概率统计习题

幅率给与敢理倭耳

习题及题解

沈志军盛子宁

第一章概率论的基本概念

1.设事件A,8及AU8的概率分别为及广，试求P(AB),P(A8),P(彳8)及

P(AB)

2.若A,8,C相互独立，试证明：彳,瓦仁亦必相互独立。

3.试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(Xi，4)记之，其中七，马分别表示

第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A={(x”X2)IX1+々=10}，

事件B={(X1,X2)IX|A/}。试求P(BIA)和尸(AI8)

4.某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：(1)恰好第三次

打开房门锁的概率？(2)三次内打开的概率？(3)如果5把里有2把房门钥匙，则在三

次内打开的概率又是多少？

5.设有甲、乙两袋，甲袋中装有〃个白球、机个红球，乙袋中装有N个白球、M个

红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是

多少？

6.在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进

入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？

7.甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，

各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？

8.某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为0.92,0.93,

在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为0.15。试求下列事件的概率：(D仓库发生

意外时能及时发出警报；(2)乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？

9.设A,8为两随机变量，试求解下列问题：

(1)已知P(4)=P(B)=l/3,P(AI8)=l/6。求:P(AIB)；

(2)已知P(A)=1/4,P(3IA)=l/3,P(AIB)=l/2。求：P(AUB)..

10.先把长为/的木棍折断为两部分，再把较大的那一部分折断成两部分。试求所得三

部分能成三角形的概率？

11.甲、乙、丙三人向同一飞机射击，假设他们的命中率都是0.4。又若只有一人命中

时，飞机坠毁的概率为0.2；若恰有二人命中时，飞机坠毁的概率为0.6；若三人同时命中，

则飞机必然坠毁。试求：（D飞机坠毁的概率；（2）若飞机已经坠毁，则坠毁的飞机是因

为恰有二人命中的概率？

12.今有9门高射炮独立地向一飞机射击，每门炮能击中飞机的概率为0.6。（1）同

时各射一弹，试求飞机被击中的概率；（2）欲以99%以上的把握击中飞机，试问至少要

布置多少门炮同时射击？

13.某工厂有职工4745名，每名职工生日在一年中某一天的概率为1/365,试求下列

事件的概率：（1）恰有4名职工生日在同一天（A）；（2）至少有4名职工生日在同一天

（B）?

14.假设飞机的每个发动机在飞行中出现故障的概率为1-p,且各发动机故障与否是

相互独立的。如果至少有50%的发动机正常，飞机可成功飞行。问对于多大的p,4个发

动机比2个发动机更为保险？

15.设事件A,8,C满足：

P（A）=P（B）=P（C）=1/4,P（AC）=1/8,P（AB）=P（BC）=0

试求A,B,C三事件至少有一发生的概率？

16.某地区气象资料表明，邻近的甲、乙两城市中的甲市全年雨天比例为12%,乙市

全年雨天比例为9%,甲、乙两市至少的一城市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概

率：（1）甲、乙两市同为雨天；（2）在甲市雨天的条件下乙市亦为雨天；（3）在乙市无

雨的条件下甲市亦无雨？

17.某地以英文字母及阿拉伯数字组成7位牌照。试求下列事件的概率：（1）牌照的

前2位是英文字母、后5位是阿拉伯数字（4）；（2）牌照中有2位是英文字母、另外5

位是阿拉伯数字（8）?

18.甲、乙两个乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛一局甲胜的概率为0.6,乙胜的

概率为0.4,比赛既可采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，问采用哪种赛制对甲更有

利？

19.平面上画有平行线若干、其间距交替地等于1.5厘米及8厘米。今任意地向平面投

掷一半径为2.5厘米的圆片。试求该圆与任一平行线不相交的概率?

