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离散型随机变量及其分布律连续型随机变量随机变量及其分布函数第四章随机变量及其分布1/57基本思想将样本空间数量化,即用数值来表示试验结果

有些随机试验结果可直接用数值来表示.比如:在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示

比如:掷硬币试验,其结果是用汉字“正面”和“反面”来表示可要求:用1表示“正面朝上”用0表示“反面朝上”

有些随机试验结果不是用数量来表示，但可数量化§4.1

随机变量及其分布函数一、随机变量2/57随机变量定义设随机试验样本空间为Ω，假如对于每一个样本点，都有唯一实数与之对应，称为样本空间Ω上随机变量。3/57例1

从装有三个白球（记为1,2，3号）与两个黑球（记为4,5号）袋中任取两个球，设随机变量X表示取出两个球中白球个数。在以下两种情形下，X是怎样表示？（1）观察取出两个球颜色（2）观察取出两个球号码。解(1)试验样本点和基本事件＝｛取出两个白球｝

＝｛取出两个黑球｝

＝｛取出一个白球与一个黑球｝

12345＝｛取出第i号球与第j号球｝

＝｛（i,j）｝

(2)试验样本点和基本事件4/57用随机变量表示事件

如在掷骰子试验中，用X表示出现点数,则

A=“出现偶数点”可表示为：{X=2}

{X=4}

{X=6}

B=“出现点数小于４”可表示为：{X<4}或{X3}P(A)=P({X=2}

{X=4}

{X=6})P(B)=P(X<4)=P(X3)也能够是等式或是不等式。=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)5/57引入随机变量。随机事件由：样本点集合——随机变量取值区间概率确实定——函数计算这个函数就是随机变量概率分布函数随机变量样本点纯数学计算概率事件区间/数集6/57二、随机变量分布函数

设X为一随机变量,则对任意实数x，{X≤x}是一个随机事件，称为随机变量X分布函数定义域为（－∞，＋∞）；值域为［０，１］。F(x)是一个普通函数！DistributionFunction分布函数定义7/57分布函数性质单调不减性非负有界性

0≤F(x)≤1不可能事件必定事件右连续性反之，含有上述四个性质实函数，必是某个随机变量分布函数。故该四个性质是分布函数充分必要性质。规范性8/57问一问能否作为某一随机变量分布函数？不是因为函数可作为分布函数9/57例2设一袋中，依次有标着－1、2、2、2、3、3数字6个球，从中任取一球，令X表示所取球上数字，求X分布函数。解

X可能取值为－1,2，3，且当x＜-1时，｛X≤x｝是一个不可能事件，故当-1≤x<2时，｛X≤x｝={X=－1}，故当2≤x<3时，｛X≤x｝={X=－1}∪{X=2}，故当3≤x时，｛X≤x｝是一个必定事件，故即，X分布函数为10/57

引进分布函数F(x)后，事件概率都能够用F(x)函数值来表示。分布函数表示事件概率P(X≤b)=F(b)P(a<X≤b)=F(b)﹣F(a)P(X>a)=1﹣P(X≤a)=1-F(a)P(X<b)P(X≥b)P(X＝b)=F(b-0)=1-F(b-0)=F(b)－F(b-0)11/57§4.2

离散型随机变量

称此式为X分布律（列）或概率分布（Probabilitydistribution)

设离散型随机变量全部可能取值是，而取值概率为即一、离散型随机变量分布律12/57随机变量X概率分布全方面表示了X全部可能取值以及取各个值概率情况

p1

，p2

，…p

K…

P

x1，x2，…xk，…X离散随机变量分布律表格表示法

公式法

表格法性质13/57例3

设离散型随机变量X分布律为P（X=xi）=pi

i=1、2、…其中0＜p

＜1，求p

值。解：P46

114/57例4

设袋中有5个球，编号分别为1、2、…、5，从中同时取出3个球，以X表示取出球最小号码，求X分布律与分布函数。

解：X全部可能取值为1,2，3，且由古典概率公式可得即X分布律为

X1

23P（X=xi）0.60.30.1故，X分布函数15/57普通地，对离散型随机变量

X～P（X=xk）＝pk,k＝1,2,…其分布函数为

16/57例2中，得到X分布律为求取得球上数字是非负概率∴P(0≤X)=P(X=2)+P(X=3)分布律确定事件概率例5解∵｛取得球上数字是非负｝＝{X≥0}＝{X=2}∪{X=3}=1/2+1/3=5/617/57二、几个常见离散型分布0-1分布(二点分布)1－p

