2018-2019学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期末数学试卷

2018-2019学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）

期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡中相应的位置上）

1.（4分）直线％-y-1=0的倾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

2.（4分）设点A（2,3,-4）在xOy平面上的射影为3,则|而|等于（）

A.V29B.5C.D.V13

3.（4分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示,

心以

正（主）视图侧（左）视图

m

则截去的几何体是（）俯视图

A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱

4.（4分）设m,n是两条不同的直线，a,p是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.m//a,几ua=m〃〃B.m//a,m//p=>a//P

C.m_La,〃ua=>根_L〃D.m_Ln,nca=>m_La

2

5.（4分）方程如（m+l）y=m（m+1）（mGR）表示的曲线不可能是（）

A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.直线

6.（4分）如图，。为正方体的底面ABC。的中心，则下列直线中与510

垂直的是（）

C.AiDiD.A1C1

7.（4分）曲线C：2苫2-3孙+2/=7（）

A.关于x轴对称

B.关于直线y=x对称，也关于直线y=-x对称

C.关于y轴对称

D.关于原点对称，关于直线>=-无不对称

22

8.（4分）已知为、/2分别是双曲线C：0-'=1的左、右焦点，若尸2关于渐近线的

2,2

ab

对称点恰落在以为为圆心，|。八|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）

A.2B.V2C.3D.V3

9.（4分）已知圆心C在直线y=2x-4上的圆的半径为1,点4（0,3）,若圆C上存在点

使得|四川=2|加。|（。为坐标原点），则圆心C的横坐标a的最大值是（）

A.AB.旦C.丝D.也

5555

（a,a《b

10.（4分）记相iw{a,b}=J，已知矩形ABC£>中，AB=2AD,E是边A8的中点，

Vb,a>b

将△ADE沿DE翻折至△ADE（AC平面BCD）,记二面角A'-。为a,二面角A

-。。-石为伍二面角W-OE-C为丫，二面角A-BE-。为①则相讥{a,p,丫，0）

=（）

A.aB.pC.yD.0

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.

11.（6分）已知命题“若x>l,则/>1”的逆否命题为,逆否命题是命题

（填“真”或"假”）.

12.（6分）半径为2«的球内接正方体的表面积为；体积为.

22

13.（6分）已知双曲线E与双曲线=_工-=1共渐近线且经过点尸（2,3旄），则双曲线

49

E的标准方程为，顶点坐标为

14.(6分)已知直线/i：ox+y+3〃-4=0和/2：2x+(a-1)y+a=0f则原点到/1的距离的

最大值是：，若11〃12,则〃=.

15.(6分)长方体ABC。-A1B1C1D中，AB=BC=1,BBI=M，设点A关于直线的

对称点为P，则点尸与点Ci之间的距离是_______.

16.(6分)已知点A(-2,0),点尸是焦点为尸的抛物线y2=8x上任意一点，则胃-的

取值范围是：.

17.(6分)在三棱锥S-A8C中，AB=AC=S2=SC=5,&4=4,BC=6,点M在平面SBC

内，且设异面直线AM与8C所成角为a,则cosa的最大值为.

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

18.已知条件p：“关于无，y的方程/+/-4〃觊+5%2+»7-2=0(mGR)表示圆"，条件q：

"实数机满足(.tn-a)Cm-a-4)<0".

(I)若p为真命题，求实数机的取值范围；

(II)若p是q的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，.平面ABCD,E为PD的中点.AB

=A尸=1,BC='、pi.

(I)证明：尸2〃平面AEC；

(II)求二面角D-AE-C的余弦值.

20.已知直线2x+y-4=0与圆C：x2+y2-2mx-(m>0)相交于点M、N,且10M

m

=ON\(。为坐标原点).

(I)求圆C的标准方程；

(II)若A(0,2),点P、。分别是直线无+y+2=0和圆C上的动点，求解|+|PQ|的最小

值及求得最小值时的点尸坐标.

