中考数学题型试题-06（解答题-几何类）【解析版】

【中考数学题型专练】专练06（解答题-几何类）（20道）

1.（2018♦河南省中考模拟）如图①，在等腰aABC和AADE中,AB=AC,AD=AE,且NBAC=NDAE=120°.

（1）求证：△ABDgAACE;

（2）把4ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置,连接CD,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点,连接MN、

PN、PM,判断apyN的形状,并说明理由；

⑶在⑵中,把AADE绕点A在平面内自由旋转,若ADMAB=6,请分别求出△PMN周长的最小值与最大值.

图①图②

【答案】（1）证明见解析；（2）Z\PM\是等边三角形.理由见解析；（3）ZXPMN周长的最小值为3,最大值为15.

【解析】

⑴因为NBAC=NDAE=120°,

所以/BAD=/CAE,又AB=AC,AD=AE,

所以AABD好AADE;

⑵△PMN是等边三角形.

理由：•••点P,M分别是CD,DE的中点，

1

.•.PM=-CE,PM/7CE,

2

点N,M分别是BC,DE的中点,

1

.♦.P\=—B1）,PN//BD,

2

同（1）的方法可得BD=CE,

，PM=PN,

/.△PMN是等腰三角形，

VPM/7CE,/.ZDPM=ZDCE,

VPN/7BD,AZPNC=ZDBC,

ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,

二NMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC

=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

VZBAC=120°,AZACB+ZABC=60°,

/.ZMPN=60°,

•••△PMN是等边三角形.

(3)由(2)知，△PMN是等边三角形,PM=PN--BD,

2

APM最大时，AP^周长最大，

:.点D在AB上时,BD最小,PM最小，

.,.BD=AB-AD=2,APMN周长的最小值为3;

点D在BA延长线上时,BD最大,PM最大，

.,.BD=AB+AD=10,△PMN周长的最大值为15.

故答案为△「同周长的最小值为3,最大值为15

点睛:本题主要考查「全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定,解决第(3)问，

要明确点D在AB上时,BD最小,PM最小，APMN周长的最小；点D在BA延长线上时,BD最大,PM最大,APMN

周长的最大值为15.

2.(2019•江苏省中考模拟)(1)问题发现

如图1,在AOAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,ZA0B=ZC0D=40°,连接AC,BD交于点M.填空：

AT

①义的值为；

BD

②NAMB的度数为.

(2)类比探究

如图2,在△OAB和△OCD中，NA0B=NC0D=90°,N0AB=N0CD=30°,连接AC交BD的延长线于点M.请判断

AC

—的值及/AMB的度数,并说明理由；

BD

(3)拓展延伸

在(2)的条件下,将△OCD绕点0在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M,若0D=l,0B=不，请直接写出当点C

与点M重合时AC的长.

2

【答案】⑴①1；②40°;(2)6,90°;(3)AC的长为3岔或2G.

【解析】

(1)问题发现:

/.ZCOA=ZDOB,

VOC=OD,OA=OB,

.,.△COA^ADOB(SAS),

.,.AC=BD,

£i,

BD

②•..△COA且△DOB,

ZCAO=ZDBO,

VZA0B=400,

.,.Z0AB+ZAB0=140o,

在aAMB中，NAMB=180°-(ZCAO+ZOAB+ZABD)=180°-(ZDB0+Z0AB+ZABD)=180°-140°=40°,

⑵类比探究:

Aj—

如图2,——=V3,ZAMB=90°,理由是:

BD

RtACOD中，ZDC0=30°,ZD0C=90°,

•OD

=tan3Q°=

~OC3

同理得：=tan30°=—,

OA3

•OD_OB

"'OC~'OA'

VZA0B=ZC0D=90°,

/.ZAOC=ZBOD,

/.△AOC^ABOD,

ACOC/T

——=——=J3,ZCAO=ZDBO,

BDOD

在aAMB中，/AMB=180°-(ZMAB+ZABM)=180°-(ZOAB+ZABM+ZDBO)=90°;

(3)拓展延伸：

①点C与点M重合时,如图3,

设BD=x,则AC=>/3x,

RtACOD中，Z0CD=30°,OD=1,

.•,CD=2,BC=x-2,

RtZXAOB中，N0AB=30°,0B=J7,

；.AB=20B=2J7,

在RtAAMB中，由勾股定理得:AClBCJAB",

4

(VJX)2+(X-2)2=(2S)2,

x-x-6=0,

(x-3)(x+2)=0,

xi=3,X2=-2,

.•.AC=30；

②点C与点M重合时，如图4,

设BD=x，则AC=V3x,

在RtAAMB中，由勾股定理得:ACZ+BC'AB；

(、回x)2+(x+2)z=(2j7)2.