p

P01X

则称X服从参数为p

二点分布或(0-1)分布,△背景：样本空间可划分为两种结果情况都能够用两点分布来描述。如：上抛一枚硬币。△定义：

若随机变量X分布律为:18/57其中0<p<1,则称X服从参数为n,p

二项分布(也称Bernoulli分布）,记为X～B(n,p)在n重贝努利试验中,若以X表示事件A发生次数,

则X可能取值为0,1,2,3,…,n.随机变量X分布律二项分布Binomialdistribution19/57例6

从学校乘汽车去火车站须经过3处红绿灯，设各处红绿灯出现相互独立，且每处遇红灯概率都是0.25,用X表示碰到红灯次数，求X分布律及至多碰到一次红灯概率。解：此例遇红灯即为三重贝努利试验，故所以，即X分布律为

P（X=xi）0

1

2

3

X故至多碰到一次红灯概率P（X≤1）=P（X=0）+P（X=1）20/57

因为元件总数很大，而抽取数相对较小，故可看成是有放回抽样来处理。这时可认为每只元件是一级品概率是p=0.2,不是一级品概率是1-p=0.8，而元件之间检验是相互独立，故可将检验一只元件是否为一级品看作是一次伯努利试验，检验20只元件相当于是做20重伯努利试验。现设X为20只元件含一级品只数，则例7按要求，某种型号电子元件使用寿命超出1500小时为一级品。已知某一大批产品一级品率为0.2，现在从中随机地抽查20只，问20只元件中恰有k只(k=0,1,…，20)为一级品概率是多少？故解：21/57例8

设保险企业某种人寿保险有1000人投保，每人一年内死亡率为0.005，求这1000人中死亡人数不超出10人概率。

解：设X为这1000人中一年内死亡数，则X～B（1000，0.005）,故所求概率为P（X≤10）=≈0.986.22/57例9

某人进行射击，设每次射击命中率为0.02，独立射击400次，试求最少击中两次概率。解：记X为击中次数，则故所求概率为

结果表明，伴随试验次数增多，小概率事件总会发生！23/57若某人做某事成功率为1%，他重复努力400次，则最少成功一次概率为成功次数服从二项概率有百分之一希望，就要做百分之百努力24/57泊松分布

Poissondistribution若随机变量X分布律为:

其中

>0,则称X服从参数为

泊松分布X～P()25/57服务台在某时间段内接待服务次数X；候车旅客数Y;矿井在某段时间发生事故次数;显微镜下相同大小方格内微生物数目；单位体积空气中含有某种微粒数目

体积相对小物质在较大空间内稀疏分布，都能够看作泊松分布,其参数

能够由观察值平均值求出。

举例26/57例10在一个放射性物质试验中，共观察了N=2608次，每次观察时间为7.5秒，并统计抵达指定区域内质点数。放射粒子数i观察次数Ni频率fi概率pi0123456789≥10572033835255324082731394527160.02190.07780.14690.0.20400.15640.10470.05330.01720.01040.00610.02090.08070.15620.0.19490.15090.09730.05380.02600.01120.0066总计260811观察到有i个质点次数为Ni,则

表示有i个质点频率，而pi=P(i;3.870)表示参数为

概率

27/57例11

设每分钟经过某交通道口汽车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内无汽车经过与恰有一辆汽车经过概率相等，求一分钟内最少有两辆汽车经过概率。解：设X～P（λ），由P（X=0）=P（X=1），知故有λ=1，所以所求概率为P（X≥2）=1―P（X=0）―P（X=1）28/57泊松定理