21.如图(1)所示，平面多边形ABCZJE中，AE=ED=®AB=BD=炳,AD=2CD=2,

且现沿直线AD将△的)£折起，得到四棱锥P-ABC。，如图(2)所示.

(I)求证：PBYAD-,

（II）在图（2）中，若直线BC与平面出。所成角的正弦值为返，求直线AB与平面

4

P2C所成角的正弦值.

22.已知椭圆。：号三=1Ca>b>Q）的焦距为4,左、右焦点分别为八、/2,且C1

与抛物线C2：7=%的交点所在的直线经过F1.

（I）求椭圆Ci的方程；

（II）分别过F1、放作平行直线m、n,若直线m与Ci交于A,B两点，与抛物线C2

无公共点，直线〃与Ci交于C,。两点，其中点A,。在x轴上方，求四边形AFiRD

的面积的取值范围.

2018-2019学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）

期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡中相应的位置上）

1.（4分）直线尤-y-1=0的倾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

【分析】化方程为斜截式，易得斜率，由斜率和倾斜角的关系可得.

【解答】解：直线x-y-1=0的方程可化为〉=尤-1,

可得直线的斜率为1,故tan0=l,为直线的倾斜角），

又0°W0<180°,故可得6=45°

故选：B.

【点评】本题考查直线的倾斜角，和由直线的方程得出直线的斜率，属基础题.

2.（4分）设点A（2,3,-4）在xOy平面上的射影为2,则|而|等于（）

A.V29B.5C.2烟D.V13

【分析】根据点B是A（2,3,-4）在xOy坐标平面内的射影，所以A与B的横坐标

和竖坐标相同，纵坐标为0,得到B的坐标，根据两点之间的距离公式得到结果.

【解答】解：•.•点A（2,3,-4）在xOy平面上的射影为2,

：.B（2,3,0）,

•••IOBI=V4+9+0=V13.

故选：D.

【点评】本题考查空间直角坐标系，考查空间中两点间的距离公式，是一个基础题，解

题的关键是，一个点在一个坐标平面上的射影的坐标同这个点的坐标的关系.

3.（4分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示,

a以

正（主）视图侧（左）视图

m

则截去的几何体是（）俯视图

A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱

【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为直四棱柱，从而可知，截去的部分为

三棱柱.

【解答】解：由三视图还原原几何体如图：

该几何体为直四棱柱-DCFD1,

截去的部分为三棱柱BBxE-CCxF.

故选：B.

【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

4.（4分）设m,n是两条不同的直线，a邛是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.m//a,nca^m//nB.m//a,相〃00a〃0

C.机J_a,D.m^n,wua今机J_a

【分析】在A中，机与〃平行或异面；在8中，a与0相交或平行；在C中，由线面垂

直的性质定理得机_1_力；在。中，机"ua=>wz与a相交、平行或加ua.

【解答】解：由相，”是两条不同的直线，a,0是两个不同的平面，知：

在A中，根〃a,与"平行或异面，故A错误；

在2中，7〃〃a,相〃0今a与0相交或平行，故8错误；

在C中，机J_a,〃ua,由线面垂直的性质定理得机_Lw,故C正确；

在。中，“ua今相与a相交、平行或〃?ua,故。错误.

故选：C.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础

知识，是中档题.

2

5.(4分)方程mx+(777+1)y^—m(m+1)(wGR)表示的曲线不可能是()

A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.直线

【分析】根据方程，/+(m+1)y2=mCm+1)(机6R)中不含有x(或y)的一次项，即

可得出结论.

2

【解答】解：■方程Htr+(777+1)y2=m(m+l)(TMGR)中不含有无(或y)的一次项，

，方程如(m+1)y2—m(m+1)(znGR)不可能表示抛物线，

故选：A.

【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查抛物线方程，比较基础.

