【证明不等式的常用方法探究15000字（论文）】

证明不等式的常用方法研究摘要在不等式的证明中,从中学课程到大学课程,对学生来说一直都是一个难点,然而学会证明不等式却在中学和大学课程中甚至是基础数学中都占据重要地位,不等式也是数学领域中一个重要的工具之一.虽然专门研究不等式的理论直到17世纪后才开始有的,但是不等式的发展十分迅速,直至现在已经有一个较为完整的体系.关于不等式证明虽然只是其中的一个模块,但无论是在课程中还是在理论研究中都是一个重难点,且不等式的证明无系统方法.因此本文就不等式证明的方法进行总结.本文即介绍了数学归纳法和比较法等一些常用方法,也介绍了用所学的中值定理和函数单调性等性质证明不等式,同时还介绍了一些常用不等式.关键词:不等式;数学归纳法;比较法;中值定理目录第一章绪论 11.1不等式的背景 11.2选题意义 11.3研究内容 2第二章不等式证明的基本方法 32.1初等方法 32.2导数法 122.3定积分法证明不等式 132.4利用幂级数展开证明不等式 14第三章利用函数证明不等式 163.1利用函数性质解不等式 163.2中值定理 18第四章一些常用不等式 244.1均值不等式的应用 244.2柯西-施瓦茨不等式 254.3詹森不等式的应用 26第四章总结 28参考文献 29第一章绪论1.1不等式的背景数学自萌芽之日起,就表现出其能用于解决各种实际问题的能力.因此,数学的发展于社会的进步相互之间有这紧密的联系,这种联系是不可分割,相互影响的.一方面,社会中经济发展状况,政治文明状况等很多涉及到社会方面的因素都深深影响着数学的发展;另一方面,数学的发展是否完善,是否先进也影响着社会的发展与进步[1].通常人们只认为数学只是理论知识,最多涉及到物质文明,因为无论是第一次工业革命,或是第二次工业革命,亦或第三次工业革命都是数学理论上的一次重大进步.但数学同样与精神文明有关,比如在画作中常需要构图以及我们生活中所常说的对称美,都与数学有着密切联系.在数学的学习过程中,不等式一定是其中的重点内容,同时还涉及到数学的其它分支,且与其联系紧密.因此有关不等式的问题常常能用多种方法解决,解决不等式的相关问题也经常涉及到数学各个分支的一些基础知识.有关不等式的理论是数学理论中不可或缺的一部分,而且和很多知识都有着十分紧密的关系[2].特别是在高中时期,不等式问题更是考察学生学习知识点的最佳问题类型,其在解题方法中具有多样性,能够考察学生运用知识的能力并加强学生学以致用的能力.在高中常用函数,基本不等式,求导等知识解决不等式问题的方法.所以本文详细介绍证明不等式的一些常用方法.对于学习高等数学,学习不等式证明是其中一个重要的学习内容.学习数学是为了解决人类生活上遇到的一些问题以提高生活品质,因为它在物理学,天文学,建筑学等很多方面都有着十分重要的作用,是这些与人类生活密切相关的学科学习的基础内容.但是在解决物理学,天文学,建筑学等中一些数学问题时,有时候有些方法并不能快速简单的解决问题,甚至有时有的理论也无法得到验证,所以在数学的学习中常常要求学者多加探索一些新的方法[3].在大学的主修课程——"数学分析”中,不等式的学习更为重要,既是学习数学分析的重点也是学习数学分析的难点,同时其中所学的很多知识都能用于解决不等式问题.就比如我们所学过的函数的凹凸性,泰勒公式,拉格朗日中值定理,柯西中值定理等,都在解决不等式相关问题的领域占重要地位.1.2选题意义在学习数学理论的过程中,不等式的证明一直在其中占据重要地位,是数学学习的一个重要内容,这在基础数学和高等数学中都得到很好的反映.众所周知,生活中的不等现象要比相等的现象更加多,但在数学研究领域中,不等式理论真正发展起来却在十七世纪以后,并迅速成为基础数学学习中的一个重要内容.回顾从小学到现在的数学学习历程,有关于证明不等式的问题往往是题型多变、证明方法多种多样且需要很强的技巧.每次在证明不等式之前,通常需要认真分析题目已知信息和所需要证明的不等式的结构特点以及其与所学知识之间的内在联系,最终才能够选择出适当的简明的证明方法.想要学会证明不等式,就要熟悉数学中有关于证法的内在推理思维,并且需要熟练掌握证明的有关技巧,步骤和语言说明以及特点,通过渗透问题的本质特征使得比较难的问题转变为更加简单的问题.证明不等式的方法有很多,却直到17世纪之后不等式才正式发展起来,因为不等式在生活中很常见,比如消费娱乐设计,运输方案设计等,所以不等式的证明在数学和生活中都占据重要地位.也是因此,探究不等式的证明方法也变得十分重要,多加学习不等式的证明方法对于中学生和大学生的数学相关课程学习都是非常重要的.1.3研究内容本文采用文献方式,总结一些证明不等式的常用方法并给出适当例题来进行学习,本问的主要研究内容如下:证明不等式的常用方法,并分类总结;总结一些常用的不等式,并能够在不等式的证明中得以应用;通过对所总结的不等式的证明方法的理论学习,在例题中得以应用.

