中考数学试题分类汇编考点27菱形含解析-初中

2018中考数学试题分类汇编：考点27菱形

一.选择题（共4小题）

1.（2018•十堰）菱形不具备的性质是（）

A.四条边都相等B.对角线一定相等

C.是轴对称图形D,是中心对称图形

【分析】根据菱形的性质即可判断；

【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相

等，

故选：B.

9

2.（2018•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,BD=8,tanZABD=—,

4

D.10

【分析】根据菱形的性质得出ACLBD,A0=C0,0B=0D,求出0B,解直角三角形求出A0,根

据勾股定理求出AB即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是菱形,

.\ACJ_BD,AO=CO,OB=OD,

AZA0B=90°,

VBD=8,

；.0B=4,

VtanZABD=-^^—,

4OB

A0=3,

在RtaAOB中，由勾股定理得：ABWAC^+OBA^+FS，

故选：C.

3.（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长

是（）

【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出

周长.

【解答】解：由菱形对角线性质知I,AO=&C=3,BO=^BD=4,且AOLBO,

22

则AB=VAQ2+B0^5-

故这个菱形的周长L=4AB=20.

故选：A.

4.（2018•贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF〃CB,交AB于点F,如果EF=3,

那么菱形ABCD的周长为（）

A.24B.18C.12D.9

【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解.

【解答】解：；E是AC中点，

VEF/7BC,交AB于点F,

，EF是4ABC的中位线,

.•.EF寺C,

；.BC=6,

菱形ABCD的周长是4X6=24.

故选：A.

二.填空题（共6小题）

5.（2018•香坊区）已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6,点E在对角线BD上

且tan/EAC=/,则BE的长为3或5.

【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可.

【解答】解：当点E在对角线交点左侧时，如图1所示：

•.•菱形ABCD中，边长为5,对角线AC长为6,

.\AC±BD,60=^^£2_^02-^52_32-4,

VtanZEAC=-l0E0E

解得：OE=L

.•.BE=BO-OE=4-1=3,

当点E在对角线交点左侧时，如图2所示：

••,菱形ABCD中，边长为5,对角线AC长为6,

.,.AC±BD,B0=5/^B2_^Q2=^52~32=4>

l-QE_0E

VtanZEAC-

解得：OE=1,

.".BE=BO-0E=4+l=5,

故答案为：3或5：

6.（2018•湖州）如图，已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点0.若tanNBAC=g,AC=6,

则BD的长是2

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得ACLBD,0A=-1AC=3,BD=20B.再解Rt^OAB,

根据tan/BAC=°B-L,求出0B=l,那么BD=2.

0A3

【解答】解：；四边形ABCD是菱形，AC=6,

AACXBD,0A=—AC=3,BD=20B.

2

在Rt^OAB中，VZA0D=90°,

.,.tanZBAC=——,

0A3

.•.0B=l,

•\BD=2.

故答案为2.

7.（2018•宁波）如图，在菱形ABCD中，AB=2,NB是锐角，AELBC于点E,M是AB的中

点，连结

【分析】延长DM交CB的延长线于点H.首先证明DE二EH,设BE二x,利用勾股定理构建方程

求出X即可解决问题.

【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H.

•..四边形ABCD是菱形，

，AB=BC=AD=2,AD〃CH,

/.ZADM=ZH,

VAM=BM,ZAMD=ZHMB,

.♦.△ADM丝△BIN,

，AD=HB=2,

VEM±DH,

；.EH=ED,设BE=x,

VAE±BC,

Z.AE1AD,

ZAEB=ZEAD=90°

VAE2=AB2-BE2=DE2-AD2,

?.22-x2=(2+x)2-22,

1或-依-1(舍弃).

,,,cosB---^-1,

AB2

故答案为丘工.

2

8.（2018•广州）如图，若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（3,0）,(-2,0),点

D在y轴上，则点C的坐标是（-5,4）.

【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标.

【解答】解：•・•菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（3,0）,（-2,0）,点D在y轴上,

AAB=5,

AAD=5,

==4

・,•由勾股定理知:ODVAD^WV5^32=-

...点C的坐标是：(-5,4).

9.（2018•随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2,点A在第一象

限，点C在x轴正半轴上，ZA0C=60",若将菱形OABC绕点。顺时针旋转75°,得到四边

形0A'B'C',则点B的对应点B'的坐标为（\/，-.

【分析】作B'H，x轴于H点，连结OB,OB',根据菱形的性质得到/A0B=30°,再根据

旋转的性质得/BOB'=75°,OB'=0B=2j§,则/AOB'=NB0B'-ZAOB=45°,所以△OBH

为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH=B'H=泥，然后根据第四象限内

点的坐标特征写出T点的坐标.

