排列与排列数（第二课时）高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

排列与排列数（第二课时）思考：分布乘法原理和排列数有什么内在联系？答：排列数是根据分步乘法原理推导出来的，是分步乘法原理最简单、高度符号化的应用实例。大部分“计数问题”都可以拆解成若干个排列问题的组合，从而使问题分析更有条理，运算以及表达更加简便。排列常见题型定序问题相邻与不相邻问题特殊元素与特殊位置问题例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(1)甲不在首位的排法有多少种？(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？类型一：特殊元素与特殊位置问题例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(1)甲不在首位的排法有多少种？类型一：特殊元素与特殊位置问题方法一

从元素角度考虑Ⅰ类：不含甲，则Ⅱ类：含甲，则先排甲，再排剩下4位置，由分类加法原理得

例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(1)甲不在首位的排法有多少种？类型一：特殊元素与特殊位置问题方法二

从位置角度考虑step1：排首位step2：排后4位由分步乘法原理得

例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(1)甲不在首位的排法有多少种？类型一：特殊元素与特殊位置问题方法三

间接法（正难则反）不考虑甲不在首位的要求，有甲在首位的排列所以

例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种？类型一：特殊元素与特殊位置问题解：从位置角度考虑step1：排首位、末位step2：排中间3个位由分步乘法原理得

例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(3)甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种？类型一：特殊元素与特殊位置问题解：从位置角度考虑step1：排首位、末位step2：排中间3个位由分步乘法原理得

例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？类型一：特殊元素与特殊位置问题法一：从位置角度考虑Ⅰ类：末位是甲，则Ⅱ类：末位不是甲，则先排末位有

种方法，再排首位有

种方法，最后排中间3个位置有

种方法，所以由分类加法原理得

不能改成“排甲”，因为甲不一定被抽中例1从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.(4)甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种？类型一：特殊元素与特殊位置问题方法二

间接法（正难则反）不考虑甲、乙的要求，有甲在首位的排列乙在末位的排列甲在首位且乙在末位的排列所以

甲首乙末跟踪训练1

5名学生和1位老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？类型一：特殊元素与特殊位置问题方法一

从位置角度考虑step1：排首、末位step2：排中间4位由分步乘法原理得

方法二

从元素角度考虑step1：排老师step2：排5位学生由分步乘法原理得

方法三

间接法（正难则反）不考虑老师的要求，有老师在左端的排列

老师在右端的排列所以

解决排列问题，常用的思考方法有直接法和间接法.把特殊元素或特殊位置作为研究对象.例2

3名男生，4名女生，这7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？(1)男、女各站在一起；类型二：相邻与不相邻问题(2)男生必须排在一起；(3)男生不能排在一起；(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.例2

3名男生，4名女生，这7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？(1)男、女各站在一起；类型二：相邻与不相邻问题男1男2男3女1女2女3女4解：相邻问题——捆绑法step1:3个男生捆绑看成一个整体，有

种方法；step2:4个女生捆绑看成一个整体，有

种方法；step3:2个整体全排列，有

种方法；由分步乘法原理得例2

3名男生，4名女生，这7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？类型二：相邻与不相邻问题(2)男生必须排在一起；解：相邻问题——捆绑法step1:3个男生捆绑看成一个整体，有

种方法；step2:男生整体与4个女生这5个元素全排列，有

种方法；由分步乘法原理得男1男2男3女1女4女2女3例2

3名男生，4名女生，这7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？类型二：相邻与不相邻问题(3)男生不能排在一起；解：不相邻问题——插空法step1:可相邻的元素（女生）先全排列，有

种方法；step2:3个不相邻的元素（男生）排入女生形成的5个空隙中，

有

种方法；由分步乘法原理得女1女4女2女3男1男3男2例2

3名男生，4名女生，这7个人站成一排，下列情况下，各有多少种不同的站法？类型二：相邻与不相邻问题解：不相邻问题——插空法step1:女生全排列，有

种方法；step2:男生排入女生之间形成的3个空隙中，

有

种方法；由分步乘法原理得女1女4女2女3男1男3男2(4)男生互不相邻，且女生也互不相邻.处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.跟踪训练2

(1)小陈准备将新买的《尚书·礼记》《左传》《孟子》《论语》《诗经》五本书立起来放在书架上，若要求《论语》《诗经》两本书相邻，且《尚书·礼记》放在两端，则不同的摆放方法有

A.18种

B.24种C.36种

D.48种√涉及相邻问题与特殊位置、特殊元素问题类型二：相邻与不相邻问题解：相邻问题——捆绑法；特殊位置问题——优先安排step1:需相邻的《论语》、《诗经》捆绑在一起看成一个整体，

有

种方法；step2:《尚书·礼记》安排在左端或者右端，有

种方法；step3:《论语》和《诗经》的整体、《左传》、《孟子》3个元素

排列进剩下3个位置，有

种方法

；由分步乘法原理得论语诗经

尚书孟子左传跟踪训练3某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？类型三：定序问题(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？跟踪训练3某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？类型三：定序问题解：记3位老者年龄从小到到为

，

另外两位嘉宾为5位嘉宾无条件全排列有

种，

3位老者的相对顺序有

种（如右图），

（每一种都是等可能的，只有一种符合条件）

所以3位老者要按年龄从大到小的顺序出场有

种。✔（等机会法，即除序法）跟踪训练3某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？类型三：定序问题方法二：（拆成两个独立的排列问题）step1：因为3位老者的顺序已经固定，只需在5个位置中选出三个即可，无需再考虑排列，有10种方法；（后续学了组合数后会更简便，目前可用列举法）step2：剩下两个位置将其余2位嘉宾排列进去，有

种方法；由分步乘法原理得

跟踪训练3某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.类型三：定序问题(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？解：记3位老者年龄从小到到为

，另外两位嘉宾为(假设b年龄大)5位嘉宾无条件全排列有

种，

3位老者的相对顺序有

种，

2位年轻人的相对顺序有

种

所以3位老者要按年龄从大到小的顺序出场有

种。（每一种都是等可能的，只有一种符合条件）跟踪训练3某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从小到大的顺序出场，顺序有多少种？类型三：定序问题方法二：（拆成两个独立的排列问题）step1：因为3位老者的顺序已经固定，只需在5个位置中选出三个即可，无需再考虑排列，有10种方法；（后续学了组合数后会更简便，目前可用列举法）step2：剩下两个位置将其余2位年轻人按年龄大小排列进去即可；由分步乘法原理得

例3将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？类型三：定序问题方法一：（等机会法，即除序法）5个字母无条件全排列有

种，

A，B，C的相对顺序有

种（如右图），

（每一种都是等可能的，只有两种符合条件）

所以3位老者要按年龄从大到小的顺序出场有

种。✔✔例3将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法？类型三：定序问题

方法二：（拆成两个独立的排列问题）step1:从5个位置中选出3个放置