第二章不等式证明的基本方法2.1初等方法比较法:在平时生活学习中,面对不等的情况,一般最先想到的是比较法,即将不等式的两边作比较,这是证明不等式的一个比较简单的方法.数学中是比较严谨的,数学中比较法有两种:作差法和作商法.但在解决不等式问题时,应根据实际情况选择作差法和作商法.作差法常用于不等式中分式或者是多项式比较多的情况,而当不等式两边若是幂,乘,除较多时建议采用作商法.作差法:在初高中数学中,学生们常用作差法去解决问题.作差法的主要步骤:1.不等式的两边进行作差;2.依据不等式的情况对不等式进行化简;3.利用已知的一些公理或题目已知信息判断作差后式子是大于零还是小于零.在对不等式化简时有很多种方法,常用的就是配方法和差分法.例1[4]已知a,b,c为互不相等的实数,证明a2证明:(=(=[(因为a,b,c为互不相等的实数,所以(a故而[(所以a则可得a作商法:作商法也是常用的证明不等式的方法,作商法的主要步骤:1.不等式的两边进行作商;2.依据不等式的情况对不等式进行化简;3.利用已知的一些公理或题目已知信息判断作差后式子是大于1还是小于1.在对不等式化简时有很多种方法,常用的就是通分法和拆分法.在运用作商法的时候一定要特别注意分母不能为零.例2[5]已知a>b>0,求证:aa证明:a因为a所以a故而(因此有a分析法:分析法,亦称为逆推法,即从题目中所需证的不等式出发,通过分析转换从而找到该不等式成立所需要的条件,这就将证明不等式的问题转化为找不等式成立的条件.用分析法解决问题时,若最终能够从已知中获得不等式成立的条件,则可证得原不等式成立.在运用分析法解决问题时,要从结论出发,一步一步进行推导,使得每一步都是可逆的,最终找到不等式成立所需要的条件.例3[6]已知a,b,证明:b⟺⟺⇔⇔⇔通过已知a可得bcc2则有bc即b反证法:在面对一些正面解决不了的问题时,可以从反面去思考,这就是反证法的由来.在数学中用反证法解决问题,首先是要假设所需要证明的命题是不成立的,即假设在原有的条件下,所得到的命题是不成立的,然后通过演绎推理得到与该假设完全矛盾的结果,从而证明这个假设是错误的,进而得到原命题是成立的,这就是反证法的证明思路.反证法能用于解决很多数学中的问题,从而让问题变得简单,在不等式的证明中同样可以应用反证法解决问题.例4[7]已知fx=x2+证明:假设f1,f那么−−−由式子1(2)−4<由式子2(3)−6<显然上述两种情况是相矛盾得,所以f1、f变量代换法:变量代换法也成为换元法,在使用变量代换方法时,要根据不等式的结构特点选择合适的变量代换方法,从而将不等式化为自己所熟知得不等式,或者是已经证明过得不等式,亦或是简单的不等式,从而证明给出的不等式.下面介绍证明不等式的常用两种变量代换法:三角代换法和代数代换法.三角代换法:三角代换是数学中解题的一种重要办法,尤其是在不等式的证明中,若所观察到的代数不等式可以与某些三角函数联系,或者是观察到题中代数不等式较为复杂无从下手,亦或是证明的过程较为复杂时,可以考虑进行三角代换,将代数不等式转化为三角不等式,从而能够利用三角函数的一些性质和所熟知的三角公式进行解题.但在应用三角代换法时,要求熟知三角函数的性质和三角公式.