2020届高考数学二轮复习讲练测思想03 数形结合思想（讲）（解析）

思想03数形结合思想

钎布考

1.（2016•全国高考真题（文））函数尸"-e3在［-2,2］的图像大致为（）

【解析】

函数£々）=2*2-6冈在［_2,2］上是偶函数，其图象关于y轴对称，因为/'（2）=8—1,0<8—/<1，所

以排除4B选项；当xe［0,2］时,y，=4x-e”有零点，设为小，当％c（0/。）时,“乃为减函数，当xe（x0,2）

时，f（x）为增函数.故选D

2.（2017•全国高考真题（理））在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD

相切的圆上.若AP=/1AB+〃AD，则；1+〃的最大值为（）

A.3B.272C.75D.2

【答案】A

【解析】

如图所示，建立平面直角坐标系.

设A（0,l）,B（0,0）,C（2,0）,r>（2,l）,P（x,y）.

2

易得圆的半径r=7不，即圆C的方程是（x—2）一+丁

uuuUUUUUU1

AP=（x,y-l）,AB=（0-l）,A£>=（2,0）,若满足AP=/L43+〃A£>，

x=2uxx

则《，〃=一,4=1-y,所以4+/z=—y+1,

y-\=-A22

设2=1—丁+1,即:y+l-z=O,点P（x,y）在圆（》一2），;/=1

|2-z|2

x-L<

所以圆心（2,0）到直线一一丁+1—2=0的距离1〈厂，即n一—忑,解得lWz43,

2J-+1-+1

4

所以Z的最大值是3,即4+〃的最大值是3,故选A.

x+2y-4<0

3.（2014•浙江高考真题（理））当实数满足｛x-y—1W0时,l〈or+y«4恒成立，则实数a的取

x>l

值范围是.

'3

【答案】

【解析】

作出不等式组表示的区域如下图所示的阴影部分区域,

由图可知：不等式l4ax+y44在阴影部分区域恒成立，令2=女+^可知。20，因为当。之0,且

当x=l,y=O时，z=ax+y=a+O=a<（）不能使得1<ar+y<4恒成立；由aNO得z=ax+y在点

（1,0）处取得最小值，即Zmm=ox+y=a,在点（2,1）处取得最大值，即=or+y=2。+1,所以有

3

｛篇“解得1。、.

4.（2017•全国高考真题（文））四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC^-AD,ABAD=NABC=90°.

2

（1）证明：直线8C//平面PAD;

（2）若△PC。面积为2疗，求四棱锥P-ABC。的体积.

【答案】（I）见解析（II）

【解析】

（1）在平面48CO内，因为NB/O=N/8C=90°，所以8c〃4D

又BC<2平面PAD、ADu平面PAD,故BCH平面PAD.

（2）取4。的中点仍，连接

由48=BC=•?•力。及8C〃N48C=90”,

2

得四边形48CM为正方形，则CA/J.力£）..

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面/8CO，平面P/OCI平面ABCD=AD，

所以PM1尸MJ■底面ABCD.

因为CA/u底面488，所以PMJ.CA/,

设8C=x，则CA/=x,CO=&x,PA/=JIx,PC=P£>=2x，取C。的中点N，连接PN，贝U

PN上CD,所以PN=5&X，

2

因为APCQ的面积为2J7，所以L五xx史~=2出，

22

解得x=—2(舍去)，x=2.

于是AB=BC=2,AD=4,PM=26.

所以四棱锥P力6co的体积/=£x2(2+4)x2^=4^

32

5.(2013•浙江高考真题(文))(2013•浙江)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1)

(I)求抛物线C的方程；

(II)过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线1：y=x-2于M、N两点，求|MN|

的最小值.

