第三章 函数的概念与性质 综合练习-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的概念与性质综合练习共22道题，满分150分一、单项选择题（每道题5分，共40分）1.已知函数y=ax-4+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,若点P在幂函数f(x)的图象上,则幂函数f(x)的图象大致是().2.函数f(x)=1-x+A.(-∞,0) B.(0,1]C.(-∞,1] D.(-∞,0)∪(0,1]3.在下列四组函数中,f(x)与g(x)表示同一函数的是().A.f(x)=x-1,g(x)=xB.f(x)=|x+1|,g(x)=x+1C.f(x)=1,g(x)=(x+1)0D.f(x)=(3x)3,g(x)=4.已知函数f(x)=x+1,A.2 B.23 C.2或43 5.已知函数f(x),g(x)分别由下表给出:x123f(x)131x123g(x)321则满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是().A.1 B.2 C.3 D.1和26.已知函数f(x)=x,A.x B.-xC.-x D.-7.已知函数f(x)是定义在区间[-a-1,2a]上的偶函数,且在区间[0,2a]上单调递增,则不等式f(x-1)<f(a)的解集为().A.[-1,3] B.(0,2)C.(0,1)∪(2,3] D.[-1,0)∪(1,2)8.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水量为().A.13立方米 B.14立方米C.18立方米 D.26立方米二、多项选择题（每道题5分，共20分）9.若函数f(x)=(3m2-10m+4)xm是幂函数,则f(x)一定().A.是偶函数B.是奇函数C.在x∈(-∞,0)上单调递减D.在x∈(-∞,0)上单调递增10.已知函数f(x)的图象由如图所示的两条线段组成,则().A.f(f(1))=3B.f(2)>f(0)C.f(x)=-x+1+2|x-1|,x∈[0,4]D.∃a>0,不等式f(x)≤a的解集为111.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是().A.f(-1)=0B.f(x)在(-1,0)上是增函数C.f(x)>0的解集为(0,1)D.f(x)的最大值为112.把定义域为[0,+∞)且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“Ω函数”:(1)对任意的x∈[0,+∞),总有f(x)≥0;(2)若x≥0,y≥0,则有f(x+y)≥f(x)+f(y)成立.下列判断错误的是().A.若f(x)为“Ω函数”,则f(0)=0B.若f(x)为“Ω函数”,则f(x)在[0,+∞)上一定是增函数C.函数g(x)=0,D.函数g(x)=[x]在[0,+∞)上是“Ω函数”([x]表示不大于x的最大整数)三、填空题（每道题5分，共20分）13.函数f(x)=x-3414.某建材商场国庆期间搞促销活动,规定:如果顾客选购物品的总金额不超过600元,则不享受任何折扣优惠;如果顾客选购物品的总金额超过600元,则超过600元的部分享受一定的折扣优惠,折扣优惠按下表累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣优惠率不超过1100元部分5%超过1100元部分10%某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元,则他实际所付金额为元.

15.已知偶函数f(x)=x2+bx+c,写出一组使得f(x)≥2恒成立的b,c的取值:b=,c=.

16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2ax+a,其中a∈R.①f-12=②若f(x)的值域是R,则实数a的取值范围是.

四、解答题（17题10分，18-22题12分，共70分）17.给出关于函数f(x)的一些限制条件:①在(0,+∞)上单调递减;②在(-∞,0)上单调递增;③是奇函数;④是偶函数;⑤f(0)=0.在这些条件中,选择必需的条件,补充在下面的问题中.定义在R上的函数f(x),若满足(填写你选定的条件的序号),且f(-1)=0,求不等式f(x-1)>0的解集.

(1)若不等式的解集是空集,请写出选定条件的序号,并说明理由;(2)若不等式的解集是非空集合,请写出所有可能性的条件序号;(不必说明理由)(3)求解问题(2)中选定条件下不等式的解集.

18.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,f(-1)=-1,当x>0时,f(x)=x2-ax+4.(1)求y=f(x)的解析式;(2)求不等式f(x)<12x+1

19.对于任意的实数a,b,min{a,b}表示a,b中较小的那个数,即min{a,b}=a,a≤b,(1)求函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值;(2)设h(x)=min{f(x),g(x)},x∈R,求函数h(x)的最大值.

20.已知函数f(x)=ax-b9(1)确定f(x)的解析式;(2)判断f(x)在(-3,3)上的单调性,并用定义证明;(3)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.