例5[8]若a,b1+证明:通过分析已知条件和不等式的结构,可做三角代换:a利用已知的两个恒等式:1+cot则可将所需证明的不等式化简为:csc⟺⟺由AM-GM不等式得:sin同理可得:将(1)(2)(3)相乘可得:sin则可得到所需要证明的不等式:1+代数代换法:代数代换法一般是通过题目已知的代数等式,对所需要证明的不等式进行代换,从而化简所需证明的不等式,使得不等式更易于证明.常用的一些代换如下:xyz=1⇒xy+yz+zx=1⇒xxy+yz+zx=−1⇒x=x=有时条件未必十分明了,下面罗列了一些特殊的条件代换.a+b+c+abc=0,a,b,c∈⇒a=A⇒⇒x=特别地,令A=B=A=B=1⇒2+x+y+z=xyz;A=2B=2⇒4=xy+yz+zx+xyz.对于这一类型还有更一般的形式（令E=1DA⇒上述即为一些可能用于证明不等式的代换[8].例6[8]假设a,b,c≥0且a,b,c中没有两个同时为零的情况,求证:a证明:作导数代换,令x=1x由柯西不等式,有y则要证原不等式成立,只需证明(也即(利用AM-GM不等式有((y则要证原不等式成立,只需证明x再由柯西不等式有x+y+z则要证原不等式成立,只需证明x+y+z上式有AM-GM不等式可知显然成立. 故原不等式成立,当且仅当a=b=c时取等号,得证.增量代换法:若题目假设条件有a≥b≥c时,且所需要证明的不等式是关于变量a,b,例7[9]设ak∈R证明:设a则δa==≥当且仅当δ1=δ构造法:构造法就是通过构造一些函数,复数,恒等式等来替换原不等式中的部分结构,从而将题中不等式转换成自己所熟悉的不等式,或者是已经证明过的不等式,亦或是较为明显的不等式,进而使得原不等式更易于证明.例8[10]设a,b,c,d∈R+,ab+bc+cd+da=1证明:令s=a+b+c+d,令函数fx则原不等式等价于注意到(1)式在[0,s]上为凸函数,且fx在s4,ff同理可得f所以f所以原不等式成立,得证.数学归纳法:数学归纳法是数学中最重要的数学思维方法之一,数学归纳法就是需要通过列举部分示例,然后对其进行归纳得出结论.当已知条件较多时或者是规律极其明显时,可用数学归纳法来证明不等式成立.数学归纳法的形式有三种：第一数学归纳法,第二数学归纳法,反向数学归纳法.第一数学归纳法步骤：1.先证明当n=1时不等式成立;2.假设n−1时不等式成立;3.证明n时不等式成立.第二数学归纳法步骤：1.先证明当n=1时不等式成立;2.假设小于等于n−1时不等式成立;3.证明n时不等式成立.反向数学归纳法步骤：1.不等式对无数多个自然数n都成立;2.假设设n+1时不等式成立;3.证明n时不等式成立.三种数学归纳法都十分相似.例10[11]证明:2证明:=1\*GB3①当n=3时,23>2×3+1,原不等式显然成立;=2\*GB3②假设n=k,2k>2k+1成立,则2∙即2故n=k+1时原不等式成立.综上所述∀n≥3,n∈N都有2n放缩法:在数学中,传递性是不等式的一个非常重要性质,可以利用不等式的传递性,增加项或者删减项,使得值发生变化,从而使得所得的式子和已知式子之间的关系更加明确,进而使得不等式的项获得简化,使得不等式的证明更加简单.