X2+X-6=0,

(x+3)(x-2)=0,

Xi=-3,X2=2,

.*.AC=2^

综上所述,AC的长为3百或2b.

【点睛】

本题是三角形的综合题,主要考查了三角形全等和相似的性质和判定，几何变换问题,解题的关键是能得

出：△AOCs/\BOD,根据相似三角形的性质，并运用类比的思想解决问题,本题是一道比较好的题目.

3.(2019•东阿县姚寨镇联合校中考模拟)已知:正方形ABCD,等腰直角三角形的直角顶点落在正方形的顶

点D处,使三角板绕点D旋转.

(1)当三角板旋转到图1的位置时,猜想CE与AF的数量关系,并加以证明；

(2)在⑴的条件下,若DE=1,AE=J7,CE=3,求/AED的度数；

(3)若BC=4,点M是边AB的中点，连结DM,DM与AC交于点0,当三角板的一边DF与边DM重合时(如图2),

若0F=@，求CN的长.

3

7

【答案】(1)CE=AF,证明见解析；(2)NAED=135°;(3)CN=y.

【解析】

解：：(1)CE=AF;

在正方形ABCD,等腰直角三角形CEF中，

FD=DE,CD=CA,ZADC=ZEDF=90°

ZADF=ZCDE,

.,.△ADF^ACDE,

.♦.CE=AF,

⑵设DE=k,

VDE:AE:CE=1:77：3

；.AE=J7k,CE=AF=3k,

，EF=0k,

VAE2+EF2=7k-+2k2=9k；!,AF2=9k',

即AE2+EF2=AF2

••.△AEF为直角三角形，

ZBEF=90°

AZAED=ZAEF+DEF=900+45°=135°;

⑶是AB中点,

6

11

•,.MA--AB=-AD,

22

：AB〃CD,

.OM_OAAM_1

"OD-OC-DC-2,

在RtADAM中，l)M=4AET+AM2=J16+4=2旧-

.•.D0=l^l

3

V0F=—

3

•,.DF-V5

/DFN=NDCO=45°,ZEDN=ZCD0

.,.△DFN^ADCO

.DFDN

"~DC~~DO

加_DN

•,44小

丁

5

ADN=-

3

57

ACN=CD-DN=4——=一.

33

【点睛】

本题是一道几何变换题，主要考查了图形旋转的性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的

判定与性质、勾股定理及逆定理、相似三角形的判定与性质等知识的综合运用,综合性很强,难度适中，第3

小题是本题难点，发现相似三角形转移线段比进行计算时解决问题的关键.

4.（2018•江苏省中考模拟）如图,AM是AABC的中线,D是线段AM上一点（不与点A重合）.DE〃AB交AC于

点F,CE〃AM,连结AE.

（1）如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形；

（2）如图2,当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗?请说明理由.

⑶如图3,延长BD交AC于点H,若BH±AC,且BH=AM.

①求NCAM的度数；

②当FH=V3,DM=4时,求DH的长.

【解析】

VDE/7AB,

・・・ZEDC=ZABM,

VCE/7AM,

・・・ZECD=ZADB,

VAM是4ABC的中线，且D与M重合,

.♦.BD=DC,

/.△ABD^AEDC,

AAB=ED,VAB/ZED,

・・・四边形ABDE是平行四边形.

(2)结论：成立.理由如下：

如图2中，过点M作MG〃DE交CE于G.

8

E

,.・CE〃AM,

・・・四边形DMGE是平行四边形，

JED=GM,且ED#GM,

由（1）可知AB=GM,AB/7GM,

・・・AB〃DE,AB=DE,

・・・四边形ABDE是平行四边形.

⑶①如图3中，取线段HC的中点I,连接MI,

VBM=MC,

AMI是△BHC的中位线，

-BH,

2

•:BH±A-C,KBH=AM.

1

2

AZCAM=30°.

②设DH=x,则AH=V3x,AD=2x,

AM=4+2x,

，BH=4+2x,

•.•四边形ABDE是平行四边形，

...DF〃AB,

.HFHD

•G=x

>/3x4+2x

解得x=l+石或1-J?（舍弃）,

-,.DH=1+V5.

【点睛】

本题考查了四边形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的判定、平行线分线成比例定理、

三角形的中位线定理等知识,解题的关键能正确添加辅助线,构造特殊四边形解决问题.