6.(4分)如图，。为正方体ABCD-AiBiCiDi的底面A8C£)的中心，则下列直线中与81。

垂直的是()

【分析】连接BLDI,根据正方体的性质，得到221，平面ALBICLDI,从而有BBiLAiCi.再

根据A1B1C1D1是正方形,得到BiDiL41c1,结合81。1、8瓦是平面内的相交

直线，得到4G，平面221。。，可得A1CB1。，因此可得正确答案.

【解答】解：连接BLDI,

'JABCD-A1B1C1D1是正方体

.•.881，平面481口。1

：4Ciu平面4B1C1O1,

'."A1B1C1D1是正方形

.".BiDiXA1C1

:BiDi、BB1是平面BB1D1D内的相交直线

，4Ci_L平面BB1D1D

：BiOu平面BBiZhZ)

：.AiCi±BiO

故选：D.

【点评】本题给出正方体内的一条直线，让我们寻找与之垂直的直线，着重考查了空间

中直线与直线之间的位置关系、线面垂直的判定与性质等知识点，属于基础题.

7.（4分）曲线C：2/-3孙+2廿=7（）

A.关于x轴对称

B.关于直线y=x对称，也关于直线y=-x对称

C.关于y轴对称

D.关于原点对称，关于直线＞=-无不对称

【分析】分别将x换为-x,y换为-y,或无换为y,y换为x；,或x换为-y,y换为-尤；

考虑方程是否不变，即可得到结论.

【解答】解：由曲线C：2,-3盯+2/=7,

将x换为-无，y换为-y,方程为2/-3xy+2/=7,即不变，

可得曲线C关于原点对称；

将x换为y,y换为无，可得2y-3孙+2x2=7,即不变，

可得曲线C关于直线y=x对称；

将尤换为-y,y换为-x,可得2y2-3孙+2/=7,即不变，

可得曲线C关于直线＞=-x对称；

故选：B.

【点评】本题考查曲线的对称性的判断，注意运用替换思想，考查运算能力和推理能力,

属于基础题.

22

8.（4分）已知为、尸2分别是双曲线C：%-彳=1的左、右焦点，若R关于渐近线的

对称点恰落在以人为圆心，|。八|为半径的圆上，则双曲线C的离心率为()

A.2B.A/2C.3D.V3

【分析】求出放到渐近线的距离，利用放关于渐近线的对称点恰落在以Fi为圆心，|。人|

为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率.

【解答】解：由题意，Fl(-C,0),F2(C,0),一条渐近线方程为y^x，则尸2到渐

a

近线的距离为/be=4

V?T?

设R关于渐近线的对称点为尸2M与渐近线交于A,.♦.|MF2|=2"A为尸2M的中点

又0是为尸2的中点，：.OA//FiM,.../为加/2为直角，

...△板归2为直角三角形，

由勾股定理得4c2=,2+4必

/.3c2=4(c2-a2),.*.c2=4a2,

・・c=2〃，♦・e=:2.

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属

于中档题.

9.(4分)已知圆心C在直线y=2x-4上的圆的半径为1,点A(0,3),若圆C上存在点

M,使得眼A|=2|MO|(。为坐标原点)，则圆心C的横坐标。的最大值是()

A.—B.—C.—D.—

5555

【分析】设出圆C的方程，点M的坐标，利用|M4|=2|MO|,求出〃的轨迹，通过两个

圆的位置关系，求圆心C的横坐标。的取值范围.

【解答】解：：圆C的圆心在直线/：尸2尤-4上，

...圆C的方程设为：(x-a)2+(y-(2a-4))2=i,设M(无，y),由|M4|=2|MO|,可

得:Vx2+(y-3)2=2Vx2+y2,

化简可得x?+(j+1)2=4,点M在以。(0,-1)为圆心，2为半径的圆上.

由题意，点M(x,y)在圆上，

.•.圆C和圆D有公共点，则|2-1|W|CZ)|W2+1,•••々4(a-。)2+(2a-4+l)2W3,

即5a2-12。+820,可得a€R,由5a2-12aW0,

可得OWaW丝,

5

圆心C的横坐标a的取值范围为［0,22］,

5

故选：C.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于

中档题.