21.某地空气中出现污染,须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算,每喷洒1个单位的去污剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为y=1+x(1)若一次喷洒4个单位的去污剂,则去污时间可达几天?(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂,6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的去污剂,要使接下来的4天中能够持续有效去污,试求a的最小值.

22.已知f(x)的定义域为R,对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)<1,f(1)=0.(1)求f(-1).(2)试判断f(x)在R上的单调性,并证明.(3)解不等式:f(2x2-3x-2)+2f(x)>4.参考答案1.B【解析】由x-4=0,得x=4,y=2,即定点为P(4,2).设幂函数f(x)=xα,则4α=2,得α=12,所以f(x)=x2.D【解析】要使函数f(x)有意义,则1-3.B【解析】对于A,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠-1},两个函数的定义域不相同,所以A不是同一函数;对于B,f(x),g(x)的定义域都为R,而f(x)=x+1对于C,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠-1},两个函数的定义域不相同,所以C不是同一函数;对于D,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不相同,所以D不是同一函数.4.D【解析】结合函数的解析式分类讨论.当x≥1时,f(x)=x+1=3,∴x=2,满足题意;当x<1时,f(x)=4x=3,∴x=34综上可得,x的值是2或345.B【解析】当x=1时,f(g(1))=f(3)=1,g(f(1))=g(1)=3,不符合题意;当x=2时,f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,符合题意;当x=3时,f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不符合题意.综上,满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为2.6.D【解析】因为f(x)=x当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-x又函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),故f(x)=--x7.B【解析】因为函数f(x)是定义在区间[-a-1,2a]上的偶函数,所以-a-1+2a=0,解得a=1,所以不等式f(x-1)<f(a)可化为f(|x-1|)<f(1).因为f(x)在区间[0,2a]上单调递增,所以|x-1|<1,解得0<x<2.8.A【解析】设该职工这个月的用水量为x立方米,需要缴纳的水费为f(x)元,当0≤x≤10时,f(x)=mx,当x>10时,f(x)=10m+(x-10)×2m=2mx-10m,故f(x)=mx据此分类讨论:当0≤x≤10时,令mx=16m,解得x=16,不符合题意,舍去;当x>10时,令2mx-10m=16m,解得x=13,符合题意.综上可得,该职工这个月实际用水量为13立方米.9.BD【解析】因为函数f(x)=(3m2-10m+4)xm是幂函数,所以3m2-10m+4=1,解得m=3或m=13,所以f(x)=x3或f(x)=x10.AC【解析】因为f(1)=0,f(0)=3,所以f(f(1))=3,所以A正确.因为f(0)=3,0<f(2)<3,所以f(2)<f(0),所以B错误.由题图得,当x∈[0,1]时,设解析式为y1=k1x+b1(k1≠0),因为图象经过(1,0),(0,3)两点,所以k1+b1=0当x∈[1,4]时,设解析式为y2=k2x+b2(k2≠0),因为图象经过(1,0),(4,3)两点,所以k2+b2=0故f(x)=-x+1+2|x-1|,x∈[0,4],所以C正确.由选项C得f(2)=2-1=1,f12=3-32=3211.AD【解析】由题意得f(-1)=f(1)=1-1=0,故A正确;当x≥0时,f(x)=x-x2在0,12上是增函数,在12,当x≥0时,由f(x)=x-x2>0,可得0<x<1,因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以当x<0时,由f(x)>0,可得-1<x<0,所以f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1),故C不正确;当x≥0时,由f(x)=x-x2=-x-122+14可知,当x=12时,f(x)12.BC【解析】若函数f(x)为“Ω函数”,若满足条件(1),则f(0)≥0,若满足条件(2),当x=y=0时,f(0)≥f(0)+f(0),解得f(0)≤0,若同时满足条件(1)(2),则f(0)=0,故A正确;若函数f(x)是常函数,如f(x)=0,x∈[0,+∞),同时满足条件(1)(2),但不是增函数,故B不正确;当x=2,y=3时,g(2)=1,g(3)=1,g(2+3)=1,g(2+3)<g(2)+g(3),不满足条件(2),所以g(x)在[0,+∞)上不是“Ω函数”,故C不正确;g(x)=[x]的最小值是0,显然符合条件(1),设[0,+∞)上的每一个数都由整数部分和小数部分两部分构成,设x的整数部分是m,小数部分是n,即x=m+n,则[x]=m,设y的整数部分是a,小数部分是b,即y=a+b,[y]=a,当n+b没有进到整数位时,[x+y]=m+a,若n+b进到整数位时,[x+y]=m+a+1,所以[x+y]≥[x]+[y],所以函数g(x)=[x]满足条件(2),所以g(x)=[x]在[0,+∞)上是“Ω函数”,故D正确.13.