5.（2017•山东省中考模拟）如图1,AABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形，

点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF,BD_LCF成立.

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转9（0°<9<90°）时，如图2,BD-CF成立吗?若成立，请证明，若不成立，请说

明理由；

⑵当aABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3,延长BD交CF于点H.

①求证:BD_LCF;②当AB=2,AD=30时,求线段DH的长.

【答案】（1）BD=CF,理由见解析；（2）①证明见解析;②DI1-兔血.

5

【解析】

解：⑴、BD=CF成立.

由旋转得:AC=AB,ZCAF=ZBAD=0;AF=AD,

/.△ABD^AACF,

10

，BD=CF.

(2)①、由(1)得，△ABDg/XACF,

.,.ZHFN=ZADN,

VZHNF=ZAND,ZAND+ZAND=90°

/.ZHFN+ZHNF=90°,

.../NHF=90°,

AHD±HF,即BD±CF.

②、如图，连接DF,延长AB,与DF交于点M.

,••四边形ADEF是正方形，

，NMDA=45°,

：NMAD=45°,

.\ZMAD=ZMDA,ZAMD=90°,

AAM=DMVAD=3在△MAD中，AM2+DM2AD2,

；.AM=DM=3

.，MB=AM-AB=3-2=1,

在△!»«)中，BM2+DM2=BD-

：•BD=dAM?+DM?=四+俨=加

VZMAD=ZMDA=45°,

AZAMD=90°，又NDHF=90°,ZMI)B=ZHDF,

ADM:DH=DB:DF,即=①i

DH6

解得,DII-2叵.

5

【点睛】

本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转变换的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握

旋转角的定义和旋转变换的性质、正确作出辅助性是解题的关键.

6.（2019•山东省中考模拟）（1）（问题发现）

如图1,在Rt△■中,AB=AC=^2,乙弧7=90°,点D为国的中点，以应为一边作正方形CDEF,点£恰好与

点A重合,则线段BE与"1的数量关系为

（2）（拓展研究）

在（1）的条件下,如果正方形的绕点C旋转,连接弱笫阳线段BE与"的数量关系有无变化?请仅就图

2的情形给出证明；

（3）（问题发现）

当正方形做F旋转到B,E,产三点共线时候,直接写出线段4尸的长.

【答案】⑴BE-&AF;⑵无变化;⑶6-1或百+L

【解析】

解：(1)在RtAABC中，AB=AC=2,

根据勾股定理得,BC-0AB=20,

点D为BC的中点，.IAD」；BC=0,

,/四边形CDEF是正方形，，AF=E叫AD=庭,

VBE=AB=2,/.BE-V2AF,

故答案为BE=&AF;

(2)无变化；

如图2,在RtAABC中,AB=AC=2,

.,.ZABC=ZACB=45°,AsinZABC=-=—,

CB2

在正方形CDEF中，ZFEC=-ZFED=45",

2

12

在RtACEF中，sinZFEC=—,

CE2

■CF-CA

"CE~CB'

VZFCE=ZACB=45°、：.ZFCE-NACE=NACB-NACE,二NFCA=NECB,

BECBr-f-

AAACF<-AABCE,A——=—=屈，：.BE=正AF,

AFCA

线段BE与AF的数量关系无变化；

（3）当点E在线段AF上时，如图2,

由（1）知,CF=EF=CD=血,

在RtABCF中,CF=&,BC=2五,

根据勾股定理得,BF-V6./.BE=BF-EF二#-夜，

由⑵知,BE=&AF,.\AF=JJ-1,

当点E在线段BF的延长线上时,如图3,

在RtAABC中，AB=AC=2,；./ABC=/ACB=45°,.\sinZABC=—,

CB2

在正方形CDEF中，ZFEC=-ZFED=45°,

2

在RtZ^CEF中，sin/FEC=C£=Y2,

CE2CECB

VZFCE-ZACB=45°,AZFCB+ZACB=ZFCB+ZFCE,AZFCA=ZECB,

“BECB厂r-

：.ZA\ACFsABCE,—；=——=应，，BE=近AF,

A.FCA

由（1）知,CF=EF=CD=0,

在RtABCF中,CF=0,BC=2也，

根据勾股定理得,BF=76,/.BE=BF+EF=V6+0,

由⑵知,BE=0AF,.•.AF=7J+1.

即：当正方形CDEF旋转到B,E,F三点共线时候，线段AF的长为百-1或J5+1.