放缩法有很多种,最常见的三种有:(1)增减放缩法:在不等式的某一边加上或者减去部分项,使不等式获得简化,明确证明思路;(2)拆项放缩法:拆项放缩法常用于数列不等式,主要是若在不等式中增加或者减少某些项能够使得其转换成一些数列或者是某些函数;(3)公式法:公式法就是用一些常见的或者是已知的不等式,对所需证明的不等式进行化简,放缩.常见的公式如下[12]:(1)若t>0,A+t>A,A−t<A;(2)n−1<(3)1n(4)若a,b,m∈R+,(5)1+1(6)1+1(7)1n+1(8)1(9)1+1例11[12]证明:1证明:利用上述说明以及所学数学知识可知:1则有不等式左边,即向量法:用向量法解决数学中的问题在大学数学专业中十分常见,若是在遇到无法用常规方法证明的不等式时,则可以观察题目已知信息和不等式的结构,尝试用向量的一些性质来证明不等式.向量中常用的可用于证明不等式的性质即为向量的模和向量的内积,但是这通常需要考验抽象思维能力,需要将代数不等式转化为向量,有时经常需要靠自己的经验来构造适当的向量.例12[13]已知m>0,n>0,且m≠n,求证:m+nm证明:由已知m>0,n>0,设向量a=m,n,因为m≠n,所以m则可得a与b不共线,0<θ<π.故而有(从而(即m+n2.2导数法对于导数的一些基本性质,高中的教学应已经烂熟于心,而大学的数学分析让人更加深入了解导数.在不等式的证明中则可用到函数求导的特点来证明不等式.若函数y=f(x)在某个区间I内可导,则有:(1)f(x)严格单调递增(x∈I)⟺f'(x)≥0(x∈I),且在I(2)f(x)严格单调递减(x∈I)⟺f'(x)≤0(x∈I),且在I在用导数法证明不等式时,不仅会涉及到导数的知识,同时也会涉及到函数的相关知识,下面例举用导数法证明不等式.例13[14]已知x,y,z∈R+,求证:证明:对函数ftf其中p=(at+b)当t2<bdac时,当t2>bdac时,因此,ft在tf固定y,对x的函数g用上面的结果(a=5,b=1,c=4,d=3y)得同样,对z的函数有所以,由式(2)(3)并对y的函数再一次用上面的结果得:式12.3定积分法证明不等式在学习积分时,积分的应用十分广泛,同时定积分具有一些性质,可用于不等式的证明.下面是关于定积分的一些性质:(1)牛顿-莱布尼茨公式:某个函数F(x)在区间[a,b]上由连续导函数,则有a(2)若f(x)二阶可导,且f'a用定积分法证明不等式其实就是将代数不等式转化为积分不等式,但是在选取函数以及积分的上下限时一定要注意,上限一定要大于下限,且不等式两边的积分限一定要相同.例14[15]当x>0时,证明1x+证明:（利用积分法）对x>0有:1对于积分变量t,0<t<1<1+t<即1从而有0即12.4利用幂级数展开证明不等式幂级数在分析数学中有着举足轻重的地位,在不等式的证明中有着广泛的应用,下面列举一些常用的幂级数展开式:(1)e(2)sin(3)(4)ln(5)(6)(7)1(8)(9)1+xα=1+αx+⋯+例15[16]对于所有的整数n>1,证明12ne证明:当n>1时,由exe即n−1从而有(1−所以1另由ln1+xln由此可得当n≥2时,由e−xe<1−结合式(2)(3),有(1−由式(1)(4)知所需证明的不等式成立,得证.