【解答】解：作B'H，x轴于H点，连结OB,OB',如图，

•.•四边形OABC为菱形，

AZAOC=1800-ZC=60°,0B平分NAOC,

AZA0B=30°,

•.•菱形OABC绕原点0顺时针旋转75。至第四象限0A'B'C'的位置，

/.ZB0B,=75。，0B，=€«=2仃

・・・NAOB'=/BOB'-ZA0B=45°,

AAOBH为等腰直角三角形，

点B，的坐标为（灰，-灰）.

故答案为：_.

10.（2018•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件AB=BC或ACLBD使平

行四边形ABCD是菱形.

【分析】根据菱形的判定方法即可判断.

【解答】解：当AB=BC或ACJ_BD时，四边形ABCD是菱形.

故答案为AB=BC或AC_LBD.

三.解答题（共10小题）

11.（2018•柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点0,且AB=2.

（1）求菱形ABCD的周长；

（2）若AC=2,求BD的长.

【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；

（2）利用勾股定理可求出B0的长，进而解答即可.

【解答】解：(1)•.•四边形ABCD是菱形，AB=2,

菱形ABCI)的周长=2X4=8：

(2)•.•四边形ABCD是菱形,AC=2,AB=2

AACIBD,AO=1,

B0={AB2-AO2T22_12;如,

，BD=2百

12.（2018•遂宁）如图，在nABCD中，E,F分别是AD,BC上的点，且DE=BF,AC±EF.求

证：四边形AECF是菱形.

BFC

【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明;

【解答】证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

.\AD=BC,AD/7BC,

VDE=BF,

.".AE=CF,；AE〃CF,

...四边形AECF是平行四边形，

VAC±EF,

...四边形AECF是菱形.

13.(2018•郴州)如图,在。ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为0,分别交AD,

BC于E,F,连接BE,DF.求证：四边形BFDE是菱形.

【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE0Z\BOF,得到

OE=OF,利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利

用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形.

【解答】证明：•..在。ABCD中，0为对角线BD的中点，

，BO=DO,ZEDB=ZFBO,

在和△FOB中，

"ZED0=ZFB0

<OD=OB，

,ZE0D=ZF0B

.,.△DOE^ABOF(ASA)；

.\OE=OF,

XV0B=0D,

，四边形EBFD是平行四边形,

VEF1BD,

四边形BFDE为菱形.

14.（2018•南京）如图，在四边形ABCD中，BC=CD,ZC=2ZBAD.0是四边形ABCD内一点,

且OA=OB=OD.求证：

(1)ZB0D=ZC；

(2)四边形OBCD是菱形.

【分析】（1）延长A0到E,利用等边对等角和角之间关系解答即可;

（2）连接0C,根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可.

【解答】证明:

延长0A到E,

V0A=0B,

AZAB0=ZBA0,

又NBOE=NABO+NBAO,

・・・NBOE=2NBAO,

同理NDOE=2NDAO,

JZBOE+ZDOE=2ZBAO+2ZDAO=2(ZBAO+ZDAO)

即/B0D=2NBAD,

又NC=2NBAD,

AZB0D=ZC；

(2)连接OC,

VOB=OD,CB=CD,OC=OC,

/.△OBC^AODC,

・・・NBOC二NDOC,ZBCO=ZDCO,

•・・ZBOD=ZBOC+ZDOC,ZBCD=ZBCO+ZDCO,

.*ZBOC=—ZBOD,ZBCO=—ZBCD,

22

又/BOD=NBCD,

ZBOC=ZBCO,

/.BO=BC,

又OB=OD,BC=CD,

.,.OB=BC=CD=DO,

...四边形OBCD是菱形.

15.(2018•呼和浩特)如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD,AB/7DE,且

AB=DE.

(1)求证：AABC^4DEF；

(2)若EF=3,DE=4,ZDEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.

【分析】(1)根据SAS即可证明.

(2)解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题;

【解答】(1)证明：［AB〃DE,

ZA=ZD,

VAF=CD,

，AF+FC=CD+FC,

即AC=DF,

VAB=DE,

，AABC^ADEF.

(2)如图，连接AB交AI)于0.

在RtZ^EFD中,VZDEF=90°,EF=3,DE=4,

DF=^32+42=5,

•・•四边形EFBC是菱形，

.\BE±CF,'.,.E0=DE"EF-12

DF5

•••°F=OC=VEF2-EO2=T,

.\CF=—,

5

AAF=CD=DF-FC=5-里工.

55

16.(2018•内江)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E,F分别是AB,BC上的点,

AE=CF,并且NAED=/CFD.

求证：(1)AAED^ACFD；

(2)四边形ABCD是菱形.

【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论;

（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论.

【解答】（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

ZA=ZC.

在4AED与4CFD中，

'/A=NC

<AE=CF

,ZAED=ZCFD

.,.△AED^ACFD（ASA）；

（2）由（1）知，△AED^Z\CFD,则AD=CD.

又•••四边形ABCD是平行四边形，

...四边形ABCD是菱形.