7.(2019•河南省中考模拟)如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE±BC,垂足为点E,GF±CD,

垂足为点F.

(1)证明与推断：

①求证：四边形CEGF是正方形；

②推断：▼的值为______:

BE

(2)探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角(0°<a<45°),如图(2)所示，试探究线段AG与BE之间的数

量关系，并说明理由：

(3)拓展与运用：

正方形CEGF在旋转过程中，当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=2

夜,贝IBC=

【答案】(1)①四边形CEGF是正方形;②血；⑵线段AG与BE之间的数量关系为AG二夜BE;(3)3逐

【解析】

(1)①•..四边形ABCD是正方形,

ZBCD=90°,ZBCA=45°,

VGE±BC.GF_LCD,

，/CEG=NCFG=NECF=90°,

14

，四边形CEGF是矩形，NCGE=NECG=45°,

AEG=EC,

・•・四边形CEGF是正方形；

②由①知四边形CEGF是正方形,

・・・NCEG=NB=90°,ZECGM50,

CGnr

——=J2,GE/7AB,

CE

姐=空=0,

BECE

故答案为J5；

⑵连接CG,

由旋转性质知NBCE=NACG=a,

在RtACEG和RtACBA中，

CEV2CBV2

CG~T,CAV

CECB

AAACG^ABCE,

.•坐=/="

BECB

・・・线段AG与BE之间的数量关系为AG=0BE;

(3)・.・NCEF=45°,点B、E、F三点共线，

AZBEC=135°,

VAACG^ABCE,

，NAGC二NBEC=135°,

.,.ZAGH=ZCAH=45°,

ZCHA=ZAHG,

.,.△AHG^ACHA,

.AGGHAH

,•而一行一方’

设BC=CD=AD=a,则AC=J5a,

„.,AGGH625/2

则由就=/得十

缶一AH

2

；.AH=-a,

3

则DH=AD-AH=1a,C^^CD2+DH2

,AGAH6

由就=方得而

解得:a=3，即BC=3y/5,

故答案为3石.

【点睛】

本题考查了正方形的性质与判定,相似三角形的判定与性质等,综合性较强,有一定的难度,正确添

加辅助线,熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.

8.（2019•河南省中考模拟）（1）问题发现:如图1,在等边AA8C中，点。为BC边上一动点，DE//AB交

AC于点E,将绕点。顺时针旋转60°得到OE,连接CF.则AE与FC的数量关系是ZACF

的度数为.

和

（2）拓展探究:如图2,在RtAABC中，ZABC=90°,NACB=60。，点。为BC边上一动点，DEiIAB交

AE

AC于点E,当NADF=NACF=90°时，求:的值.

16

图2

⑶解决问题:如图3,在AABC中，BC:AB=m，点D为BC的延长线上一点,过点。作。£//43交AC

的延长线于点E,直接写出当ZADF=ZACF=ZABC时一的值.

ApL1

【答案】(1)AE=FC,60°;(2)—=73；(3)-.

FCm

【解析】

解：⑴；DE〃AB

ZABC=ZEDC=60°,ZBAC=ZDEC=60°

.♦.△DEC是等边三角形，ZAED=120°

二DE=I)C,

•.•将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF,

二ZADF=60°=ZEDC,AD=DF

二ZADE=ZFDC,且CD=DE,AD=DF

.".△ADE丝△FDC(SAS)

.•.AE=CF,ZAED=ZDCF=120°

/.ZACF=60°,

故答案为AE=CF,60°

(2)VZABC=90°,ZACB=60°,

:.ZBAC=30°

ABrr

tanZBAC=------=J3

BC

VDE/ZAB

，ZEDC=ZABC=90"

VZADF=90°,

ZADE=ZFDC

VZACF=90°,ZAED=ZEDC+ZACB,ZFCD=ZACF+ZACB

.♦./AED=NFCD,且NADE=/FDC

.,.△DAE^ADFC

.AE_DE

"~FC~~DC

VDE//AB

/.△EDC^AABC

DEAB

"~DC~~BC

.•・空="=6

FCBC

(3)VAB/7DE

ZABC=ZBDE=ZADF,ZBAC=ZE

ZBDE+ZADB=ZADF+ZADB

ZADE=ZCDF,

,?ZACD=ZABC+ZBAC=ZACF+ZDCE,且/ACF=/ABC

ZBAC=ZDCF=ZE,且NADE=/CDF

.,.△ADE^AFDC

AEDE

"~FC~~DC

VDE/7AB

.,.△EDC^AABC

DEAB

"~DC~~BC

BC:AB=m

.AE_AB_1

【点睛】

本题是相似形综合题,考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明

△ADE^AEDC是本题的关键.

