第三章 函数的概念与性质章节达标检测考试-2020-2021学年高一数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019必修第一册）

第三章函数的概念与性质章节达标检测考试试卷(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列各组函数相等的是()A.y=x-1和y=xB.y=x0和y=1(x∈R)C.y=x2和y=(x+1)2D.f(x)=(x)2.函数g(x)=-x2-x+2A.(-2,0)∪(0,1)B.[-2,0)∪(0,1]C.(-1,0)∪(0,1]D.[-1,0)∪(0,2]3.已知函数f(x)=2x+1A.f(x)有最大值53B.f(x)有最大值53,最小值C.f(x)有最大值75D.f(x)有最大值2,最小值74.已知f(x)为一次函数,且f(f(x))=4x-3,则f(1)的值为()A.0 B.1 C.2 D.35.定义在R上的偶函数f(x),对任意的x1,x2∈(-∞,0),都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,f(-1)=0,则不等式xf(x)<0的解集是()A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)6.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(-5)+f(5)=()A.4 B.0C.2m D.-m+47.已知函数f(x)=(a-3)A.(0,3) B.(0,3]C.(0,2) D.(0,2]8.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y),f12=1,如果对于0<x<y,都有f(x)>f(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为A.[-4,0) B.[-1,0)C.(-∞,0] D.[-1,4]二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.对任意两个实数a,b,定义min{a,b}=a,a≤b,bA.函数F(x)是奇函数B.方程F(x)=0有三个根C.函数F(x)有4个单调区间D.函数F(x)有最大值1,无最小值10.若函数f(x)同时满足:①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;②对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有f(xA.f(x)=1B.f(x)=-x3C.f(x)=|x|D.f(x)=-11.函数f(x)=|x|-ax(a∈R)的大致图象可能是12.对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则把y=f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论正确的是()A.函数y=x2+1是闭函数B.函数y=-x3是闭函数C.函数y=xxD.若函数y=k+x+2是闭函数,则k∈三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则f12的值为14.已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1-x),则当x<0时,f(x)=.

15.有一批材料可以建成360m长的围墙,如果用此材料在一边靠墙(墙足够长)的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形,如图所示,则围成场地的最大面积为m2(围墙厚度不计).

16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2ax+a+2,其中a∈R.(1)当a=1时,f(-1)=;

(2)若f(x)的值域是R,则a的取值范围为.(本小题第一空2分,第二空3分)

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x(1)求f(2)及f(f(-1))的值;(2)解关于x的不等式f(x)>4.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当x∈[-1,2]时,求函数f(x)的最大值和最小值.19.(本小题满分12分)已知定义域为R的函数f(x)满足:对任意实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y)+2,且f(2)=2,又当x>1时,f(x)>0.(1)求f(0),f(-1)的值;(2)证明:当x<1时,f(x)<0;(3)判断函数f(x)的单调性,并证明.20.(本小题满分12分)小张经营某一消费品专卖店,已知该消费品的进价为每件40元,该店每月销售量y(百件)与销售单价x(元)之间的关系用如图所示的折线表示,职工每人每月工资为3000元,该店每月还应交付其他费用10000元.(1)把y表示为关于x的函数;(2)当销售价为每件50元时,该店正好收支平衡(即利润为零),求该店的职工人数;(3)若该店只有8名职工,则销售单价定为多少元时,该专卖店可获得最大月利润?21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=-x|x-a|+1(x∈R).(1)当a=2时,试写出函数g(x)=f(x)-x的单调区间;(2)当a>1时,求函数f(x)在[1,3]上的最大值.22.(本小题满分12分)设a,b∈R,若函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=5x(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称;(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈-23,1使得h(x1