V

(2)当t=-争寸，|MN|的最小值是2普

【解析】

(I)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0)则贤1,解得p=2,故抛物线C的方程为x?=4y

(II)设A(xi,yi),B(X2,y2).直线AB的方程为y=kx+l

fy=kx+l

由《9消去y,整理得x2-4kx-4=0

J4y

=42

所以X|+X2=4k,X|X2=-4,从而有|xi-(町+乂2)2-4X[X2Vk+l

n2xi

--X2Xi--~S=-^-

由，X[解得点M的横坐标为XM=----

x.-y._±14-X]

y=x-2X14

同理可得点N的横坐标为XN=J&-

qx2

|-8^心+]

所以|MN|二技M-XN|=A/^&---4--1=8费-----

4X4x-4(x+x)+1614k-3|

12XjX2t2

令4k-3=t,i不为0,则k=±3

4

一、考向分析:

二、考向解读

考向一、构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围

典例1.（福建省福州市2019届高三上学期抽测）如图，函数〃》）的图像为两条射线C4CB组成的折

线，如果不等式/•（为2/一》一£1的解集中有且仅有1个整数，那么实数a的取值范围是（)

A.{a|-2<a<-1]B.{a|-2<a<-1}

C.{a|-2<a<2}D.[a\a>-2}

【答案】B

【解析】

根据题意可知"4=一，

J+2,x>0

不等式f(x)-x-a等价于a^x-f(x),

令g(x)=x-x-f^x)

_(x2-3x-2,x<0

Ix2-2zx>0

又g(0)=-2,g(l)=-l,g(-l)=2,

・,•要使不等式的解集中有且仅有1个整数，

则-2WK1,

即a取值范围是{a|-2WHV1}.

故选：B.

典例2.(2019・宁夏大学附属中学高三月考(理))已知当0<xW2时，不等式劲上<2a+l-,以恒

x2

成立，则实数。的取值范围为（)

A.（In2+l,+oo）B.（In2-1,+oo）c.（—,+00）D.（In2-1,0）

2

【答案】B

【解析】

不等式生/<2。+1一；苏，可看作函数〃力=为竺，g（x）=_ga（x_4）+i,在区间（0,2］上,

/（%）的图像在g（%）图像下方.f（x）=2（1—?”）,所以"》）在（0同上递增，在（e,+8）上递减，所以

“X）在x=e时取得极大值也即是最大值，且x>l时，〃x）>0.g（x）图像过点

（4,1）,/（2）=In2J（2）=上詈，所以过8（2,匕詈）的〃x）的切线方程为

y-ln2=上臂（X-2）,点A（4,1）在切线上,g（x）也过点A（4,l）.画出/（x）,g（x）在区间（0,2］上的

图像如下图所示，由图可知，一<。<&8=上詈，解得a>ln2—1.

考向二、构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围

ln（x+l）,x>0

典例3.（2018•山东高考模拟（文））已知函数/（X）='1，若m<〃，且/（/〃）=/（〃）,

-x+l,x<0

12

则〃一机的取值范围为（）

A.[3-21n2,2)B,[3-21n2,2]C.[f-1,2)D.[e-1,2]

【答案】A

【解析】

作出函数/(x)的图象，如图所示，若加<〃，且外加)=/(〃)，

则当ln(x+l)=l时，得x+l=e,即x=e—1,

则满足。<〃<e-l,-2<m<0,

JJiJln(n+l)=—m+1,即m=ln(〃+l)-2,则〃一加=〃+2—21ri(〃+l),

2

9n_i

设/z(/z)=〃+2-21n(〃+l),0v力We-l,则”(〃)=1+----=---

当〃(九)>0,解得当解得0v〃vl,

当〃=1时，函数力(〃)取得最小值"⑴=l+2—21n(l+l)=3—21n2,

当〃=0时，〃(0)=2—21nl=2；

当72=e-l时，=l+2-21n(e-l+l)=e—1<2,

所以3-2如2〈人〃)<2,即〃—〃7的取值范围是[3—21n2,2),故选A.

{cr—ab,aWb,

典例4.对于实数。和协定义运算：〃坨=「设氏0=(21-1)*(工一1),且关于x的

[b—ab,a>b.