18

9.（2019•湖北省天门市张港初级中学中考模拟）在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上,且

NEAF=NCEF=45°.

（1）将AADF绕着点A顺时针旋转90°,得到^题（如图①），求证:z^AEG丝△AEF;

⑵若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N（如图②），求证:EF^ME'+NF2;

（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量

关系.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=2BE2+2DF.

【解析】

（1）VAADF绕着点A顺时针旋转90°,得到aAIiG,

；.AF=AG,ZFAG=90°,

VZEAF=45°,

.♦.NGAE=45°,

在aAGE与AAFE中，

{/==45,

/.△AGE^AAFE(SAS);

图①

（2）设正方形ABCD的边长为a.

将AADF绕着点A顺时针旋转90°,得到AARG,连结GM.

则△ADFgZiABG,DF=BG.

由（1）知AAEG丝4AEF,

AEOEF.

VZCEF=45°,

.♦.△BME、ADNF.ACEF均为等腰直角三角形,

ACE=CF,BE=BM,NF=@F,

：•a-BE=a-DF,

・・・BE二DF,

ABE=BM=DF=BG,

AZBMG=45°,

AZGME=450+45°=90°,

；.EG吆ME'MG；

：EG=EF,MG=0BM=O)F=NF,

.*.EF2=ME2+NF2;

(3)EF2=2BE2+2DF2.

如图所示,延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，

将ZXADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△AGH,连结HM,HE.

由(1)知△AEH丝ZXAEF,

则由勾股定理有(GH+BE)'BG'EH；

ap(GII+BE)2+(BM-GM)2=EH2

又；.EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,

即2(DF2+BE2)=EF2

20

圈③

10.（2018•吉林省中考模拟）已知边长为1的正方形的?中，尸是对角线ZC上的一个动点（与点AC不

重合），过点P作PE1PB,履交射线优于点E,过点后作EFLAC,垂足为点F.

⑴当点£落在线段应上时（如图），

①求证:眸咫；

②在点P的运动过程中,小的长度是否发生变化?若不变,试求出这个不变的值,若变化,试说明理由；

（2）当点£落在线段比的延长线上时,在备用图上画出符合要求的大致图形,并判断上述（1）中的结论是否仍

然成立（只需写出结论,不需要证明）；

（3）在点P的运动过程中,△加C能否为等腰三角形?如果能,试求出"的长,如果不能,试说明理由.

【答案】⑴①证明见解析;②点PP在运动过程中，加的长度不变，值为立；⑵画图见解析,成立；（3）能，1.

2

【解析】

解：⑴①证明:过点P作PG±BC于G,过点P作PH±DC于H,如图1.

：四边形ABCD是正方形,PG±BC,PH±DC,

AZGPC=ZACB=ZACD=ZHPC=45°.

，PG=PH,/GPH=NPGB=NPHE=90°.

,.,PEJ_PB即NBPE=90°,

AZBPG=900-ZGPE=ZEPH.

在APGB和aPHE中，

NPGB=NPHE

<PG=PH,

NBPG=NEPH

.♦.△PGB丝△PHE(ASA),

；.PB=PE.

②连接BD,如图2.

■:四边形ABCD是正方形，ZB0P=90°.

：PE_LPB即NBPE=90°,

ZPB0=90°-ZBPO=ZEPF.

VEFXPCBPZPFE=90°,

，ZBOP=ZPFE.

在ABOP和APFE中，

ZPBO=ZEPF

<NBOP=NPFE

PB=PE

.•.△BOP^APFE(AAS),

；.BO=PF.

四边形ABCD是正方形，

；.OB=OC,ZB0C=90°,

BC=V2OB.

22

V2

VBC=1,.*.0B=

2

，PF哼.

二点PP在运动过程中,用的长度不变,值为也

2

(2)当点£落在线段ZT的延长线上时，符合要求的图形如图3所示.

同理可得：PB=PE,PF=

2

(3)①若点E在线段DC上，如图1.

图1

VZBPE=ZBCE=90°,/.ZPBC+ZPEC=180°.

VZPBC<90°,/.ZPE0900.

若△必'C为等腰三角形，则EP=EC.

AZEPC=ZECP=45°,

；.NPEC=90°,与NPEC>90°矛盾，

二当点E在线段DC上时，△限不可能是等腰三角形.

②若点E在线段DC的延长线上,如图4.