(a,a《b

10.(4分)记加”{a,b}=I,已知矩形ABC。中，AB^IAD,E是边A2的中点，

b,a>b

WAADE沿DE翻折至△ADE(AC平面BCD),记二面角4-BC-D为a,二面角A

-CO-E为仇二面角A-DE-C为丫，二面角A-BE-。为3则相讥{a,p,y,0)

=()

A.aB.pC.yD.0

【分析】当平面A'DEL平面ABC。时，以B为原点，BC为无轴，8A为y轴，过2作

平面A8C。的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出机位{a,p,y,0}.

【解答】解：当平面A'平面ABC。时，

以8为原点，8C为无轴，54为y轴，过8作平面A8C。的垂线为z轴，建立空间直角

坐标系，

则平面BCD、BDE和平面CZ5E重合，它们的法向量为}=(0,0,1),

设4B=2A£>=2,A'(」，3,返)，B(0,0,0),C(1,0,0),D(1,2,0),E

222

(0,1,0),

^2),-3

AyB=c-1._3_一争行"［，平),

2222

AyE=(-1--1-,怎

222

记二面角A-8C-。为a,二面角A'-CD-E为0,二面角4-OE-C为丫，二面角A'

-BE-D为8,

设平面A'8C的法向量ir=(x,y,z),

--7-；1342c

m*AB=»x为y―^-z=0

则取>='/^，得ir=(0,V2,-3),

-.7X13加

m*AC革x方y—^-z=0

3_3VTi

IXVTT11

设平面A'CD的法向量［=(x,y,z),

卜TT713V2.

P*AC=yx-^y—7-z=0

则，_____r-取了=如，得。=(V2>0,1),

p-A7D^-x-t^-y^y-z=0

1_V3

1XV3V

设平面A'£>E的法向量[=(x,y,z),

D=^x-^yy^y-z=0

则<j—,取x=1,得a=(L1,0),

--7-；iiV2.q

q・AEn5xqy—^z=0

设平面A'BE的法向量==(x,y,z),

卜7TT13V2.

r*AB=^-x-yy—^-z=0_

则《广，取％=加，得「=(V2，0,-1),

--7-；11V2A

r*AE=5x-yy-^-z=0

.*.a<P=0<y.min[a,0,y,0}=a.

故选：A.

【点评】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等

基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.

11.（6分）已知命题“若x>l,则/>1”的逆否命题为若则xWl,逆否命题

是真命题（填“真”或"假”）.

【分析】根据逆否命题的定义进行求解，结合原命题和逆否命题为等价命题进行判断即

可.

【解答】解：若尤>1,则/>1,则原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，

逆否命题为：若/W1,则尤W1,

故答案为：若dWl,则xWl,真

【点评】本题主要考查四种命题之间的关系，结合逆否命题的等价性是解决本题的关键.

12.（6分）半径为2y的球内接正方体的表面积为96；体积为64.

【分析】设半径为2、巧的球内接正方体的棱长为“，则有生=2会，解得。=4,由此能

求出结果.

【解答】解：设半径为的球内接正方体的棱长为a,

则华=2«,解得。=4,

半径为2y的球内接正方体的表面积为：S=6/=6X42=96,

体积为V=a3=43=64.

故答案为：96,64.

【点评】本题考查正方体的表面积、体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位

置关系、球内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.

22L

13.（6分）已知双曲线E与双曲线幺-匚=1共渐近线且经过点尸（2,3旄），则双曲线

49

E的标准方程为日一式=1,顶点坐标为（0,±6）

~3616

22

【分析】根据题意，根据要，双曲线与双曲线=_2_=1共渐近线，设要求双曲线的方

49

22

程为双曲线「-匚=入，（入W0）将尸的坐标代入双曲线方程，解可得入的值，即可得

49

双曲线的方程，变形即可得答案.

