备战2024中考数学考试易错模型02 相似模型（十大易错分析+变式训练+易错题通关）（原卷版）

试卷第=page22页，共=sectionpages2727页易错模型02相似模型易错模型一：A字型相似模型【模型解读】①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：；③模型拓展2：如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．【易错点】善于寻找A字型的相似；【例1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（）

A．24 B．12 C．6 D．10练习1．（2023·广东深圳·校考三模）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝．练习2．（2023秋·上海长宁·九年级上海市第三女子初级中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．(1)求线段DE的长；(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求的值．练习3．（2022春·全国·九年级专题练习）王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．(1)求两个路灯之间的距离；(2)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？1．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为A． B． C． D．2．如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是．3．如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为，求AP的长．4．如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．易错模型二：8字型相似模型【模型解读】①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔．③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．【例1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（）A． B． C． D．练习1．（2021秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，在正方形中，点为边上一点，且，点为对角线上一点，且，连接交于点，过点作于点，若，则正方形的边长为cm．练习2．（2023·江苏南通·统考一模）正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点．(1)当时，求的度数用含的式子表示；(2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由；(3)若，求的值．1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，点D，E分别是边AB，BC的中点，CD与AE交于点O，则OD的长是(

)

A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.42．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则．3．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F．（1）求证：；（2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积．4．如图，在正方形中，点E在对角线上，，过点E的直线分别交，于点M，N．（1）当时，的长为________，________；（2）已知．①若，求此时的长；②当E，F为的三等分点，点P在正方形的边上时，是否存在满足的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．易错模型三：AX型相似模型【模型解读】A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【例1】（2022·河南新乡·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（）A． B． C． D．练习1、（2022·河北石家庄·九年级期末）已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点．①若，求的长；②作，垂足为，求证：．练习2、（2022·河南·鹤壁市淇滨中学九年级期中）已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则___________．练习3、（2022·湖南株洲·九年级期末）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．（1）请你探究：，是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问一定成立吗？并证明你的判断．（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝，DE∥AC交AB于点E，试求的值．1．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（）A． B． C． D．2．如图，在矩形中，分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为．3．中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．4．如图，为平行四边形的边延长线上的一点，连接．交于，交于．求证：．易错模型四：母子型相似模型【模型解读】如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．【例1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（

）A．27 B．26 C．25 D．24练习1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，中，点在边上，且，若，，则的长为．练习2．（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长．1．如图，在等边中，，点是以为圆心，半径为3的圆上一动点，连接，为上一点，，连接，则线段的最大值与最小值之积为（

）A．27 B．26 C．25 D．242．如图，在中，AB=AC=4，，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转至ED，连接CE，则面积的最大值为3．已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E．（1）如图1，若∠ABC=∠ADC=90°，求证：ED⋅EA=EC⋅EB；（2）如图2，若∠ABC=120°，cos∠ADC=35，CD=5，AB=12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积．4．已知正方形的边长为4，点在边上，点在边上，且，和交于点．

（1）如图，求证：①②（2）连接并延长交于点，①若点为的中点（如图），求的长．

②若点在边上滑动（不与点重合），当取得最小值时，求的长．易错模型五：三角形内接矩形相似模型【模型解读】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【例1】（2022秋·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，中，，点E在上，于点F，，已知的面积为a，的面积为b，则矩形的面积为（）A． B． C． D．练习1．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图所示，在中，，，．

（1）若四边形为的内接正方形，则正方形的边长为；（2）若四边形为的内接矩形，当这个矩形面积最大时，则矩形的边长为．练习2．（2022秋·湖北宜昌·九年级校考期中）如图，在中，，高．矩形的一边在边上，E、F两点分别在、上，交于点H．

(1)若矩形为正方形，求该正方形的边长．(2)设，当x为何值时，矩形的面积最大？并求其最大值．1．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.6米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是6米，则车宽的长度为（）米．A． B． C． D．22．如图，矩形中，点在上，，点为延长线上一点，满足，连接交于点，若，，则．3．如图，矩形的边在的边上，顶点D、G分别在边上、已知，，设，．(1)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)连接，当为等腰三角形时，求y的值．4．在锐角中，，矩形的两个顶点，分别在上，另两个顶点均在上，高交于点，设的长为，矩形的面积为．(1)求的长，并用含的式子表示线段的长；(2)请求出关于的函数解析式；(3)试求的最大值．易错模型六：射影定理相似模型【模型解读】①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在和内均有射影定理模型．（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．【例1】】（2022秋•青羊区校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD＝3，BC＝5，则EF的长是（）A.eq\r(15)B．2eq\r(15)C.eq\r(17)D．2eq\r(17)练习1、（2022秋•杜尔伯特县期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个练习2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．练习3、（2022秋•汝州市校级月考）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．1．如图，在中，于点，给出下面三个条件：；；．添加上述条件中的一个，即可证明是直角三角形的条件序号是（