方程yU)=m(〃7£R)恰有三个互不相等的实数根为，X2,X3,则为12尤3的取值范围是.

【答案】―心，0

X-x,x<0,

【解析】由定义可知，Ax)=、作出函数f(x)的图象，如图所示.

[―x—x,%>0.

由图可知，当0〈水;时，f(x)=w(0dR)恰有三个互不相等的实数根小，xz,的

11X-

不妨设汨<X2〈X3,易知上2>0,且*2+X3=2X]=l,，起水].令，4

、求0,

解得X」沙或k(舍去).・/g〈x】<0,〈丁丁丁<0.,答案0

4’24m41J6Pk16

考向三、构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系

典例5.函数/(x)=/^乂的图象如图所示，则下列结论成立的是()

(x+c)~

(A)々>0,b>0,c<0(B)。<0,Z?>0,c>0

(C)Q<0,b>0,c<0(D)a<0,b<0,c<0

【答案】C

【解析】由/(x)='W、及图象可知，XX-C,-c>0,则c<0；当x=0时，/(0)=4>0,

(x+c)c

b

所以/?>0；当y=0,ax+b-0.所以x=——>0,所以。<0.故a<0,b>0,c<0,选C.

a

考向四、构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式

典例6.(上海市2018-2019学年高二下学期检测)“横看成岭侧成峰，远近高低各不同同一事物从不同

角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数f(x)=ajc2+(2b+\)x-a-2(a,Z?eR,aW0)在[3,4]

至少有一个零点，则标+从的最小值为

【答案】上

100

【解析】

把等式看成关于a,b的直线方程：(/-1)。+2功+『2=0,

由于直线上一点(a，b)到原点的距离大于等于原点到直线的距离,

lx-2l

即2

1)2+(2x)2

所以"2+/N(常1

+4)2，

x-2

'：x-2+----在［3,4］是减函数，

x-2

55

.*•2H—(］―2H-----<1+5；

2x—2

95

即一金-2+----<6；

2x—2

____i____>_L

故(*-2+，+4)2一10°；

x-2

23

当x=3,a-----,b—----时取等号,

2550

故cr+b1的最小值为---.

100

故答案为：---

100

典例7.(湖北省黄冈市2019届高三元月调研)关于*的实系数方程必+ax+b0的一个根在(0,1)内,

另一个根在(1,2)内，则a+2b—3的值域为—

【答案】(-5,-2)

【解析】

令f(x)=x2+ax+

由方程必+。*+%=0的一个根在(0,1)内，

另一个根在(L2)内，

'f(0)=b>0

则有(〃1)=l+a+b<0,画出(a,b)的区域,

/(2)=4+2a+6>0

如图所示，△ABC的区域(不含边界).

其中，4(-1,0)、8(—2,0)、C(-3,2)，

令z=a+2b-3，

平移z=a+2b-3，

当a=-2,b=0时，Z=(-2)-3=-5>取得最小值，

当Q=-3,b=2时，Z=(-3)+2x2-3=-2.取得最大值；

故Q+26-3的值域为(一5,—2)；

故答案为(一5,-2).

考向五、构建立体几何模型研究代数问题

典例8.(2019•北京高三月考(理))如图，在菱形ABC。中，ZABC=60°,E,尸分别是边AB,CO的

中点，现将AABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为()

B

A.72B.—C.—D.—

332

【答案】D

【解析】

如图，

以AC的中点0为坐标原点，建立空间直角坐标系，设二面角B-AC-O为6,可证NBQD=6，设

棱形的边长为4,则A（0,—2,0）,5（273cos^,0,273sin0）,E（V3cos^,-1,73sin,C（0,2,0）,

O（260,0）,F（^,l,0）

.1,EE=（Gcose-6,-2,£sin6）

易知平面ACO的法向量”=（0,0,1）

设直线石厂与平面ACO所成角为a,则

（\n-FE\}3sin2^3sin2^3（l-cos2^）

MMq3（cos^-l）2+4+3sin2010-6cos62（5—3cos6）

i_x2/、

令X€（-U）

3X2—10X+3(3x-l)(x-3)