22

【解答】解：根据题意，要求双曲线与双曲线=_2_=1共渐近线,

49

22

设要求双曲线的方程为双曲线幺_匚=入，（）/0）

49

又由双曲线经过点P（2,3旄），

则有里/»=入，即入=-4,

49

2222

即双曲线的方程为①_匚=-4,其标准方程为：一=1；

493616

顶点坐标为：（0,±6）

故答案为：上1_式=1；（0,±6）.

3616

【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意有共同渐近线的双曲线方程的特点以及形式.

14.（6分）已知直线/i：ax+y+3a-4=0fe：2x+（a-1）y+a=0,则原点到/i的距离的

最大值是：5,若人〃/2,则。=-1.

【分析】直线人过定点，利用点到直线的距离公式进行求解即可.根据直线平行的等价

条件进行转化求解.

【解答】解：直线Z1：ax+y+3a-4=0等价为a（尤+3）+y-4=0,则直线过定点A（-3,

4）,

当原点到/1的距离的最大时，满足OAJJ1,

此时原点到/1的距离的最大值为|。4="13)2b7=5,

若a=0,则两直线方程为y-4=o和2x-y=0,不满足直线平行，

若。=1,则两直线方程为x+y-1=0和2x+l=0,不满足直线平行，

当"W0且〃W1时，若两直线平行，

则@=1w3a-4

2a_la

由包=—得/-〃-2=0得a=2,或〃=-1,

2a-1

当。=2时，曳W型生，不成立，舍去，

2a

当。=-1时，曳W型生，成立，

2a

即°=-1,

故答案为：5,-1

【点评】本题主要考查直线平行的判断，以及点到直线距离的求解，根据含参直线过点

求出定点坐标是解决本题的关键.

15.(6分)长方体ABC。-421cl£>1中，AB=2C=1,821=、历，设点A关于直线BD1的

对称点为P，则点P与点C1之间的距离是1.

【分析】根据几何体画出平面图形，根据边长得出角的大小，转化到△PPC1中，DiCi

=1,PDI=M，NPDC1=3O°根据条件运用余弦定理求解即可.

【解答】解：：长方体ABCD-AiBiCiOi

中，AB=BC^1,BBi=®

.,.A£)i=V3，DiC=2,

ZADiCi=90°,

••・设点A关于直线BDx的对称点为P,

.•.在△AD18中，

ZADiB=30°,

：.ZPDiB=30°,

ADI=PDI=M，即/PZhCi=30°,

:在△PDCi中，DiCi=l,PDI=M，ZPDICI=30°,

•，•根据余弦定理得出：CiP=^1+3-2X1X->/3=L

故答案为：1.

【点评】本题考查了空间几何体的性质，几何体中的对称问题，把空间问题转化为平面

问题求解，属于中档题.

16.(6分)已知点A(-2,0),点尸是焦点为尸的抛物线y2=8x上任意一点，则胃-的

取值范围是：「1,返.

【分析】过尸作抛物线准线的垂线，垂足为则|PF|=|PM，可得到-=————，

|PFsinZMAP

求出过A抛物线的切线方程，即可得出结论.

【解答】解：过P作抛物线准线的垂线，垂足为则|Pf]=|PM，

:抛物线y=8无的焦点为P(2,0),点A(-2,0),

•|PA|_1

IPFIsinZMAP；

设过A抛物线的切线方程为y=k(x+2),代入抛物线方程可得庐？+(4M-8)x+4^=0,

；.△=(4必-8))2-16「=0,

：.k=+l,则/B4阻0,—],

4

：.ZMAPE[—,—即----\---e[l,V2].

42sin/MAP

故答案为：口，6

y

【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查计算能力,

属于中档题.

17.(6分)在三棱锥S-ABC中，AB=AC=SB=SC=5,SA=4,BC=6,点M在平面SBC

内，且设异面直线AM与BC所成角为a,则cosa的最大值为义亘.