图4

若△月笫是等腰三角形，

VZPCE=135°,

；.CP=CE,

AZCPE=ZCEP=22.5°.

/.ZAPB=180°-90°-22.5°=67.5°.

VZPRC=90°+ZPBR=90°+ZCER,

AZPBR=ZCER=22.5°,

AZABP=67.5°,

/.ZABP=ZAPB.

，AP=AB=1.

；.AP的长为1.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定

理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性,而通过添加辅助线证

明三角形全等是解决本题的关键.

11.（2017•广东省中考模拟）如图,在。0中,直径AB1CD,垂足为E,点M在0C上,AM的延长线交。0于点

G,交过C的直线于F,Z1=Z2,连结CB与DG交于点N.

24

(1)求证:CF是。。的切线;

(2)求证:△ACMs/y)CN;

(3)若点M是CO的中点，。0的半径为4,cosZB0C=-,求BN的长.

4

【答案】⑴见解析⑵见解析⑶指

【解析】解：(D证明：:△BCO中，BO=CO,ZB=ZBC0.

在RtABCE中，Z2+ZB=90°,N1=N2,二Nl+NBCOgO、即NFC0=90.

V0C是。0的半径，；.CF是。0的切线.

(2)证明：：AB是。0直径，；.ZACB=ZFC0=90°.

ZACB-ZBC0=ZFC0-ZBC0,即N3=NL

Z3=Z2.

VZ4=ZD,.".△ACM^ADCN.

(3)VOO的半径为4,即AO=CO=BO=4,

在RtACOE中，cosZB0C=-,

4

/.0E=C0«cosZB0C=4X1=1..\BE=3,AE=5.

4

由勾股定理可得：CE=VCO2-EO2==岳,

AC=VCE2+AE2=4呵2+5。=2y/io,BC=^CE2+BD2=不即丫+3?=276.

VAB是。0直径,AB_LCD,；.由垂径定理得：CD=2CE=2而.

:点M是CO的中点，CM=-C0=-X4=2

22

••AAMS/KMN•CMACanrwCMCD2x2后r-

・ZXACMs△OCN,..------=-------,K|JCN=---------------=-------.

CNCDAC2M

BN=BC-CN=2=G

(1)根据切线的判定定理得出/l+/BC0=90°,即可得出答案；

(2)利用11知得出/3=/2,Z4=ZD,再利用相似三角形的判定方法得出即可.

(3)根据己知得出0E的长,从而利用勾股定理得出EC,AC,BC的长,即可得出CD,利用(2)中相似三角形的性质

得出NB的长即可.

12.(2019•山东省中考模拟)ZiABC中，NBAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合)，

以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF,

(D观察猜想

如图1,当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为:.

②BC,CD,CF之间的数量关系为:;(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考

如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出

正确结论再给予证明.

(3)拓展延伸

如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE,若已知AB=2夜，CD=；BC,请求出GE

的长.

【答案】⑴CFLBD,BCXF+CD;(2)成立，证明详见解析；(3)廊.

【解析】

解：(D①正方形ADEF中，AD=AF,

；NBAC=NDAF=90°,

/.ZBAD=ZCAF,

26

‘AD=AF

在ADAB与AFAC中，,/BAD=/CAP，

AB=AC

.,.△DAB^AFAC,

・♦・ZB=ZACF,

・・・ZACB+ZACF=90°,即CF±BD;

②△DABdFAC,

ACF=BD,

VBC=BD+CD,

・・・BOCF+CD;

(2)成立，

「正方形ADEF中，AD=AF,

VZBAC=ZDAF=90°,

・・・NBAD二NCAF,

‘AD=AF

在△DAB与aFAC中，/BAD二NCAF，

AB二AC

AADAB^AFAC,

；・NB=NACF,CF=BD

AZACB+ZACF=90°,BPCF±BD;

VBC=BD+CD,

ABC=CF+CD;

⑶解:过A作AII±BC于H,过E作EM±BD于M,EN1CF于N,

VZBAC=90°,AB=AC,

・•・BO^AB=4,AH=-BC=2,

%

11

.*.CD--BC=1,CH=-BC=2,

43

ADH=3,

由(2)证得BC±CF,CF=BD二5,

丁四边形ADEF是正方形，

・・・AD=DE,NADE=90°,

VBC±CF,EM1BD,EN±CF,

・・・四边形CMEN是矩形，

，NE=CM,EM=CN,

VZAHD=ZADC=ZEMD=90°,

AZADH+ZEDM=ZEDM+ZDEM=90°,

・・・ZADH=ZDEM,

'NADH=/DEM

在△ADH与ADEM中，<ZAHD=ZDME>

AD=DE

.,.△ADH^ADEM,

AEM=DH=3,1)M=AH=2,

ACN=EM=3,EN=CM=3,

VZABC=45°,

AZBGC=45°,

•••△BCG是等腰直角三角形，

ACG=BC=4,

AGN=1,

AEG=VGN2+EN^VIO-

邺

考点：四边形综合题.

