北京长陵中学高三数学文月考试题含解析

北京长陵中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个单调递增区间是（）A、［－，0］B、［0，］C、D、参考答案：A由题意可得，把的图象向左平移个单位，可得，由，解得，即函数的单调递增区间为，令时，函数的单调递增区间为，故选A

2.已知a＞0，b＞0，且2a+b=ab，则a+2b的最小值为(

)A．5+ B． C．5 D．9参考答案：D【考点】基本不等式．【专题】转化思想；数学模型法；不等式．【分析】a＞0，b＞0，且2a+b=ab，可得a=＞0，解得b＞2．变形a+2b=+2b=1++2（b﹣2）+4，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且2a+b=ab，∴a=＞0，解得b＞2．则a+2b=+2b=1++2（b﹣2）+4≥5+2×=9，当且仅当b=3，a=3时取等号．其最小值为9．故选：D．【点评】本题考查了变形利用基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(

)A．和B．和C．和D．和参考答案：B考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断．解答： 解：不共线的向量可以作为基底；∴不能作为基底的便是共线向量；显然B，；∴和共线．故选：B．点评：考查向量基底的概念，知道作为基底的向量不共线，以及共面向量基本定理．4.动直线与圆交于点A,B,则弦AB最短为(

）A．2

B．

C.6

D．参考答案：D直线化为直线过定点，可得在圆内，当时，最短，由，可得，，，故选D.

5.已知，则A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）点有顶点A，O为坐标原点，以A为圆心与双曲线C的一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°且=2，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由向量共线的坐标表示，可得Q的坐标，求得弦长|PQ|，运用中点坐标公式，可得PQ的中点坐标，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得m=，r=，运用圆的弦长公式计算即可得到a，b的关系，即可求出离心率．【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m＞0），由=2，可得Q（2m，），圆的半径为r=|PQ|=m=m?，PQ的中点为H（m，），由AH⊥PQ，可得=﹣，解得m=，r=．A到渐近线的距离为d==，则|PQ|=2=r，d=r，即有=?．可得=，∴e===，故选：B7.若变量满足约束条件，则的最大值为A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.设函数（、为常数）的图象关于直线对称，则有(

）

A．B．C．D．

参考答案：A9.

函数y=f(|x|)的图象如右图所示，则函数y=f(x)的图象不可能是

(

）

参考答案：B10.如果角的终边经过点，则(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.平面向量，，满足||=1，?=1，?=2，|﹣|=2，则?的最小值为

．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由?=1，?=2，可设=（1，m），=（2，n）．利用|﹣|=2，可得，（m+n）2=3+4mn≥0，再利用数量积运算=2+mn即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵||=1，∴不妨设=（1，0）．∵?=1，?=2，∴可设=（1，m），=（2，n）．∴=（﹣1，m﹣n）．∵|﹣|=2，∴，化为（m﹣n）2=3，∴（m+n）2=3+4mn≥0，∴，当且仅当m=﹣n=时取等号．∴=2+mn．故答案为：．【点评】本题考查了通过建立直角坐标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．12.若不等式上恒成立，则实数a的取值范围为_

参考答案：13.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段AA1的中点，M是平面BB1D1D内的点，则|AM|+|ME|的最小值是；若|ME|≤1，则点M在平面BB1D1D内形成的轨迹的面积等于

．参考答案：【考点】向量在几何中的应用．【专题】运动思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）由图形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距离与C到平面BB1D1D的距离相等，故MA=MC，所以EC就是|AM|+|ME|的最小值；（2）设点E在平面BB1D1D的射影为O，则EO=AC=，令ME=1，则△EMO是直角三角形，所以点M在平面BB1D1D上的轨迹为圆，有勾股定理求得OM=，即点M的轨迹半径为，代入圆面积公式即可求得面积．【解答】解：连接AC交BD于N，连接MN，MC，则AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥MN，∴△AMN≌△CMN，∴MA=MC，连接EC，∴线段EC的长就是|AM|+|ME|的最小值．在Rt△EAC中，AC=，EA=，∴EC==．过E作平面BB1D1D的垂线，垂足为O，则EO=AN=AC=，令EM=1，则M的轨迹是以O为圆心，以OM为半径的圆，∴OM==，∴S=π?（）2=．故答案为，【点评】本题考查了空间几何中的最值问题，找到MA与MC的相等关系是本题的关键．14.若函数f(x)=x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M－N的值为

.参考答案：答案：5015.双曲线的左、右焦点分别为，直线过，且交双曲线C的右支于A，B（A点在B点上方）两点，若，则直线的斜率k=______.参考答案：略16.的展开式中的系数为

（用数字作答）参考答案：6略17.

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上．Ⅰ求椭圆的标准方程．Ⅱ点，在椭圆上，，是椭圆上位于直线两侧的动点．（i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值．（ii）当，运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．参考答案：见解析解：Ⅰ设椭圆的标准方程为，∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，∴，即，又∵，，∴，，故椭圆的标准方程为．Ⅱ（i）设，，直线的方程为，联立，得，由，计算得出，∴，，∴，∴四边形的面积，当时，．（ii）∵，则，的斜率互为相反数，可设直线的斜率为，则的斜率为，直线的方程为：，联立，得，∴，同理可得：，∴，，，∴直线的斜率为定值．19.（本题满分12分）

一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：

，，，，，．???（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；???（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．参考答案：（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知………4分（2）可取．，；………6分故的分布列为………9分答：的数学期望为………12分20.（12分）已知椭圆M的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其短轴长为2，离心率为．点P（x0，y0）为椭圆M内一定点（不在坐标轴上），过点P的两直线分别与椭圆交于点A，C和B，D，且AB∥CD．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）证明：直线AB的斜率为定值．参考答案：（Ⅰ）由题意设的方程为：，则，即，又，解得.所以椭圆的标准方程为.……………………（4分）（Ⅱ）设，，则，所以，因为点在椭圆上，所以，即，整理得，又点在椭圆上，所以，从而可得，①又因为，故有，同理可得，②②①得，.因为点不在坐标轴上，所以，又易知不与坐标轴平行，所以直线的斜率，为定值.………………（12分）21.设函数.（1）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数在区间[t，t+3]上的最大值.参考答案：解：（1）∵∴，

（1分）令，解得

（2分）当x变化时，，的变化情况如下表：0—0↗极大值↘极小值↗故函数的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a）；（4分）因此在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数在区间内恰有两个零点，当且仅当，

（5分）解得，所以a的取值范围是（0，）.

（6分）（2）当a=1时，.由（1）可知，函数的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；.

（7分）①当t+3<-1，即t<-4时，因为在区间[t，t+3]上单调递增，所以在区间[t，t+3]上的最大值为；

（9分）②当，即时，因为在区间上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且，所以在区间上的最大值为.

（10分）由，即时，有[t，t+3]ì，-1?[t，t+3]，所以在上的最大值为；