答案全解全析一、单项选择题1.DA,B选项中,两个函数的定义域不相同,故A,B错误;C选项中两个函数的对应关系不同,故C错误;D选项中两个函数的定义域、对应关系都相同,故选D.2.B依题意得-x3.Af(x)=2x+1x-1=2(x-1)+3x4.B设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x-3,因此k2=4,kb+b当f(x)=2x-1时,f(1)=1;当f(x)=-2x+3时,f(1)=1.综上,f(1)=1,故选B.5.D由于对任意的x1,x2∈(-∞,0),都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上为减函数,由于f(x)是R上的偶函数,故f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=f(-1)=0,由此画出f(x)的大致图象如图所示:由图可知,不等式xf(x)<0的解集是(-∞,-1)∪(0,1).故选D.6.A令g(x)=ax7-bx5+cx3,易知g(x)为奇函数,则f(x)=g(x)+2,∴f(-5)=g(-5)+2=m,g(-5)=m-2,∴g(5)=-g(-5)=-m+2,∴f(5)=g(5)+2=4-m,∴f(-5)+f(5)=4.7.D∵函数f(x)=(a∴x≤1时,f(x)单调递减,即a-3<0,①x>1时,f(x)单调递减,即a>0,②且(a-3)×1+5≥2a联立①②③解得0<a≤2,故选D.8.B令x=y=1,得f(1)=2f(1),即f(1)=0;令x=12,y=2,得f(1)=f(2)+f12,即f(2)=-1;令x=y=2,得f(4)=2f(2)=-2.由f(-x)+f(3-x)≥-2,可得f(x2-3x)≥f(4),又因为函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对于0<x<y,都有f(x)>f(y),所以-x二、多项选择题9.BCD依题意,得F(x)=2-x由图可知,F(x)为偶函数;方程F(x)=0有三个根,分别是-2,0,2;F(x)的单调增区间为(-∞,-1],(0,1),F(x)的单调减区间为(-1,0],[1,+∞),所以函数F(x)有4个单调区间;当x=±1时,F(x)取得最大值1,无最小值.故选BCD.10.BD由题中①知,f(x)为奇函数,由②知,f(x)为减函数.在A中,函数f(x)=1x为定义域上的奇函数,但不是定义域上的减函数,所以不是理想函数;在B中,函数f(x)=-x3为定义域上的奇函数,且在定义域上为减函数,所以为理想函数;在C中,函数f(x)=|x|为定义域上的偶函数,且在定义域上不单调,所以不是理想函数;在D中,函数f(x)=-显然此函数为奇函数,且在定义域上为减函数,所以为理想函数,综上,选BD.11.ABDf(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.当a=0时,f(x)=|x|(x≠0),图象同选项A;当a≠0时,f(x)=|x|-ax=x-a12.BD因为y=x2+1在定义域R上不是单调函数,所以函数y=x2+1不是闭函数,A错误;y=-x3在定义域上是减函数,由题意设[a,b]⊆D,则b=-a3,a=-b3,b>a,解得a=-1,b=1.因此存在区间[-1,1],使y=-x3在[-1,1]上的值域为[-1,1],B正确;y=xx+1=1-1x+1在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递增,所以函数在定义域上不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数,C错误;y=k+三、填空题13.答案2解析设f(x)=xα,则2=4α=22α,∴2α=1,解得α=12因此,f(x)=x1从而f12=12114.答案x(1+x)解析因为x<0,所以-x>0,所以f(-x)=(-x)(1+x),又函数f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-(-x)(1+x)=x(1+x),所以当x<0时,f(x)=x(1+x).15.答案8100解析设每个小矩形垂直于墙的一边长为am,则平行于墙的一边长b=(360-4a)m,记场地的面积为Sm2,则S=ab=a(360-4a)=-4(a-45)2+8100(0<a<90),∴当a=45时,Smax=8100,则最大面积为8100m2.16.答案(1)-2(2)(-∞,-2]∪[2,+∞)解析(1)∵a=1,∴当x>0时,f(x)=x2-2x+3.又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-1)=-f(1)=-(1-2+3)=-2.(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(0)=0,又当x>0时,函数f(x)的图象的对称轴方程为x=a,若f(x)的值域是R,则当x>0时,f(x)=x2-2ax+a+2必须满足:a>0解得a≥2或a≤-2,即a的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).四、解答题17.解析(1)f(2)=-2×2+8=4;(2分)f(f(-1))=f(-1+5)=f(4)=-2×4+8=0.(4分)(2)当x≤1时,f(x)=x+5,若f(x)>4,则x+5>4,解得x>-1,则-1<x≤1.(6分)当x>1时,f(x)=-2x+8,若f(x)>4,则-2x+8>4,解得x<2,则1<x<2.(8分)所以不等式的解集为{x|-1<x<2}.(10分)18.解析(1)由f(0)=2,得c=2,由f(x+1)-f(x)=2x-1,得2ax+a+b=2x-1,故2a=2,a+b(2)由(1)知,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,其图象的对称轴方程为x=1,且图象开口向上,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1],单调递增区间为[1,+∞).(8分)(3)由(2)知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1],单调递增区间为[1,+∞),所以f(x)在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增.故当x∈[-1,2]时,f(x)min=f(1)=1.又f(-1)=5,f(2)=2,所以f(x)max=f(-1)=5.(12分)19.解析(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+2,故f(0)=-2,令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1)+2=2,故f(1)=0,令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)+2,故f(-1)=-4.(3分)(2)证明:若x<1,则2-x>1,则f(2-x)>0.因为f(2)=f(2-x+x)=f(2-x)+f(x)+2=2,所以f(x)=-f(2-x)<0.即当x<1时,f(x)<0.(7分)(3)函数f(x)在R上为增函数.(8分)证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=[f(x2-x1)+f(x1)+2]-f(x1)=f(x2-x1)+2=f(x2-x1+1-1)+2=f(x2-x1+1)+f(-1)+4=f(x2-x1+1),(10分)∵x1<x2,∴x2-x1+1>1,∴f(x2-x1+1)>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上为增函数.(12分)20.解析(1)当40≤x≤60时,设AB的方程为y=k1x+b1(k1≠0),将A,B两点的坐标分别代入求得AB的方程为y=-2x+140.当60<x≤80时,设BC的方程为y=k2x+b2(k2≠0),同理,可得BC的方程为y=-12所以y=-2x(2)设该店有职工m名,当x=50时,该店的总收入为y(x-40)×100=100(-2x+140)(x-40)=40000元,该店的总支出为(3000m+10000)元,依题意得40000=3000m+10000,解得m=10.所以该店有10名职工.(6分)(3)设该店的月利润为S元.若该店只有8名职工,则月利润S=(-2x当40≤x≤60时,S=-200(x-55)2+11000,所以当x=55时,S取得最大值11000元;当60<x≤80时,S=-50(x-70)2+11000,所以当x=70时,S取得最大值11000元.故当x=55或x=70时,S取最大值11000元,即销售单价定为55元或70元时,该专卖店的月利润最大.(12分)21.解析(1)当a=2时,f(x)=-x|x-2|+1=x所以g(x)=f(x)-x=x2当x<2时,g(x)=x2-3x+1,其图象开口向上,对称轴方程为x=32,所以g(x)在-∞,32当x≥2时,g(x)=-x2+x+1,其图象开口向下,对称轴方程为x=12综上可知,g(x)的单调递减区间为-∞,32和[2,+∞),单调递增区间为(2)由题知,f(x)=-x因为a>1,所以f(0)=f(a)=1,fa2=1-a当1<a≤3时,f(x)max=f(a)=1.(9分)当a>3时,f(x)在1,a2上单调递减,在又a2-1-若3<a<4,则f(x)max=f(3)=10-3a;(10分)若a≥4,则f(x)m