20.甲、乙两人相约于一小时内在某地会面，商定先到者等候10分钟，过时即可离去。

试求他们能会到面的概率？

21.平面上画有距离为a(a>0)的平行线若干条。今向此平面任意投一长为/(/<。)的

小针。试求小针与平行线之一相交的概率？

22.若A,8相互独立，贝ij(1)4,8独立；(2)彳,8独立；(3)彳，后独立。

23.当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，求正面数刚好是三个的条件概率？

24.掷三颗骰子，若已知没有两个相同的点数，试求至少有一个一点的概率？

11一

25,设事件的概率分别为-和一，试求下列三种情况下P(A8)的值：

32

(1)A与8互斥；(2)AuB；(3)P(AB)=—

8

26.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球数的最大值分别为1,2,3的概

率？

27.袋中有12个球，其中8个白球，4个黑球，现从中任取两个，求：(1)两个均为

白球的概率？(2)两个球中一个是白的，另一个是黑球的概率？(3)至少有一个黑球的

概率？

28.将10本书随意放在书架上，求：其中指定的5本书放在一起的概率？

29.甲、乙二班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15

名，求：在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率？

30.设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、

3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1,0.2,03,从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取

一件产品，求：取得正品的概率？

31.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一型号的螺钉，各车间的产量分别占该厂螺

钉产品的25%,35%,40%,各车间成品中次品分别为各车间产量的5%,4%,2%,今

从该厂的产品中任取一个螺钉经检查发现是次品，问它是甲、乙、丙三个车间生产的概率

是多少？

32.有产品100件，其中10件次品，90件正品。现从中任取3件，求：其中至少有一

件次品的概率？

33.100人参加数理化考试，其结果是：数学10人不及格，物理9人不及格，化学8

人不及格，数学、物理两科都不及格的有5人，数学、化学两科都不及格的有4人，物理、

化学两科都不及格的有4人，三科都不及格的有2人。问全部及格的有多少人？

34.两台机器加工同样的零件，第一台机器的产品次品率是0.05,第二台机器的产品

次品率是0.02。两台机器加工出来的零件放在一起，并且已知第一台机器加工的零件数量

是第二台机器加工出来的零件数量的两倍。从这些零件中任取一件，求：此零件是合格品

的概率？如果任意取出一件，经检验是次品，求：它是由第二台机器生产的概率？

35.有枪8支，其中5支经过试射校正，3支未经过试射校正。校正过的枪，击中靶的

概率是0.8；未经校正的枪，击中靶的概率是0.3。今任取一支枪射击，结果击中靶，问此

枪为校正过的概率是多少？

36.某射手射击一发子弹命中10环的概率为0.7,命中9环的概率为0.3。求：该射手

射击三发子弹而得到不小于29环成绩的概率？

37.设Au民P(A)=0.1,P(B)=0.5,试求：P(AB),P(AUB),P(AU月)及P(A|B)

38.已知P(A)=0.7,P(A-8)=0.3,求：P(Afi)

39.某举重运动员在一次试举中能打破世界纪录的概率是p,如果在比赛中他试举三

次，求：他打破世界纪录的概率？

40.工厂生产的某种产品的一级品率是40%,问需要取多少件产品，才能使其中至少

有一件一级品的概率不小于95%?

41.假设每个人的生日在任何月份内是等可能的，已知某单位中至少有一个人的生日

在一月份的概率不小于0.96,问该单位有多少人？

42.从5双不同尺码的鞋子中任取4只，问4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是

多少？

43.仪器中有三个元件，它们损坏的概率是0.1,并且损坏与否相互独立。当一个元件

损坏时，仪器发生故障的概率是0.25；当两个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.6；当

三个元件损坏时，仪器发生故障的概率是0.95；当三个元件都不损坏时，仪器不发生故障。

求：仪器发生故障的概率？

44.在套圈游戏中，甲、乙、丙每投一次套中的概率分别是0.1,0.2,0.3,已知三个人中

某一个人投圈4次而套中一次，问此投圈者是谁的可能性最大？

45.在40个同规格的零件中误混入8个次品，必须逐个查出，求：正好查完22个零

件时，挑全了8个次品的概率？

46.设事件A与6相互独立，两事件中只有A发生及只有8发生的概率都是工，求

4

P(A)与P(3)

第二章随机变量及其分布

1.一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻f每个设备被使用的概率

为0.1,问在同一时刻：(1)恰有2个设备被使用的概率？(2)至少有3个设备被使用的

概率？(3)至多有3个设备被使用的概率？

2.设有一批产品共100件，其中有95件正品，5件次品。现从中随机地抽取10件，

试以观察抽得的次品数为随机变量，写出其分布律，并求次品数X不超过3的概率？

3.设X的分布律为

X012

P0.30.60.1

求X的分布函数?