17.（2018•泰安）如图，/XABC中，D是AB上一点，DELAC于点E,F是AD的中点，FG±

BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分NCAB,连接GE,CD.

（1）求证：Z\ECG四△GHD；

（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.

（3）若NB=30°,判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由.

【分析】(1)依据条件得出NC=NDHG=90°,ZCGE=ZGED,依据F是AD的中点，FG〃AE,

即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE二GD,ZCGE=ZGDE,利用AAS即可判定

△ECG^AGHD；

(2)过点G作GPLAB于P,判定4CAG之ZiPAG,可得AC=AP,由(1)可得EG=DG,即可得

到RtZ\ECG之RtZXGPD,依据EOPD,即可得出AD=AP+PD=AC+EC；

⑶依据NB=30°,可得NADE=30°,进而得到AE卷AD,故AE=AF=FG,再根据四边形AECF

是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形.

【解答】解：(1)VAF=FG,

・・・ZFAG=ZFGA,

〈AG平分NCAB,

・・・ZCAG=ZFGA,

・・・ZCAG=ZFGA,

・・・AC〃FG,

VDEIAC,

AFG1DE,

VFG1BC,

・・・DE〃BC,

AAC1BC,

.\ZC=ZDHG=90°,ZCGE=ZGED,

•・・F是AD的中点，FG〃AE,

・・・H是ED的中点，

・・・FG是线段ED的垂直平分线，

AGE=GD,ZGDE=ZGED,

・・・ZCGE=ZGDE,

•・.△ECG丝△GHD；

(2)证明：过点G作GPLAB于P,

；.GC=GP,而AG=AG,

.,.△CAG^APAG,

；.AC=AP,

由⑴可得EG=DG,

.,•RtAECG^RtAGPD,

.\EC=PD,

.\AD=AP+PD=AC+EC；

(3)四边形AEGF是菱形，

证明:VZB=30°,

/.ZADE=30°,

.\AE=-1AD,

；.AE=AF=FG,

由⑴得AE〃FG,

四边形AECF是平行四边形，

四边形AEGF是菱形.

18.(2018•广西)如图，在。ABCD中，AE1BC,AFXCD,垂足分别为E,F,且BE=DF.

(1)求证：口ABCD是菱形；

(2)若AB=5,AC=6,求。ABCD的面积.

【分析】(1)利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题;

（2）连接BD交AC于0,利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题;

【解答】（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

.\ZB=ZD,

VAE±BC,AF1CD,

AZAEB=ZAFD=90°,

VBE=DF,

.".△AEB^AAFD

AAB=AD,

•••四边形ABCD是平行四边形.

(2)连接BD交AC于0.

•.•四边形ABCD是菱形,AC=6,

.••AC±BD,

A0=0C=^AC=—X6=3,

22

VAB=5,A0=3,

19.（2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA,点F是AB的中点，连接DF并延

长，交CB的延长线于点E,连接AE.

（1）求证：四边形AEBD是菱形；

（2）若DC=JT5，tanZDCB=3,求菱形AEBD的面积.

D

【分析】（1）由4AFD四△BFE,推出AD=BE,可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD

可得结论；

（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；

【解答】（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃CE,

.,.ZDAF=ZEBF,

VZAFD=ZEFB,AF=FB,

.•.△AFD^ABFE,

.\AD=EB,；AD〃EB,

...四边形AEBD是平行四边形，

VBD=AD,

...四边形AEBD是菱形.

(2)解：•.•四边形ABCD是平行四边形,

.".CD=AB=A/10，AB〃CD,

.".ZABE=ZDCB,

.•.tanZABE=tanZDCB=3,

•.•四边形AEBD是菱形，

.'.ABIDE,AF=FB,EF=DF,

.•.tan/ABE=上EF^3,

BF

./BF=2/lp_)

2

...EF=3VT3,

2

DE=3y10,

•e•S女形AEBD二■^•AB.DE=a-'./10*3^/10=15.

D

20.(2018•乌鲁木齐)如图，在四边形ABCD中，ZBAC=90°,E是BC的中点，AD〃BC,

AE〃DC,EF_LCD于点F.

(1)求证：四边形AECD是菱形；

(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.

【分析】(1)根据平行四边形和菱形的判定证明即可;

(2)根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可.

【解答】证明:(1)：AD〃BC,AE〃DC,

四边形AECD是平行四边形，

VZBAC=90°,E是BC的中点，

.,.AE=CE=4C,

2

四边形AECD是菱形；

(2)过A作AHJLBC于点H,

VZBAC=90°,AB=6,BC=10,

-'-AC=V102-62=8>

7

SAABC=yBC-AH=yAB-AC-

...AH旦a

105

•.•点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形，

；.CD=CE=5,

VSDAECB=CE»AH=CD«EF,

.\EF=AH=—.

5