实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式二项分布泊松近似ThePoissonApproximationtotheBinomialDistribution29/57几何分布若随机变量X分布律为则称X服从几何分布。P(X=k)=

其中p+q=1,0<p<1

例12在一个贝努里试验中，每次试验成功概率为p，失败概率为q=1-p(0<p<1),设试验进行到第X次才出现成功，求X分布律。X取值为1,2，…，且对应概率为P47

11解：30/57§4.3连续随机变量

定义

设X为一随机变量，分布函数为F(x),若存在非负实函数f(x),使对任意实数x，有则称X为连续型随机变量，f(x)

称为X概率密度函数,简称概率密度或密度函数.Probabilitydensityfunctionp.d.f.一、概率密度函数定义31/57二、概率密度函数性质1、非负性2、规范性能够依据这两个性质来判断一个函数是不是某个连续型随机变量密度函数。32/573、密度函数在区间上积分=

随机变量在区间上取值概率33/574、密度函数和分布函数关系积分关系导数关系概率密度f(x)不是随机变量X取值x概率,而是X在点x概率分布密集程度,f(x)大小能反应出X取x附近值概率大小.34/57连续型随机变量分布函数在实数域内处处连续P（X=a）=0P(a

X<b)=P(a<X

b)=P(a

X

b)=P(a<X<b)X取值在某区间概率等于密度函数在此区间上定积分连续型随机变量分布函数性质所以，连续型随机变量取任意指定实数值a概率为0=F(b)-F(a)35/57已知分布函数求密度函数例13设随机变量X分布函数求X密度函数，并计算P(X≤1)和P(X>2).解：X密度函数P(X≤1)＝F（1）P(X>2)＝1－P(X≤2)＝1－F（2）36/57例14设连续型随机变量X密度函数为

求：1、c值；2、F(x)；3、P（－1＜X＜1）。解：1、因为t0237/572、t02积分区域：（－∞,x]xtt02xxxt02t02（1）（2）（3）38/573、P（－1＜X＜1）＝F（1）－F（－1）＝1/8.或利用密度函数求概率：P（－1＜X＜1）39/571、均匀分布若连续型随机变量X概率密度为则称X在区间

（a，b）上服从均匀分布．记为X~U(a,b)定义分布函数三、几个惯用连续型分布40/570abxX“等可能”地取区间（a,b）中值，这里“等可能”了解为：X落在区间（a,b)中任意等长度子区间内可能性是相同。或者说它落在子区间内概率只依赖于子区间长度而与子区间位置无关。0abx（）

cd意义41/57例15

102电车每5分钟发一班，在任一时刻

某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超出2分钟概率。

解：设随机变量X为候车时间，则X服从（0，5）上均匀分布，即X～U（0，5），则X密度函数故所求概率为42/57例16

设K在[-1，5]上服从均匀分布，求方程有实根概率。解：方程有实数根即而密度函数为故所求概率为43/572、指数分布若连续型随机变量X概率密度为定义分布函数则称X服从参数为指数分布.44/57例14

设打一次电话所用时间X～E（0.2），（单位：分），若刚好有些人先你进入公用电话亭（只有一台电话），求:（1）你等候时间超出5分钟概率，（2）你等候时间在5分钟到10分钟概率。解：因为X～E（0.2），故其密度函数为故所求概率分别为(1)P（X＞5）=(2)P（5＜X＜10）=45/573、正态分布若随机变量X密度函数为则称X服从参数为μ，σ正态分布。记为分布函数为46/57

(1)单峰对称

密度曲线关于直线x=

对称；(p43)(2) f(

)＝maxf(x)＝正态分布几个特征：47/57(3)

大小直接影响概率分布越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻，。正态分布也称为高斯(Gauss)分布48/57标准正态分布标准正态分布性质密度函数分布函数当b>0时，值可由表查得49/5750/57例15，求P（X≤1.5），P（｜X｜＜1.