4.设随机变量X的分布函数为/(x)=A+Barctanx,(-8<x<+8)。试求：(1)

系数A,B；(2)X落在(-1,1)内的概率？(3)X的概率密度？

5.设随机变量X服从2=0.015的指数分布，试求：(DF{X>100}；

(2)若要P{X>x}<0.1,则x应在什么范围内？

6.设随机变量X的概率密度为/(©=<7仁7求X的分布函数?

0其它

x0<%<1

7.设随机变量X的概率密度为：/(x)=<2—xl<x<2求X的分布函数?

0其它

0x<0

8.设连续型随机变量X的分布函数为/（x）=《kx20<%<1

1x>l

试求：（1）系数左；（2）X的概率密度；（3）P{0.34X41.3}。

OX<O

2

X

<X<

9.设随机变量X的分布函数为夕（x）=《一-

215

X_>5

试求：（1）X的概率密度；（2）X落在（3,6）内的概率?

10.随机变量X的概率密度为/（%）=心小，（-8<x<+8）,

试求：（1）系数上；（2）P{0<X<1}；（3）X的分布函数?

11.某种电子管的使用寿命X（单位：小时）的概率密度为

100

x>100

f(x)=<­

0x<100

设某仪器内装有三个这样的电子管。试求：（1）试用的最初150小时内没有1个电子管损

坏的概率；（2）这段时间内只有1个电子管损坏的概率？

12.设随机变量X的分布律为

X-10123

P1/121/41/61/125/12

试求：（1）y=2x+i的分布律；（2）y=（x—1）2的分布律?

2x

13.设X的概率密度为/（x）=〈靛的概率密度?

0其它

14.设随机变量X在（0,1）上服从均匀分布，试求：（1）Y=e'的概率密度;

（2）y=—2InX的概率密度?

15.设随机变量X在区间-上TT，一IT上服从均匀分布。求随机变量y=cosX的概率密

22

度？

16.设随机变量X~N(O,1)。试求：(l)y=eX;(2)y=IXI的概率密度?

17.设随机变量X~N(O,1)。试求：丫=2X2+1的概率密度？

18.设电流/是一个随机变量，它均匀分布在9~11安之间。若此电流通过2欧的电阻,

试求功率卬=2/2的概率密度？

19.设随机变量X的概率密度为/(x),求Y=X3的概率密度；若随机变量X服从参

数为几的指数分布，求y=的概率密度？

20.某种商品一周内的需要量X是一个随机变量，其概率密度为

YP~XX>0

/*)=,设各周的需要量是相互独立的，求：(1)两周；(2)三周的需要量

0x<0

的概率密度？

21.设x是一个随机变量，在(-1,1)上服从均匀分布，求y=1X1的概率密度？

22.设X~N(5,4),求：(1)P{IXI>3)s(2)使P{X<c}=P{X>c}的?

