2021届高考高三数学三轮复习模拟考试卷（二十五）

高三模拟考试卷（二十五）选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，，，则中的元素个数为A．2 B．3 C．4 D．52．设复数满足，则A． B． C．1 D．3．某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将60名同学按01，02，，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676（注表中的数据为随机数表的第一行和第二行）A．24 B．36 C．46 D．474．某养老院一楼有六个房间，现有6位男住户和4位女住户，要求安排其中2位女住户人住中间四个房间中的两个，安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，则不同的安排方式有A．25920种 B．26890种 C．27650种 D．28640种5．在中，，，，则边上的高的长度为A． B． C． D．6．设椭圆的一个焦点为，则对于椭圆上两动点，，周长的最大值为A． B．6 C． D．87．已知实数，，成等差数列，则点到直线的最大距离是A． B．1 C． D．28．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁，扇面形状较为美观．从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为．则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为A． B． C． D．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中。有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。9．某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为的1000名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2；你是否经常吸烟？按调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）；摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌地给出真实的答案，最后统计得出，这1000人中，共有260人回答“是”，则下列表述正确的是A．估计被调查者中的有510人吸烟 B．估计约有10人对问题2的回答为“是” C．估计该地区约有的中学生吸烟 D．估计该地区约有的中学生吸烟10．已知，下列结论正确的是A． B．（1） C． D．11．在棱长为的正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点，若球，的半径分别为，，则A． B． C．这两个球的体积之和的最大值是 D．这两个球的表面积之和的最小值是12．若，，则下列结论正确的有A． B．有最小值 C． D．若，则的最大值为填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数的图象在点，（1）处的切线过点，则．14．已知，为常数，若，则．15．已知球的球心为，其中球的一条直径为，在球内任取一点，则为锐角的概率为．16．已知正方体的体积为27，点．分别是线段，的中点，点在四边形内运动（含边界），若直线与平面无交点，则线段的取值范围为．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列为等比数列，首项为函数的最小值，公比，且，是关于的方程的根．其中为常数．（1）求数列的通项公式；（2）设，，求使的最大值．18．非直角中，角，，所对的边分别为，，，．（1）求角；（2）若，为中点，在下列条件中任选一个，求的长度．条件①；②的面积为，且．19．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由．20．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出且瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以，，，，表示第一次排序时被排在1，2，3，，的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．（1）证明：无论取何值，的可能取值都为非负偶数；（2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，，，，等可能地为1，2，3，4的各种排列，且各轮测试相互独立．①求的分布列和数学期望；②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性．21．已知椭圆的左、右焦点分别是双曲线的左、右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右焦点分别为，，经过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且满足的点也在椭圆上，求四边形的面积．22．已知函数．（1）讨论函数的零点的个数；（2）当时，若关于的不等式恒成立，证明：．高三模拟考试卷（二十五）答案1．解：，，，，，，，中的元素个数为3．故选：．2．解：因为，所以，故．故选：．3．解：由题知从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24．故选：．4．解：先安排其中2位女住户人住中间四个房间中的两个，有种方法；再安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，有种方法．由乘法原理可得：种方法．故选：．5．解：，由余弦定理，得，所以边上的高的长度为．故选：．6．解：椭圆的一个焦点为（不妨为左焦点），则对于椭圆上两动点，，如图：为右焦点，可得，当且仅当经过椭圆的右焦点时，三角形的周长取得最大值．故选：．7．解：由，，成等差数列，得，所以；则点到直线的距离是，由，即，所以．当且仅当时取等号，所以，即点到直线的最大距离是．故选：．8．解：设扇形的圆心角为，的长为，，由题意可得，解得，由于，解得，故扇形装饰品的面积为．．则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为．故选：．9．解：随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是，所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为，回答问题2且回答的“是”的学生人数为，由此可估计该地区中学生吸烟人数的百分比为，估计被调查者中吸烟的人数为．故选：．10．解：因为，所以，所以！，故选项正确；（1），故选项错误；！，故选项正确；，故选项错误．故选：．11．解：由题意可得，，则，从而，故这两个球的体积之和为：，因为，所以，即，当且仅当时等号成立；这两个球的表面积之和，当且仅当时等号成立．故选：．12．解：，为增函数，，，，即，正确．，当且仅当即时取等号，，无最小值，无最小值，错误．，为增函数，，，，为增函数，，，，正确．，，，，，，，设，则上式可化为，，的最大值为，正确．故选：．13．解：函数的导数为，可得图象在点，（1）处的切线的斜率为，又切点为，可得，解得，故答案为：．14．解：，当时，有，解得．，．故答案为：20．15．解：设球的半径为，以为直径的球记为，当点落在内时为钝角，，故答案为：．16．解：正方体的体积为27，所以正方体的棱长为3，分别取线段，的中点，，连结，，，则有，又平面，平面，所以平面，，又平面，平面，所以平面，又，，平面，所以平面平面，故点在线段上运动（含端点位置），当与重合时，最大，此时，当时，最小，此时，所以的取值范围为．故答案为：．17．解：（1）令，，在，递减，可得，又，是关于的方程的根．其中为常数，可得，由，解得舍去），则；（2），，．由，可得，解得，则的最大值为48．18．解：（1）中，由余弦定理知，，由，所以，，由，即，由正弦定理知，，得，所以，，即，所以，，因为，所以，所以，又，所以．（2）若选择条件①，因为，所以，又，由正弦定理知，，所以，又为中点，所以，在中，由余弦定理知，得．若选择条件②，因为的面积，所以，由余弦定理知，所以，，由，解得或，因为，所以，所以，又为中点，所以，在中，，所以．19．（Ⅰ）证明：平面平面，且平面平面，且，平面，平面，平面，，又，且，平面；（Ⅱ）解：取中点为，连接，，，，又，．以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则，0，，，1，，，，，，0，，则，，设为平面的法向量，则由，得，则．设与平面的夹角为，则；（Ⅲ）解：假设存在点使得平面，设，，，，由（Ⅱ）知，，1，，，0，，，，1，，，则有，可得，，，，平面，为平面的法向量，，即，解得．综上，存在点，即当时，点即为所求．20．解：（1）证明：首先有，（1分）取绝对值不影响数的奇偶性，故与的奇偶性一致，而为偶数，故的可能取值都为非负偶数．（3分）（2）①由（1）知当时，的可能取值为0，2，4，6，8，，，，，，所以的分布列为02468（8分）从而的数学期望．（9分）②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，“在某轮测试中有”为事件，则，（10分）又各轮测试相互独立，，（11分）因为（A）表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，而，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，而不是靠随机猜测，故这种测试方法合理．（12分）21．解：（1）椭圆的左右焦点分别为，，而双曲线的顶点分别为，，所以．又椭圆的上顶点为，而双曲线的一条渐近线为，则有，解得．，所以椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，一定存在），代入，并整理得，△恒成立，设，，，，则，．设，，由，得，即，又点在椭圆上，故，即，解得（舍负），因为满足的点也在椭圆上，所以四边形是平行四边形，设四边形的面积为，则有，代入，得四边形的面积．22．解：（1）函数的定义域是，，①当时，，恒成立，故在上单调递增，又（1），故函数只有1个零点；②当时，由，得，由得，故函数在区间递增，在，上递减，且（1），当时，，函数在区间递增，故函数在区间上只有1个零点，且，根据对数函数以及幂函数的增长