高考数学复习第十二章推理与证明算法复数第3节数学归纳法及其应用理市赛课公开课一等奖省名师获奖P

第3节数学归纳法及其应用1/31最新考纲1.了解数学归纳法原理；2.能用数学归纳法证实一些简单数学命题.2/311.数学归纳法

证实一个与正整数n相关命题，可按以下步骤进行： (1)(归纳奠基)证实当n取___________________时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N+)时命题成立，证实当_________时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就能够断定命题对从n0开始全部正整数n都成立.知

识

梳

理第一个值n0(n0∈N+)n＝k＋13/312.数学归纳法框图表示4/31[惯用结论与微点提醒]1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时假设，不然不是数学归纳法.3.解“归纳——猜测——证实”题关键是准确计算出前若干详细项，这是归纳、猜测基础.5/311.思索辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证实问题时，第一步是验证n＝1时结论成立.(

) (2)全部与正整数相关数学命题都必须用数学归纳法证实.(

) (3)用数学归纳法证实问题时，归纳假设能够不用.(

) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证实时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.(

)诊

断

自

测6/31解析对于(1)，有证实问题第一步并不是验证n＝1时结论成立，如证实凸n边形内角和为(n－2)·180°，第一步要验证n＝3时结论成立，所以(1)不正确；对于(2)，有些命题也能够直接证实；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×7/31解析三角形是边数最少凸多边形，故第一步应检验n＝3.答案

C8/313.用数学归纳法证实“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时，应得到(

) A.1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1 B.1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1 C.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1 D.1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1

解析观察可知等式左边共n项，故n＝k＋1时，应得到1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1.

答案D9/31解析由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2.答案B10/315.用数学归纳法证实“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N+)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真.

解析因为步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.

答案

2k＋111/3112/3113/3114/31规律方法

用数学归纳法证实等式应注意两个问题(1)要搞清等式两边组成规律，等式两边各有多少项，以及初始值n0值.(2)由n＝k到n＝k＋1时，除考虑等式两边改变项外还要充分利用n＝k时式子，即充分利用假设，正确写出归纳证实步骤，从而使问题得以证实.15/3116/3117/3118/31【迁移探究1】

在例2中把题设条件中“an≥0”改为“当n≥2时，an<－1”，其余条件不变，求证：当n∈N+时，an＋1<an.19/3120/3121/31规律方法

应用数学归纳法证实不等式应注意问题(1)当碰到与正整数n相关不等式证实时，应用其它方法不轻易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证实不等式关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证实时用上归纳假设后，可采取分析法、综正当、求差(求商)比较法、放缩法、结构函数法等证实方法.22/3123/3124/3125/3126/31规律方法

(1)利用数学归纳法能够探索与正整数n相关未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜测—证实”，即先由合情推剪发觉结论，然后经逻辑推理论证结论正确性.(2)“归纳—猜测—证实”基本步骤是“试验—归纳—猜测—证实”.高中阶段与数列结合问题是最常见问题.27/31【训练3】

设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)导函数. (1)令g1(x)＝g(x