注：0(0)=0.5,0(1)=0.8413,0(2)=0.9772,0(3)=0.9987,0(4)=0.9999

23.同时掷两颗骰子，观察它们出现的点数。记X为两颗骰子出现的最大点数，试求X

的分布律？

24.某批产品的次品率为1/4,现对这批产品进行测试，以X表示首次测得正品的测试

次数，求X的分布律？

25.设连续型随机变量X的概率密度为

c(x-X2)0<x<1

0其它

试求：(1)常数c；(2)F{0<X<0.5}；(3)X的分布函数？

26.电话总机在1小时内平均接到60次呼唤，试问在30秒内1次呼唤也没有接到的

概率有多大？

27.对某一目标进行射击，直到击中时为止。若每次射击的命中率为p,试求射击次

数的分布律？

28.设盒中有5个球，其中3个黑球、2个白球，从中随机抽取3个球，求：“抽得白

球个数”X的概率分布？

29.某射手每次射击打中目标的概率都是0.8,现在他连续射击30次，求：他至少打

中两次的概率？

30.某射手每次打中目标的概率都是0.8,现在他连续向一个目标射击，直到第一次击

中目标为止。求：他射击次数不超过5次就能把目标击中的概率？

31.设随机变量X的概率分布为尸{X=i}=Cx（；）,（i=l,2,3,……）

试求：（1）常数C;（2）P{-<X<4}o

2

32.已知随机变量X的分布律为P{X……）

2

试求：y=cos（成）的分布律？

33.设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为7的泊松分布，问在月初进货时应

进多少件此种商品，才能保证当月此种商品不脱销的概率为0.999?

34.设随机变量X服从参数为〃,p的二项分布，问当人为何值时能使P{X=A}最大？

35.同时投掷两颗骰子，直到至少有一颗骰子出现六点为止，试求：投掷次数X的分

布？

36.一台仪器在10000个工作小时内平均发生10次故障，试求：在100个工作小时内

故障不多于两次的概率？

37.设随机变量X的概率密度函数为

x<1

x>1

试求：(1)系数A；(2)X落在(-的概率；(3)X的分布函数。

22

38.设随机变量X的分布函数为

0x<0

7t

F(x)=<Asinx0<x<—

,兀

1x>—

2

试求：常数A及2｛凶<三｝。

6

39.设随机变量X服从正态分布N(160,b2),为使尸｛120<X4200｝20.80,问允

许。的最大值是多少？

40.设测量两地间的距离时带有随机误差X,其概率密度函数为

1

p(x)=----==e3200,(-oo<%<+oo)

40后

试求：(1)测量误差的绝对值不超过30的概率；(2)接连测量三次，每次测量相互独立进

行，求至少有一次误差不超过30的概率。

41.设随机变量X分别服从TT［-7工T，生］与［0,万］区间上的均匀分布，试求：Y=sinX的

22

概率密度函数。

42.已知随机变量X只取-1,0,1,2四个数值，其相应的概率依次是:

1352

试求:常数C

元’而'诟'标

43.设连续型随机变量X的分布函数为

0x<-a

F(x)=〈A+5arcsin—-a<x<a,(a>0)

a

1x>a

试求：(1)常数A,B；(2)随机变量X落在内的概率；(3)X的概率密度函数。

44.将三封信逐封随机地投入编号分别为1,2,3,4的四个空邮筒，设随机变量X表

示“不空邮筒中的最小号码”(例如，“X=3”表示第1,2号邮筒中未投入信，而第3号

邮筒中至少投入了一封信），试求：（1）随机变量X的分布律；（2）X的分布函数/（X）。

45.设随机变量X的概率密度函数为

2

Px(x)=----------,0<x<+oo

+x2)