~13~

【分析】取8C中点N,连结AN,PN,则可证△NV是等边三角形，过A作平面PBC

的垂线A。，则。为PN的中点，求出A。的长，利用勾股定理可得出的长，即M

的轨迹.以。为坐标原点建立空间坐标系，设〃的坐标(x,y,0),求出疝的坐标，利

用向量求出夹角，根据x,y的范围得出cosa的最大值.

【解答】解：取BC中点N,连结AN,SN,'：AB=AC=SB=SC=5,BC=6,：.AN=SN

=4,

：SA=4,.♦.△SAN是等边三角形，ZANS=60°.

'：ANLBC,SNLBC,；.NANS为二面角4-BC-S的平面角.

过A作AO_L平面SBC,连结OM,则。为SN的中点，：.ON=^SN=2,

2

:点M在平面S3C内，且

/.°^=VAM2-AO2=1•加的轨迹是以。为圆心’以1为半径的圆•

以平面P3C内过。点平行于BC的直线为无轴，以PN为y轴，以OA为z轴建立空间

直角坐标系如图.

则A(0,0,2日)，8(-3,2,0),C(3,2,0),设M(%,»0),贝1]/+9=1.

AM=(x,y,-2«),BC=(6,0,0).|AM|=V13>|BC|=6,AM・BC=6x.

・•.cosa=上匝

IAMI-IBCIV13'6V13

当尤=1时，cosa取得最大值逗.

13

故答案为：Y亘.

13

s

X

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、

面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

18.已知条件p：“关于％,y的方程/+/一4皿+5m2+加一2二0(mGR)表示圆“，条件q：

“实数相满足(m-a)(m-a-4)VO”.

(I)若p为真命题，求实数机的取值范围；

(II)若p是q的充分不必要条件，求实数〃的取值范围.

【分析】(I)当p为真命题时可得：-m2-m+2>0,解得：-1,

(II)解不等式(m-a)(加-。-4)VO”.得：a<m<a+^,由p是q的充分不必要条

件，可得：，,即-3W〃W-2,得解.

la+4>l

【解答】解：(I)若〃为真命题，即：“关于x,y的方程/+y-4加什5M?+徵-2=0(MER)

表示圆”，

又/+/-4mx+5m2+m-2=0可化为：(%-2m)2+y2=-m2-m+2,

由“关于x,y的方程/+y2-4小+5m2+瓶-2=0(mGR)表示圆”，

则-根2-m+2>0,

解得：

故答案为：(-2,1)；

(II)解不等式(机-〃)(m-tz-4)<0".

得：a<m<a+4,

由p是q的充分不必要条件，

即：“-2VI”是“〃<根<〃+4”的充分不必要条件，

可得」a《；2,

la+4>l

即--2,

即实数。的取值范围为：-3W〃W-2,

故答案为：[-3,-2]

【点评】本题考查了充分必要条件及命题的真假，属简单题.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，丛_L平面ABCD,E为的中点.

=AP=1,BC=V3.

(I)证明：尸2〃平面AEC；

(II)求二面角D-AE-C的余弦值.

【分析】(I)连结BD,交AC于。，连结0E,则OE//PB,由此能证明PB〃平面AEC.

(II)以A为原点，A8为龙轴，为y轴，A尸为z轴，建立空间直角坐标系，利用向

量法能求出二面角D-AE-C的余弦值.

【解答】证明：(I)在四棱锥尸-ABC。中，底面48。为矩形，E为尸。的中点.

连结8。，交AC于。，由底面A8C。为矩形，得。为8。中点，

连结OE,贝!]OE//PB,

:尸即平面AEC,OEu平面AEC,

〃平面AEC.