13.(2019•福建省中考模拟)如图1,在Rt△板中，乙的=90°,四=园将△上绕点4逆时针旋转，得到

△板旋转角为a(0°VaV90°),连接切交位于点在

⑴如图2,当a=45°时,求证:启班

(2)在旋转过程中，①问(1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论;②连接CD,当户为等腰直角三角形时,

求tan@的值.

2

28

【答案】(1)见解析；(2)①成立,理由见解析;②]

2

【解析】

(1)如图中，

丁ZEAC=/DAB,AE=AQAD=AB,

：.ZAEC=Z.ACE=Z.AI)B=/ABD,

4ADB=4CDF,

工/FDC=/FCD,

:・FD=FC,

・・・N££T=90°,

:・/DEF+/ECD=9a0,/FDE+/FDC=9G°,

：.AFED=ZFDE,

：.FE=FDy

:,EF=FC.

(2)①如图1中，结论仍然成立.

理由：连接力£

图1

VAB=AD,AE=AC,

AZABD=ZADB,ZACE=ZEAC,

XVZBAD=ZCAE,ZABD+ZADB+ZBAD=1800,ZACE+ZEAC+ZCAE=180°,

:・/FCA=/ABF,

・・,4氏CF四点共圆,

：.AAFaAABC=\SQ°,

VZ/L?C=90°,

AZAFC=90°,

:・AFIEC,

9：AE=AC,

：.EF=CF.

②如图3-1中，当CF=CD,/FCS时,连接AF,作CHLBF于H.设CF=CD=a.

则DE=7CE2+CD2=45a>DF=72%

'：CF=CD、CHIDF,

：.HF=HDi

I及

：.CH=-DF=—a,

22

:・BC=DE=#>a,

30

/.BH=[BC?-CH2=—a,

2

"：AE^AC,EF=CF,

4c1平分

C/四点共圆，

1

：./CAF=/CBH=-a,

2

母

——a

1CH

tan—a=---

3A/2-3

a

2

如图3-2中，当DF=DC,NCDF=9Q°时，作DH1CF于H,连接AF.设CD=DF=m.

图3-2

15

则CF=EF=Jia,DH=-CF=—m,

、22

DE=BC=y/DH2+EH2=亚加，

:-BD=yjBC2-CD2=2m,

1CD1

二tan—a=---=—.

2BD2

【点睛】

本题考查了旋转的性质，四点共圆，圆内接四边形的性质，解直角三角形的应用,等腰三角形的性质等，综合

性较强,有一定的难度,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

14.(2017•河南省中考模拟)如图①,C为线段BE上的一点,分别以BC和CE为边在BE的同侧作正方形ABCD

和正方形CEFG,M、N分别是线段AF和GD的中点，连接MN

(1)线段MN和GD的数量关系是位置关系是；

(2)将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°,其他条件不变,如图②，(1)的结论是否成立?说明理由;

(3)已知BC=7,CE=3,将图①中的正方形CEFG绕点C旋转一周,其他条件不变,直接写出MN的最大值和最小

值.

【答案】MN=-DG,MN±DG;(1)的结论仍然成立.

2

【解析】

⑴连接FN并延长，与AD交于点S,如图①.

四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，

AZD=90°,AD=DC,GC=GF,AD〃BE〃GF,

二ZDSN=ZGFN.

在ASDN和aFGN中，

ZDSN=ZGFN,/SND=NFNC,DN=GN,,

.,.△SDN^AFGN,

l)S=GF,SN=FN.

,.,AM=FM,

I

...MN〃AS,MN=-AS,

2

，/MNG=/D=90°,

1、I,、1,、1

MN=-(zAD-DS)=-(DC-GF)=-(DC-GC)=-DG.

2222

故答案为MN=LDG,MN±DG;

2

(2)(1)的结论仍然成立.

32

理由：过点M作MTL)C于T,过点M作MR_LBC于R,连接FC、MD、MG,如图②,

图②

则A、F、C共线,MR〃FG〃AB,MT〃EF〃AD.