(3x-5『(3x-5)2

则/'(x)>0时一1<x<；即/(x)在(一1,上单调递增；

/'(x)<0时g<x<l即/(x)在匕单调递减:

sin2a_1

tan2a]

/maxcos2a2

V2

.•.(tana)

2

故选：D

典例9.(福建省泉州市2019届高三1月质检)类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概

念.已知球。的一个内接四面体4BCD中，4BJ.BC，BD过球心0,若该四面体的体积为1，且4B+BC=2,

则球0的表面积的最小值为.

【答案】387r

【解析】

设他结合体积为时,昨申=故”岛所以

=X,BC=2-X.B0=R1%(2-01,

00'=i/i=^―,所以BO'=^x2+(2-x)2,结合

8。,2+。。，2=5。2,建立方程,得到4#=品6+2Tzi+4,令

/i(x)=2T2-4x+4,结合二次函数的性质可知以»在(0,1)递减,(1,2)递增

令r(x)=，，4n)=必(2-的2,结合复合函数的单调性可知,以力在(0,1)递增,在(1,2)递减,而r(x)

始终递减，故4R2在(0,1)递减,在(1,2)递增，故当窜=1,4R2取到最小值为38

所以面积最小值为387r

考向六、构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题

典例10.(2018届云南省昆明市第一中学高三月考)已知函数f(x)=3X+CO5GX)-11,若两个正数

a，b满足f(2a+b)<1,则震的取值范围是()

A.(0$B.仔+8)C.(谷)D.(-oo,i)u(1,+oo)

【答案】C

【解析】由/1(X)=3x+cos(；；x)-11可得，f'(x)=3--5in(-x)，

即广(x)>0对xeR恒成立，所以〃戈)在实数R上单调递增.

因为/'(4)=3x4+85二—11=1，由f(2a+b)<1可得/'(2a+b)<f(4),

2

(2a+&<4

由题意可得Q>0，画出Q、b的可行域，

b>0

则震可看作区域内点(a,b)与定点P(—2,—1)的斜率.

4-(-1)_5

直线2a+b=4与横轴交于点A(2,0)，与纵轴交于点8(0,4),又因为以?=学”=三，kAC

2-(-2)40-(-2)-2

所以以？e(；,：),

故选C.

典例11.(上海市2018-2019学年高二下学期检测)如图，已知四面体ABC。中，DA=DBDC=3五

且。A=O8=OC两两互相垂直，点。是AABC的中心.

(1)过。作OEL4),求AOEO绕直线。。旋转一周所形成的几何体的体积；

(2)将△ZXO绕直线CO旋转一周，则在旋转过程中，直线D4与直线BC所成角记为8,求cos。的

取值范围.

【答案】(1)逑乃：(2)0<cos^<—,

93

【解析】

(I)过E作经计算得。0=指，04=26，OE=2,由此得后”=毡，

3

所以ADEO绕直线DO旋转一周所形成的几何体的体积V=；万(竽)-V6=坐■兀.

(2)过。作OGAC交AB于G，

以。为坐标原点，。尸为x轴，0G为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则。(0,。痣),y=f(^-x),c(百3,0),

设A(x,y,0),则BC=(373,-3,0),AD=(-x,-y,6)，所以cos0=由罩,

6V2

在xOy平面上，点A的轨迹方程为x2+y2=U,

令t=6x+丫,将/=Gr+y看作直线y=一Gx+t,

则直线广一Jix+t与圆x2+y2=12有公共点,

则。=也23

2

所以于是

3

考向七、构建方程模型，求根的个数

典例12.(黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三上期末)已知函数

f(X)=S3X3~x2~3x+2x~5,则函数y=/6»)的零点个数为()

(-log3(x+4),x>5

A.6B.7C.9D.10

【答案】B

【解析】

当T<5时，f'(x)=x2-2x-3=(x+l)(x-3)，

据此可得函数在区间(一8,-1)上单调递增，在区间(—1,3)上单调递减，在区间(3,5)上单调递增,

由函数的解析式易知函数在区间(5,+8)上单调递减，

绘制函数图像如图所示，

注意到f(-3)<0,/(-2)>0/(0)>0/(1)<0,/(4)<0/(5)>0.