解：(II)以A为原点，AB为无轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

则。(0,0),A(0,0,0),P(0,0,1),E(0,叵,-1),C(1,M，0),

22

平面AOE的法向量三=(1,0,0),

AE=(0,叵-1),AC=(1,M，0),

22

设平面ACE的法向量;=(尤，y,z),

,AE=-^-x-^z=O广g-li—

则｛22取>=i,得1r=(-«,i,-v3),

AC=x+>/3y=0

设二面角D-AE-C的平面角为e,

则cos8=J?刃=卓=返!.

ImI•|n|W7

...二面角。-AE-C的余弦值为逞I.

7

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线

面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档

题.

20.已知直线2x+y-4=0与圆C：N+y2-2mx-当=0(%>0)相交于点/、N,且|OM|

m

=ON|(。为坐标原点).

(I)求圆C的标准方程；

(II)若4(0,2),点尸、。分别是直线x+y+2=0和圆C上的动点，求|%|+|PQ的最小

值及求得最小值时的点尸坐标.

【分析】(I)根据直线2x+y-4=0与圆C交于点N,结合|OM=QM，建立条件关

系即可求得圆C的方程；

(II)求出点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(-4,-2),根据直线和圆

相交以及点的对称性即可得到结论.

2222

【解答】解：(I)化圆C：?+y-2mx-Ay=0(m>0)%(x-m)+(y-—)=m

mmm2

则圆心坐标为C(m,Z),

m

,：\OM\^\ON\,则原点。在MN的中垂线上，

设MN的中点为H,贝；.C、H、。三点共线，

2_

则直线OC的斜率左=史二］，

m1n22

•*2~2.

圆心为C(2,1)或C(-2,-1),

...圆C的方程为(尤-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5,

由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时，直线2尤+y-4=0到圆心的距离d>r,

此时不满足直线与圆相交，故舍去，

...圆C的方程为(%-2)2+(j-1)2=5；

(II)点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(-4,-2),

则LR4|+|PQ=|阴'|+|PQ\|A'Q\,

又4到圆上点Q的最短距离为

C|-r=yj(_6)2+32-遍=3旄-芯=2后.

••.|E4|+|PQ的最小值为2旄，直线A'C的方程为〉=工，

2

则直线A'C与直线x+y+2=0的交点尸的坐标为(-9，-2).

33

【点评】本题考查直线和圆的方程的综合应用，考查计算能力，根据条件建立方程关系

是解决本题的关键，是中档题.

21.如图(1)所示，平面多边形ABCQE中，AE=ED=®,AB=BD=炳,AD=2CD=2,

且ADLC。，现沿直线将△4OE折起，得到四棱锥尸-ABC。，如图(2)所示.

(I)求证：PBLAD-,

(II)在图(2)中，若直线8C与平面所成角的正弦值为逅，求直线AB与平面

4

P2C所成角的正弦值.

【分析】(I)取的中点O,连OB、OP,证明OBLADMOP1AD,推出4。1_平

面BOP,即可证明PB±AD.

(II)以。为坐标原点，。8所在的直线为了轴建立空间直角坐标系，求出平面尸BC的

一个法向量，利用空间向量的数量积求解产。与平面P2C所成角的正弦值即可.

【解答】证明：(I)取的中点。，连。8、OP,

'：BA=BD,EA=ED,即必=P。,

OBLAD且OPLAD,

；.AO_L平面BOP,

J.PBLAD.

解：(2)以。为坐标原点，08为x轴，。。为y轴，过。作平面ABC。的垂线为z轴,

建立空间直角坐标系，

B(2,0,0),C(1,1,0),A(0,-1,0),D(0,1,0),设P(。，0,c),

贝!IBC=(-1,1,0),AD=(0,2,0),AP=(a,bc),

设平面的法向量13=(x,y,z),

n-AD=2y=0,得；=⑷°,q,

n*AP=ax+y+cz=0

•；直线BC与平面PAD所成角的正弦值为返，

解得包.•.tanZPOB=60o,解得。=工，：.P(-1,0,叵),