[3,4)∪(4,+∞)【解析】由x-14.1120【解析】由题意可知,折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式为y=0∵y=30>25,∴x>1100,∴0.1(x-1100)+25=30,解得x=1150,由1150-30=1120知,此人购物实际所付金额为1120元.15.04(答案不唯一)【解析】由题意,函数f(x)=x2+bx+c为偶函数,则f(-x)=f(x),即(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c,可得b=0,所以f(x)=x2+c,又由f(x)≥2恒成立,所以f(x)min≥2,即c≥2.16.-14(-∞,0]∪[1,+∞)【解析】①由题意,函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2ax+a,则f-12=-f12=-②若函数f(x)的值域为R,由函数f(x)的图象关于原点对称,可得当x>0时,函数f(x)=x2-2ax+a的图象与x轴有交点,则Δ=(2a)2-4a≥0,解得a≤0或a≥1,即实数a的取值范围是(-∞,0]∪[1,+∞).17.【解析】(1)若不等式f(x-1)>0的解集为空集,即f(x-1)≤0恒成立.因为f(-1)=0,所以函数f(x)不可能单调递增或单调递减,所以①②都不能选.选③④时,f(x)的表达式为f(x)=0,不等式f(x-1)>0的解集为空集.所以选③④.(2)若不等式f(x-1)>0的解集是非空集合,可选择条件:①③;①④⑤;②③;②④⑤.(3)若选择①③:因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,f(-x)=-f(x),又f(-1)=0,所以f(1)=0,又f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,由f(x-1)>0,得x-1<-1或0<x-1<1,解得x<0或1<x<2,所以不等式f(x-1)>0的解集为(-∞,0)∪(1,2).若选择①④⑤:由于f(x)是偶函数,f(-1)=0,则f(1)=0,又f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,由f(x-1)>0,得-1<x-1<0或0<x-1<1,解得0<x<2且x≠1,所以不等式f(x-1)>0的解集为(0,1)∩(1,2).若选择②③:因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,f(-x)=-f(x),又f(-1)=0,所以f(1)=0,又f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,由f(x-1)>0,得-1<x-1<0或x-1>1,解得0<x<1或x>2,所以不等式f(x-1)>0的解集为(0,1)∪(2,+∞).若选择②④⑤:由于f(x)是偶函数,f(-1)=0,则f(1)=0,又f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.由f(x-1)>0,得-1<x-1<0或0<x-1<1,解得0<x<2且x≠1,所以不等式f(x-1)>0的解集为(0,1)∪(1,2).18.【解析】(1)因为函数y=f(x)是R上的奇函数,f(-1)=-1,所以f(0)=0,f(1)=-f(-1)=1,所以1-a+4=1,解得a=4,所以当x>0时,f(x)=x2-4x+4.令x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2-4(-x)+4=x2+4x+4,因为函数y=f(x)是R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-4x-4.综上可知,f(x)=x(2)当x>0时,原不等式可化为x2-4x+4<12x+1整理并化简,得(x-1)(2x-7)<0,解得1<x<72当x=0时,原不等式可化为0<12当x<0时,原不等式可化为-x2-4x-4<12x+1整理并化简,得(x+3)(2x+3)>0,解得x<-3或-32综上,原不等式的解集为(-∞,-3)∪-32,19.【解析】(1)因为f(x)=3-x2在[-1,0]上单调递增,在(0,1]上单调递减,所以f(x)在[-1,1]上的最小值为f(-1)=f(1)=2.(2)当g(x)=1-x≤3-x2=f(x),即-1≤x≤2时,h(x)=1-x;当g(x)=1-x>3-x2=f(x),即x<-1或x>2时,h(x)=3-x2.作出函数h(x)的图象如图所示,由图可知,h(x)在(-∞,-1)上单调递增,在[-1,+∞)上单调递减,即h(x)≤h(-1)=2.所以当x=-1时,h(x)取得最大值,最大值为2.20.【解析】(1)由函数f(x)=ax-b9-x又f(1)=a9-1故f(x)=x9(2)f(x)在(-3,3)上为增函数.证明如下:在(-3,3)内任取x1,x2,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=x29-x2∵x2-x1>0,9+x1x2>0,9-x12>0,9-∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),∴f(x)在(-3,3)上为增函数.(3)∵f(t-1)+f(2t)<0,∴f(t-1)<-f(2t),又