故方程r(t)=0的解：“e(-3,-2),t2e(0,l),t3e(4,5)，

则原问题转化为求方程rCr)=ti(i=1,2,3)时解的个数之和,

由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.

本题选择8选项.

考向八、研究图形的形状、位置关系、性质等

典例13.(浙江省2019届高考模拟卷(二))函数y=(cos2x)・ln|x|的图像可能是()

【答案】A

【解析】

由题意得函数f(x)=(cos2x)・ln|x|的定义域为(-8,0)u(0,+co),

x)=[cos(-2x)]•ln|-x|=(cos2x)•ln|x|=f(x)»

函数〃x)为偶函数，

•••函数图象关于y轴对称，故排除C,D.

又当X6(0,1)时，/(X)<0.

因此可排除B.

故选A.

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域,

判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称

性.(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

典例14.如图，长方形43C。的边A5=2,3C=1,。是A3的中点，点P沿着边BC,CD与D4

运动，记NBOP=x.将动产到A、B两点距离之和表示为x的函数/(x),则y=/(x)的图像大致为

()

【答案】B

【解析】由已知得，当点P在边上运动时，即OKxW工时，PA+PB=Vtan2x+4+tanx；当

4

点尸在CD边上运动时，即工包,X。巳时，PA+PB=,(——―1)2+1+.(―+1)2+1,当

442\tanxVtanx

龙=工时，PA+PB=20；当点P在边上运动时，即至万时，PA+PB=y/tan2x+4-tanx,

24

从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线％=生对称，且/(?)>/(]),且轨迹非线型，故选B.

考向九、数形结合，根据不等式恒成立求参数或解不等式

3

典例15.(2019•河南省鲁山县第一高级中学高一月考)若关于x的不等式4"—在

上恒成立，则实数a的取值范围是()

A.Ri]氏N，；[C.g]D.

L4JI4」|_4JI4」

【答案】A

【解析】

由题意得4'--Wlog,x在xG(0,1上恒成立，

2I2」

(113

即当时，函数丫=4'-5的图象不在y=log.x图象的上方，

31

由图知：当a>l时，函数y=4"—5(0<%«5)的图象在y=log.x图象的上方;

111

当OVaVl时，log2>-,解得一.

6a24

故选：A.

典例16.(2019•敦煌中学高考模拟(文))已知奇函数/(x)在xNO时的图象如图所示，则不等式

4(x)<0的解集为()

A.(1,2)B.(-2,-1)u(l,2)c.(-2,-1)D.(-1,1)

【答案】B

【解析】

Vxf(x)V0则：当x>0时，f(x)<0,结合函数的图象可得，l<x<2,当xVO时，f(x)>0,

根据奇函数的图象关于原点对称可得，-2VxVT,.•.不等式xf(x)<0的解集为(-2,-1)U(1,2).故

答案为(-2,-1)U(1,2).

1.数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形:

一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象

来直观地说明函数的性质：二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，

形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

2.运用数形结合思想分析解决问题时;要遵循三个原则：

（1）等价性原则.在数形结.合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有

时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要

注意其带来的负面效应.

（2）双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分

析容易出错.

（3）简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；

二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值

范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.

3.数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点

（1）集合的运算及Venn图；

（2）函数及其图象；

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；

（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；

（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；

（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关

键点），做好知识的迁移与综合运用.

4.数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式（或向量的模、复数

的模）；点到直线的距离公式等.