）A． B． C． D．2．如图，是直角三角形，，且，，则．3．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下：如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①

②

③

④

(1)自主探究：请证明结论③己知：在中，是斜边上的高，求证：(2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题：如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长．4．如图，D是边上点，已知，，．

(1)求边的长；(2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数．易错模型七：旋转相似模型【模型解读】①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.②如图所示，和都是等腰直角三角形，的延长线与相交于点P，则，且相似比为，与的夹角为．总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点及其旋转后的对应点组成的三角形相似．③如图所示，，则，，且．【例1】】（2021秋·江苏镇江·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（）A．3 B．2 C．5 D．练习1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转90°，得到，连接，交于点，则的长为．

练习2．（2022秋·江西吉安·九年级校考阶段练习）数学实践活动，是一种非常有效的学习方式．通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思推空间，丰富数学体验．让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．折一折：将正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，，连接，如图1．

转一转：将图1中的绕点A旋转，使它的两边分别交边于点E，F，连接，如图2．剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线剪开，如图4．(1)______，写出图中两个等腰三角形：______（不需要添加字母）；(2)线段之间的数量关系为______；(3)连接正方形对角线，若图2中的的边分别交对角线于点G、点H．如图3，求的值．练习3．（2023·湖南邵阳·统考一模）如图1，在中，，，过点A作直线，过点B，C分别作直线l的垂线，垂足分别为点E，D．

操作探究：（1）如图2，若直线l从图1状态开始绕点A旋转，请探究线段的数量关系并说明理由；（2）如图3，若直线l从图1状态开始绕点A顺时针旋转，与线段BC相交于点G，请再探究线段的数量关系并说明理由；尝试应用：（3）在图3中，延长线段交线段AC于点F，若，，求．1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（）A． B． C． D．2．已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为.3．如图1，分别是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点．（1）求证：；（2）如图2，如果，且，求的值；（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．4．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求的值，（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．易错模型八：k字型相似模型【模型解读】(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.补充：其他常见的一线三等角图形【例1】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA的长为（

）A． B．2 C． D．练习1．（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD:DE=2:3，则CF=．练习2．（2023·河南周口·校联考三模）（1）问题发现：如图1，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得．请求出线段与的数量关系；（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，则线段与的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．

1．如图，在反比例函数的图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第二象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（

）A．－6 B．－12 C．－18 D．－242．已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为．3．如图，在正方形中，点在上，交于点．（1）求证：；（2）连结，若，试确定点的位置并说明理由．4．如图，在中，点分别在边上，连接，且．（1）证明：；（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长．易错模型九：折叠相似模型涉及翻折问题，以矩形对称最常见，变化形式多样。无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。本专题以各类几个图形（三角形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。【知识储备】翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。解决翻折题型的策略：1）利用翻折的性质：①翻折前后两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分；2）结合相关图形的性质(三角形，四边形等)；3）运用勾股定理或者三角形相似建立方程。【例1】（2021秋·浙江湖州·八年级统考期中）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，点D，E恰好重合于点M．记面积为，面积为，且，则的值为（

）

A． B． C． D．练习1．（2023·河南信阳·校考三模）如图，正方形中，，点P为射线上一个动点．连接，把沿折叠，当点A的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为．

练习2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点，重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．

(1)求证：；(2)若，求的长．1．如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则的长为（

）A． B． C． D．2．如图，在菱形纸片中，点E在边上，将纸片沿折叠，点B落在处，，垂足为F．若，，则cm．3．如图1，矩形的一条边，将矩形折叠，使得顶点落在边上的点处，已知折痕与边交于点，连接、、．(1)求证：(2)如图2，擦去折痕、线段，连接．动点在线段上（点与点、不重合），动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．探究：当点、在移动过程中，线段与线段有何数量关系？并说明理由．4．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明：（1）请参照小慧提供的思路，利用图②证明：．应用拓展：（2）如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长．

易错模型十：动态相似模型动态相似问题，主要在于要学会根据点的位置进行分类讨