VAM=FM,

・♦・BR=GR--BG,DT=ET--DE,

22

1、1/、

・・・MR--(zFG+AB),MT--(EF+AD).

22

四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形，

.\FG=GC=EC=EF,AB=BC=DC=AD,

・・・MR=MT,RG=TD.

在△MRG和Z\MTD中，

MR二MT,NMRG二NMTD,RG=TD,

AAMRG^AMTD,

AMG=MD,ZRMG=ZTMD,

・・・NRMT二NGMD.

〈NMRC二NRCT=NMTO90。,

・♦・四边形MRCT是矩形，

AZRMT=90o,

・・・NGMD=900.

VMG=MI),ZGMD=90°,DN=GN,

1

.\MN±DG,MN="DG.

2

⑶延长GM到点P,使得PM=GM,延长GF、AD交于点Q,连接AP,DP,DM如图③,

p

图③

在AAMP和△FMG中，

AM二FM,NAMP二NFMG,PM=GM,

/.△AMP^AFMG,

/.AP=FG,ZAPM=ZFGM,

AAP//GF,

・♦・NPAQ=NQ,

ZDOG=ZODQ+ZQ=ZOGC+ZGCO,

Z0I)Q=Z0GC-90°,

・・・ZQ=ZGCO,

・・・ZPAQ=ZGCO.

,/四边形ABCD和四边形EFGC都是正方形,

・・・DA=DC,GF=GC,

AAP=CG.

在aAPD和aCGD中，

AP二CG,ZPAD=ZGCD,AD=CD,

AAAPD^ACGD,

APD=DG.

VPM=GM,

ADM±PG.

VDN=GN,

1

AMN=-DG.

2

VGC=CE=3,

・・・点G在以点C为圆心,3为半径的圆上，

34

；DC=BC=7,

ADG的最大值为7+3=10,最小值为7-3=4,

.••MN的最大值为5,最小值为2.

“点睛”本题主要考查「全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形中位线定理、平行线分阶段成

比例、梯形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半、圆的定义、平行线的判定与性质等知识,综合性强,有一定的难度，证到△DMG是等腰直角三

角形是解决第(2)小题的关键,证到MN=!1)G是解决第(3)小题的关键.

15.(2018•湖北省中考模拟)(发现证明)

如图1,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,ZEAF=45°,试判断BE,EF,FD之间的数量关系.

小聪把aABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,通过证明△AEFg△AGF;从而发现并证明了EF=BE+FD.

(类比引申)

(1)如图2,点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上,NEAF=45°,连接EF,请根据小聪的发现给

你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；

(联想拓展)

(2)如图3,如图，NBAC=90°,AB=AC,点E、F在边BC上，且NEAF=45°,若BE=3,EF=5,求CF的长.

【答案】(1)DF=EF+BE.理由见解析；(2)CF=4.

(1)DF=EF+BE.理由:如图1所示，

VAB=AD,

.•.把aABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,

VZADC=ZABE=90°,

二点C、D、G在一条直线上,

AEB=DG,AE=AG,ZEAB=ZGAD,

VZBAG+ZGAD=90°,

AZEAG=ZBAD=90°,

VZEAF=45°,

/.ZFAG=ZEAG-ZEAF=90°-45°=45°,

・•・ZEAF=ZGAF,

在AEAF和4GAF中，

EA=GA

<ZEAF=ZGAF,

AF=AF

AAEAF^AGAF,

.♦・EF=FG,

VFD=FG+DG,

・・・DF=EF+BE;

(2)VZBAC=90°,AB=AC,

•/△ABE绕点A顺时针旋转90°得AACG,连接FG,如图2,

・・・AG=AE,CG=BE,ZACG=ZB,ZEAG=90°,

AZFCG=ZACB+ZACG=ZACB+ZB=90°,

.*.EG2=FC2+CG2=BE2+FC2；

XVZEAF=45°,rfaZEAG=90°,

AZGAF=90°-45°,

在aAGF与4AEF中，

EA=GA

<Z.EAF=ZGAF,

AF=AF

AAAEF^AAGF,

36

，EF=FG,

AC^EF2-BE2=52-3勺6,

/.CF=4.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理,正方形的性质的应用，正确的作出辅助线构造全等三角形

是解题的关键,此题是一道综合题,难度较大,题目所给例题的思路,为解决此题做了较好的铺垫.

16.(2018•福建省中考模拟)如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处.

3

(1)如图1,若折痕AE=5后，且tanZEFC=求矩形ABCD的周长；

4

(2)如图2,在A