5.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇

特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.具体操作时，应注意以

下几点：

（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；

（2）用图象法讨.论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首

先.要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个

函数的图象，由图求解；

（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理

论证.

典例17.（2019.夏津第一中学高三月考）已知函数/（x）是定义在［T,0）D（0,4］上的奇函数，当

xe(O,4]时，的图象如图所示，那么满足不等式/(x)N3'—1的x的取值范围是().

A.[-1,-2][2,1]B.[-A-2][0,1]

C.[T-2][2,4]D.[-1,0)[2,4]

【答案】B

【解析】

Q

/(X)为[T,0)u(0,4]上的奇函数，所以如图，画出/(X)在[-4,0)的图象，得点(一2,-1)、点(1.2)

在，(x)上，

画出y=3'-l的图象，得到其渐近线为丁=-1,且在第一象限与的图象交点为(L2),要解不等

式则结合图象，需f(x)的图象在y=3,-1图象的上方，从而解得:XG[-4,-2]U[0,1].

故选：B.

典例18.(2019•甘肃高考模拟(文))定义在R上的偶函数Ax)满足/(x-D=/(x+l),且当

xef-1,0］时，/(x)=%2,函数g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)=lgx,则函数

〃(x)=/(x)-g(x)的零点的的个数是()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

由于/(x—l)=/(x+l),所以，函数y=/(x)的周期为2,且函数y=/(无)为偶函数，

由〃(力=0,得出/(x)=g(x),问题转化为函数y=/(x)与函数y=g(x)图象的交点个数,作出

函数y=与函数N=g(x)的图象如下图所示，

由图象可知，00(x)Wl,当％>10时,g(x)=lgx>l,

则函数y=/(x)与函数y=g(x)在(10,+oo)上没有交点，

结合图像可知，函数，=/(")与函数，=8(力图象共有11个交点，故选：C.

m

典例19.(2019•全国高三专题练习(理))已知函数/(x)=xe'—/nr+5(e为自然对数的底数)在

(0,+8)上有两个零点，则的范围是()

A.(0,e)B.(0,2e)C.(e,+oo)D.(2e,+oo)

【答案】D

【解析】

jrimI

由/(%)=xex-=0得xe"=mx---=m(x——),

222

当X=L时，方程不成立，即XX4，

22

xex

则机=-T,

h(x)=----/八口1、

设1(%>0且不。不),

x——2

—cx(x-1)(2尤+1)

•••x>0且xw,，...由〃(x)=0得X=l,

2

当x>l时，A'(x)>0,函数为增函数，

当0<x<l且xwg时，A'(x)<0,函数为减函数，

则当x=l时函数取得极小值，极小值为//(D=2e,

当0<x<，时，〃(x)<0,且单调递减，作出函数〃(x)的图象如图:

2

要使机=-T有两个不同的根,

X——

则〃?>2e即可,

即实数m的取值范围是(2e,T8),

=mx--=m(x--),

22

设g(尤)=xe',/i(x)=m(x--),

g'(x)=ex+xex=(x+l)ex,当尤>0时，g'(x)>0,则g(x)为增函数，

设=-与g(x)=xe",相切时的切点为(a,ae"),切线斜率&=(。+l)e",

则切线方程为y-aea=(a+l)ea(x-a),

当切线过(L,0)时，-aea=(a+1)ea(--a),

22

IlIJ—a=—ciH---—a，即2a2—a—1=0，得a=l或a=—(舍)，则切线斜率攵=(l+l)e=2e,

222

要使g(x)与h{x)在(0,+oo)上有两个不同的交点,则机＞2e,

即实数m的取值范围是(2e,+R).

典例20.(2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考)

2x+y>2

尸(乂))满足｛%-丁一140,则/+尸的最小值为.

x+2y<4

4

【答案】-

5

X2+y2的表示可行域上的点到原点的距离的平方，其最小值显然是原点到直线AC距离的平方:

0+0-2?4

,4+1J5

4

故答案为