第三章利用函数证明不等式3.1利用函数性质解不等式单调性:函数的单调性是函数的基本性质,是学习函数的必学内容.因为函数的单调性是用来描述函数的增减性,即可以知道函数在不同的取值时两者的大小,因此可以利用函数的单调性来证明不等式.要通过函数的单调性解决不等式问题,首先需要仔细观察不等式两边式子的形式,从而构造合适的函数,继而可以应用到函数的单调性来证明不等式.但在构造合适的函数时,需要注意函数中变量的取值范围,同时值得注意的是只有在构造合适的函数时,才能简化不等式的证明,有时需要对原不等式进行变形才能发现合适的构造函数.例1[17]证明当x>0时,(1+x)(1+证明:在不等式两边同时取对数得:1+化简得:2通过观察上式,构造辅助函数f求一阶导得:f求二阶导得:f通过函数性质,因为f''x>0,所以f'x在区间(0,+∞)上严格单调递增,从而f又因为f(x)在[0,+∞)上连续且严格单调增加,故fx即2x+从而x+故(1+x)函数极值:函数极值是指函数在某个区间内取得的极大值或者是极小值,最终可以得到该区间内函数的最大值和最小值,因此函数极值可用于证明形如f(x例2[18]证明:12证明:令fx=2那么在区间(0,12)内,f(x)当0<x<14时,当14<x<1根据函数的极值性质可知,f14=而f0故当0≤x≤12时,从而0即1凹凸性:已知函数有关于凹凸性的定义如下:定义1[19]设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点x1,xf则称f为I上的凸函数.反之,如果总有f则称f为I上的凹函数. 通过凹函数和凸函数的定义知道,凹函数和凸函数本来就是通过不等式来定义的,自然能用于不等式的证明.同时,在数学分析中也可以了解到,凹函数和凸函数的变形有很多种,这表示在不等式的证明中可以灵活利用凹凸函数的各种变形来化简不等式,从而使证明过程更加简单,最终得到所需要证明的结果.例3[19](詹森(Jensen)不等式)若f为[a,b]上凸函数,则对任意xi∈[a,b],证明:应用数学归纳法.当n=2时,由凸函数的定义可知显然成立.设n=k时命题成立,即对任意x1,x2,⋯,现设x1,x令αi=λ由数学归纳法假设可推得:f(=f≤===由数学归纳法可知,对任何正整数n(≥2),凸函数f总有f3.2中值定理微分中值定理:定理1[19](罗尔中值定理)若函数f满足如下条件:(=1\*romani)f在闭区间[a,b]上连续;(=2\*romanii)f在开区间(a,b)上可导;(=3\*romaniii)fa=f(b),则在(a,b)上至少存在一点ξ,使得f'定理2[19](拉格朗日中值定理)若函数f满足如下条件:(=1\*romani)f在闭区间[a,b]上连续;(=2\*romanii)f在开区间(a,b)上可导,则在(a,b)上至少存在一点ξ,使得f定理3[19](柯西中值定理)设函数f和(=1\*romani)f在闭区间[a,b]上连续;(=2\*romanii)f在开区间(a,b)上可导;(=3\*romaniii)f'x和g(=4\*romaniv)ga≠g(b),则存在ξ∈(a,b),使得f微分中值定理在数学的很多方面都有应用,在不等式中要运用微分中值定理的一般步骤为:(1)首先需要观察不等式的两边构造适当的辅助函数;(2)其次要确定微分中值定理中的区间(a,b);(3)最后可以利用微分中值定理中的f'例4[20]当x≥0时函数fx可导,且f'x为不增函数,又f0=0证明:利用数学归纳法当n=1时显然不等式成立.当n=2时,若x1,在x1,在[0,xf(在[xf(显然ξ1<ξf即f假设当n=k时不等式成立,即f(取f显然,xk+1=0的情况不用证明显然成立,故只需考虑取u=i+1f由归纳假设即可得f例5[20]设x>0求证sinx证明:设f由柯西中值定理得:f即sin因为ex所以sin即sin积分中值定理:定理4[19](积分第一中值定理)若函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续,且g(x)在[a,b]上不变号,则在[a,b]上不变号,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使得a注:该定理中g(x)在区间[a,b]是可积的,且不变号,结论仍然成立.