

C．6

D．9

参考答案：D10.已知的最大值为

（

）

A．0

B．

C．2

D．无最大值参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，若，则此三角形的形状是

.参考答案：12.若全集U＝R，集合M＝{x|x2>4}，N＝{x|>0}，则M∩(?UN)等于________．参考答案：略13.函数y=的定义域为

．参考答案：（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，得，即1＜x＜3或x＜﹣1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，3），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，3）【点评】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．14.已知命题p:函数在(0,1)内恰有一个零点；命题q:函数在(0,+∞)上是减函数，若为真命题，则实数a的取值范围是

．参考答案：命题p：函数f（x）=2ax2﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点，则f（0）f（1）=﹣（2a﹣2）＜0，解得a＞1；命题q：函数y=x2﹣a在（0，+∞）上是减函数，2﹣a＜0，解得a＞2．∴￢q：a∈（﹣∞，2]．∵p且￢q为真命题，∴p与￢q都为真命题，∴解得1＜a≤2．则实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．

15.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为_______.参考答案：甲.【分析】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高【详解】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高．故答案为甲【点睛】画茎叶图时的注意事项（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶；（2）将茎上的数字按大小次序排成一列．（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧．（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较．16.已知函数，且，则

.参考答案：2014.为奇数时为偶数，，为偶数时，为奇数，∴

，，，，，，……，∴

，，即.17.定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＜﹣1的解集是

．参考答案：（﹣∞，﹣2）∪（0，）

【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇函数．【分析】设x＜0，则﹣x＞0，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出x＜0时的解析式，再对x分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，∴f（﹣x）=log2（﹣x），∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x），①当x∈（0，+∞）时，f（x）＜﹣1，即log2x＜﹣1=，解得0＜x＜，②当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜﹣1，即﹣log2（﹣x）＜﹣1，则log2（﹣x）＞1=log22，解得x＜﹣2，综上，不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，）．【点评】本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x就设在该区间内，再利用负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义f（x），再求出不等式的解集．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图1，在梯形中，，，，四边形是矩形.将矩形沿折起到四边形的位置，使平面平面，为的中点，如图2.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：//平面；（Ⅲ）判断直线与的位置关系,并说明理由．

参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析.试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般通过线面垂直来证明，本题中因为四边形为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；（Ⅱ）因为四边形为矩形，所以，又，，，所以平面平面.所以平面；（Ⅲ）可以证得四边形是以，为底边的梯形，故直线与相交.试题解析：（Ⅰ）因为四边形为矩形，

所以.

因为平面平面，且平面平面，平面，

所以平面.

………………3分

因为平面，

所以.

………………5分所以，.

………………12分因为四边形为梯形，为的中点，，所以，.所以四边形为平行四边形.所以，且.所以且.所以是平行四边形.所以，即.因为，所以四边形是以，为底边的梯形.所以直线与相交.

………………14分考点：空间立体几何19.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】等差数列的通项公式；等比数列；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）要求数列{an}，{bn}的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比）数列，由a1=1，an+1=2Sn+1，不难得到数列{an}为等比数列，而由数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*，易得数列{bn}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{an}，{bn}的通项公式．（2）由（1）中结论，我们易得，即数列{cn}的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{cn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得an+1﹣an=2an，an+1=3an（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．所以an=3n﹣1．由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．则bn=1+（n﹣1）?2=2n﹣1（Ⅱ）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．【点评】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．20.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l与圆C相交于A、B两点.若弦长，求实数a的值.参考答案：直线，圆，…4分由弦长

…6分所以圆心C（1，-1）到直线的距离，……………10分（漏解扣2分）21.（本小题满分12分）某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；

（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为，求随机变量的分布列和数学期望。参考答案：解（I）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则………4分（II）的可能值得为0，1，2，3，4，5……………9分所以随机变量的分布列如下：012345故………12分22.已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（2）若在区间（0，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求函数f（x）的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若在区间（0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．利用导数研究函数在闭区（0，e]上的最小值，先求出导函数f'（x），然后讨论研究函数在（0，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．【解答】解：（1）因为f′（x）=﹣+=，当a=1，f′（x）=，令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以x=1时，f（x）的极小值为1．f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分（2）∵f′（x）=，（a≠0，a∈R）．令f′（x）=0，得到x=，若在区间[0，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e]上的最小值小于0即可．（i）当x=＜0，即a＜0时，f′（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，∴f（x）在区间（0，e]上单调递减，故f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）=