试证明：随机变量丫=-!-与x服从同一分布。

x

46.轰炸机共带三颗炸弹去轰炸敌方铁路。如果炸弹落在铁路两旁40米内，就可以使

铁路交通遭到破坏，已知在一定投弹准确度下炸弹落点与铁路距离X的概率密度为

100+x

-100<x<0

10000

100-X

p(x)=<0<x<100

10000

0|x|>100

如果三颗炸弹全部投下去，问敌方铁路被破坏的概率是多少？

47.设随机变量x服从标准正态分布，y=i-2|x|,试求：丫的概率密度函数。

第三章多维随机变量及其分布

1.袋中装有四个球，分别编号为1,2,2,3,现不放回地任取两次，每次抽取一个球,

以x,y分别记第一次和第二次所取球的编号，求（X,丫）的分布律？

2.设二维连续型随机变量（x,y）的概率密度为

kxy0<x<2,0<y<1

/(x,y)=,

0其它

求：（1）常数k的值；（2）P{X+Y>2}

3.将一硬币连掷三次，以X表示三次中出现正面的次数，Y表示在三次中出现正面的

次数与出现反面的次数的差的绝对值，试求二维随机变量（X,Y）的分布律？

4.已知二维随机变量的联合概率密度为

Ae-(2x+3y)x>0,y>0

f(x,y)=<

0其它

试求：（1）常数A的值；（2）P{0<X<l,0<y<2};（3）（X,y）的分布函数？

5.设（x,y）在矩形区域0<》<1,0<》<2内服从均匀分布。求（x,y）的概率密度与

分布函数？

6.设（x,y）的概率密度为

exyX-<y<\

0其它

求：（1）常数c：（2）尸{X>丫}

7.设（X,y）在由x轴、），轴及直线2x+y=2所围成的三角形区域上服从均匀分布。

求（X,丫）关于X及关于Y的边缘概率密度？

8.设（x,y）的概率密度为

Ax0<x<1,0<y<x

/（x，y）=《，、

其它

求：（1）常数A；（2）关于X及关于y的边缘概率密度?

9.设（x,y）的联合分布律如表所示:

01

00.560.24

10.140.06

判断X与丫是否相互独立?

io.一电子器件包含两个部分，分别以x，丫记这两部分的寿命（单位:小时），设（x,y）

的分布函数为

1i-e八一O.Olx/皿+2现中）x>0,y>0

y)="

0其它

问：（1）X与y是否相互独立？（2）求P{X2120,^2120}

H.设二维随机变量（x,y）的概率密度为

6xy0<x<l,0<y<2(l-x)

f(x,y)=<

0其它

问：（i）x与y是否相互独立？（2）求尸{x+y<i}

12.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在（0,0.2）上服从均匀分布，y的概率

5产>0

密度为/y（y）=（）v，求：（1）（X,y）的联合概率密度；（2）P[Y<X}

0y<0

13.设（X,丫）在三角形区域0:x>0,y>0,x+y<l上服从均匀分布。

求2=乂+丫的概率密度?

14.对某种电子装置的输出测量5次，设观察值X,(i=1,2,3,4,5)是相互独立且服从同

一分布，其概率密度为八,(%)=<；68x>°,。=1,2,3,4,5)

0x<0

求：P{max[X,,X2,X3,X4,X5]>4}

is.设x,y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P〈X=k1=p(k),k=0,1,2,….P{y=/}=q(D，j=0,1,2,

证明随机变量Z=X+y的分布律为P{Z=i}=Yp⑴q(i-j),(i=0,1,….)

/=0

16.在一简单电路中，两电阻与和R2串联联接。设a和R2相互独立，它们的概率密

10—x10—y

在ZkwwC/\-----0<x<10rz、-----0<y<10

度分别为加(x)=|50,/，(>)=《50

.0其它10其它

求总电阻/?=鸟+R2的概率密度？

s一一［10<x<1,0<y<2(1-x)

17.设(X,Y)的概率密度为/(x,y)=/廿二

0具匕

求2=乂+Y的概率密度？

18.设随机变量X,y相互独立，X在(0,1)上服从均匀分布，Y在(0,2)上服从

均匀分布。求Z|=max(X,Y)和Z2=min(X,y)的概率密度?

19.将三个球随机地放入三个盒子内，每个球可放入任一盒子中，记x,y分别为放入

第一个、第二个盒子中球的个数，求二维随机变量(x,y)的分布律？

20.设随机变量(X,Y)的概率密度为

x?+现0<x<l,0<y<2

f(x,y)=<

0'其它

求：（DP［X+Y>I}；（2）（x,y）的分布函数；（3）（x,y）关于x及关于y的边缘概

率密度；（4）判断x与丫是否相互独立？

1Iyl<x,0<x<1

21.设（X,Y）的概率密度为/（x,y）=〈

0其它

求：（X,Y）关于x及关于y的边缘概率密度?