定理5[19](积分第二中值定理)若函数fx在区间[a,b]上非负单调递减,g(x)为可积函数,则存在ξ∈[a,b]a定理6[19]若在[a,b]上f(x)≥0且单调递减,g(x)为可积函数,则存在ξ∈[a,b]使得a定理7[19]若在[a,b]上f(x)为单调函数,g(x)为可积函数,则存在ξ∈[a,b]使得a积分中值定理常用于证明积分不等式,应用积分中值能快速将不等式中的一些积分化简,从而简化不等式的证明过程.例6[21]证明02π证明:令x=πt,有0则根据第一积分中值定理有0因为π例7[21]假设f(x)在[0,1]上连续且单调递减,证明对任何a∈(0,1)有0证明:对要证明的不等式进行移项合并:0=因为f(x)单调递减,所以在区间[0,a]上f(x)≥f(a)（即可得到0afxdx≥af(a)1−a因为f(x)为单调递减,且a<ξ<1,所以a例8[21]设f(x)在[a,b]上连续,且单调递增.证明a证明:将要证的不等式进行移项,并分部积分得:a=令gx显然f(x),g(x)在[a,a+b且g(x)在[a,a+b2]由积分第一中值定理知,存在ξ1使a=f=f+f=因为f(x)是单调递增函数,且a<ξ所以a+b即a

第四章一些常用不等式4.1均值不等式的应用均值不等式又称为平均不等式,是数学中重要的一个不等式,其表达式为:Hn调和平均数:几何平均数:算术平均数:平方平均数:注意的是,其中当且仅当a1一般情况下,通常会采用综合法、归纳法等来证明不等式,但是有时候证明不等式很艰难,就需要进行适当的放缩使得证明过程更加简化,有时就可以利用均值不等式来把复杂的问题简单化.例1[22]证明柯西不等式(i=1证明:要证明柯西不等式,只要证明令则式(1)变为i=1即利用均值不等式a得2同理可得:2将以上各式相加,可得:由式(2)(4)得2即不等式(3)成立,故柯西不等式成立.4.2柯西-施瓦茨不等式定理1[25](柯西不等式)i=1nxi2i=1nyi2≥i=1定理2[24](柯西-施瓦兹不等式)设函数f(x)及g(x)和它们的平方在区间[a,b]上可积分,则有a例2[22]已知正数a,b,c满足a+b+c=1.证明a3证明:由已知条件可得:=即左边≥(则下面只需要证明(即只需要证明3(而3由此可知原不等式成立,当且仅当aa3=bb例3[23]若函数f(x)在区间[a,b]上连接,且对于任意x∈[a,b]有fxa证明:令g应用施瓦兹公式有:a即a4.3詹森不等式的应用定理3[26](詹森不等式)若f(x)是区间[a,b]上得下凸函数,则对任意的x1i=1当且仅当x1詹森不等式得加权形式:若f(x)是区间[a,b]上的下凸函数,则对任意的x1,xf当且仅当当x1例4[22]证明不等式(abc)a+b+c3≤证明:设f由f(x)的一阶导数和二阶导数f'x=lnx由詹森不等式有:f从而a+b+c即(又因为3所以(abc)

第四章总结在数学中,不等式的证明涉及到很多知识,从高中到大学所学的一些基础知识的应用都几乎会涉及到不等式的证明,故而证明不等式的方法有很多,本文虽然已经列举了十多个方法和几个常用的不等式,但是仍然有很多其它的方法可用于不等式的证明,比如几何法、图形法等,同时还有很多常用的不等式可以用于不等式的证明以此来简化不等式的证明过程,比如赫尔德不等式.这些用于不等式证明的方法和常用的不等式是需要在学习的过程中不断积累的,目前所学到的一些方法就是前人在学习的过程中,不断积累出来的,可以发现很多方法对大学生来说并不陌生,也不仅仅只是用于证明不等式,因此证明不等式的方法更多的还是需要在学习的过程中进行探索,将所学的知识学以致用,广泛应用,而不能局限于某一块知识.不等式的证明也是基础数学中常遇到的而又比较难的一个知识点,主要是因为用于不等式证明的方法太多了,而且分布在不同的知识模块,很多人无法将这些知识灵活应用,这就导致不等式证明出现困难.不等式证明过程有时看起来很难,但是一旦掌握了方法就会变得非常简单.但掌握方法并不代表知道或者是了解这些方法就可以了,这还是需要不断的做题,在题目中找到不等式的规律,这样在面对不等式的证明时,才可以快速判断出应该用哪种方法.因此,本文中每种方法后面都有例子供读者参考研究.

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