22.设x,y是相互独立的随机变量，分别服从参数为4，%的泊松分布，

证明：z=x+丫服从参数为4+4的泊松分布。

23.设G表示平面上的区域，它是由抛物线），=/和直线y=x所夹的区域。（X,Y）

服从G上的均匀分布，求联合概率密度与边缘概率密度，并问X与丫是否相互独立?

24.离散型随机变量（x,y）的概率分布如下表所示，试求边缘分布，并问x与丫是否

相互独立？

x\r0123456

00.2020.1740.1130.0620.0490.0230.004

100.0990.0640.0400.0310.0200.006

2000.0310.0250.0180.0130.008

30000.0010.0020.0040.011

25.设随机变量（x,y）为连续型的，其联合概率密度为

kx(x-y)0<x<2,-x<y<x

f(x,y)=<

0其他

试求：（1）常数女；（2）边缘密度函数；（3）问X与y是否相互独立?

26.设x与y是两个相互独立的随机变量，x服从［0,2］上均匀分布，y服从参数为

2的指数分布，试求py〈x}

27.设x与y是两个相互独立的随机变量，x服从附，1]上均匀分布，丫服从参数为

1的指数分布，试求z=x+y的概率密度函数。

28.设二维随机变量(x,y)的联合概率密度为

/(x,y)万2Q6+/)(25+y2)

试求：(1)常数A；(2)(X,y)的联合分布函数。

29.设随机变量X与y是相互独立，都服从标准正态分布N(0,l),试求P{yzjix}

30.设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

,,、\Cx2y30<x<l,0<y<l

f^,y)=\■.

[0其他

试求：(1)常数c；(2)证明x与丫相互独立。

31.箱子里装有4件正品和8件次品，依次从箱子中任取一件，取两次，每次取后不

放回。随机变量x与y如下定义：

v[1如果第一次取出的是次品

(0如果第一次取出的是正品

[1如果第二次取出的是次品

[0如果第二次取出的是正品

试写出随机变量(x,y)的联合分布律，边缘分布律，并问x与y是否相互独立？

32.随机地掷两颗骰子，设x表示第一颗骰子出现的点数，y表示这两颗骰子出现点

数的最大值。试写出二维随机变量(x,y)的联合分布，丫的边缘分布？

33.袋中有N个球，其中。个红球，b个白球，c个黑球(a+b+c=N)。每次从袋

中任取一球，共取〃次。设x,y分别表示取出的〃个球中红球与白球的个数，试求下列两

种情况下(x,y)的联合分布：

(1)每次取出的球仍放回去(有放回抽样)；

(2)每次取出的球不放回去(无放回抽样)。

34.已知随机变量(X/)的联合分布律为

,e-"x(7.14)"x(6.86)"i,n”ni、

P{IXY-m,Yv=n}=----------------------,Q”=0,1,2,•••),(〃=0,1」••，加)

n\{m—ri)\

试求边缘分布。

v

35.设二维随机变量(X,y)的联合概率密度函数为/(x,y),求Z=T的概率密度函

数？

36.设二维随机变量(XI)的联合概率密度函数为/(x,y),求工=乂丫的概率密度函

数？

37.设随机变量X与丫相互独立，并且概率密度函数分别为

I_!d1_N

九。)=丁6a,f(y)^—ea,(a>0)

2a2aY

试求Z=X+丫的概率密度函数？

38.随机变量X1与X?相互独立，且X1~N(从，b；),X2~N(〃2，b；),

试证明：Z=XI+X2~N(从+〃2，b：+b；)

39.设随机变量X与y相互独立，都服从［0,1］上的均匀分布，求Z=|X-H的分布？

40.设随机变量X与Y相互独立，都服从［-4,0上的均匀分布，求2=乂丫的概率密

度函数？

41.设随机变量x与y相互独立，都服从参数为1的指数分布，求z=X的概率密度

Y

函数？

42.若随机变量X只取一个值，试证明：X与任何随机变量y都相互独立。

第四章数字特征、大数定律和中心极限定理

兀

Acos2xlxl<—

1.设随机变量的概率密度为/(x)=(2

01x1〉工

I2

求：(1)常数A；(2)D(X)

x0<x<1

2.设随机变量X的概率密度为/(x)=12-xl<x<2

0其它

求。(X)及b(x)

3.设X,Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

(2x0cx<1[e~yy>0

Aw=|o其它‘於)=|。其它

求：D(X+Y)

4.已知随机变量X的数学期望与方差分别为E(X)和Z)(X),(O(X)>0),令

y=X；E(X),求E⑺,£>(y)

Jo(x)

5.已知后。)=1,矶乂2)=3,£(丫)=0,凤丫2)=2,成乂丫)=1,求D(X+Y)

6.证明：。(乂)=0的充要条件是「｛*=。｝=1,。为常数。

7.设(x,y)在圆域，+/<i内服从均匀分布，求cov(x,y),并判断x,y是否相

互独立？

8.设二维随机变量(x,y)的分布律为

X-101

£]_2

-1

888

]_2

0

088

!2]_

1

888

验证：x和y不相关，但x和y不是相互独立的

9.设二维随机变量(x,y)的概率密度为

[1Iyl<x,0<x<1

"x,y)=1o其它

求cov(x,y),并判断x,y是否相互独立？

10.设二维随机变量(X,丫)在平面区域G:x<0,y<0,x+y>-l上服从均匀分布，

求COV(X,Y),Pxy

11.设X,(i=l,2,…,10)相互独立，且在(0,1)上服从均匀分布，试利用中心极限

10

定理计算尸{工X,〉6)的近似值？

i=l

(注：0(1)=0.8413,0(1.1)=0.8630,0(1.3)=0.9032,0(1.5)=0.9332)

12.把三个球随机地放入三个盒子中去，每个球可投入任一盒子中，记X为空盒子的

个数,求E(X),£)(X)

13.设随机变量X的分布律为P{X=k}=pqJ,伏=1,2,…)，其中

0<p<l,q=l—p是常数，则称X服从参数为p的几何分布，求E(X),O(X)

14.一本书500页中有100个印刷错误，设每页错误个数服从泊松分布：（1）随机地

取一页，求这一页上错误不少于2个的概率？（2）随机地取4页，求这4页上错误不少于

5个的概率？（3）随机地取8页，求这8页上错误不少于5个的概率？

15.共有〃把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开上的锁。用它们去试开门

上的锁，设抽取钥匙是相互独立且等可能的，若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两

种方法求试开次数X的数学期望：（1）写出X的分布律；（2）不写出X的分布律。

16.设二维随机变量（x,y）的概率密度为

6xy0<x<l,0<y<2(1-x)

f(x,y)=<

0其它

求：E(X),D(Y),E(XY)

17.设二维随机变量（x,y）的分布律为

X0123

33

100

88

]_

300

88

求COV(X,Y),0xy

18.设（X,Y）的概率密度为/（x,0<x<2,0<y<2

.0其它

求Pxy

19.对于随机变量X,y,Z,已知E（X）=E（y）=l,E（Z）=—l,

D（X）=D（y）="Z）=1,々y=0,Pxz=；，Prz=—g，

求：E（X+y+z）,o（x+y+z）

20.某校报名选修心理学课的学生人数是服从均值为100的泊松分布的随机变量。教

务部门决定，如报名人数不少于120人，就分成两个班讲授；如果少于120人，就集中在

一个班讲授。试问此课程将分两个班讲授的概率是多少？

(注：①⑴=0.8413,①(2)=0.9772,0(2.5)=0.9938,0(3)=0.9987)

21.对圆的直径作近似测量，设其值均匀地分布在口,切内，求圆面积的数学期望？

7t

COSXUX

22.设随机变量X的概率密度为fx(x)=\--y,试求随机变量y=X2

0其它

的方差？

23.一批零件中有9个合格品3个次品，在安装机器时从这批零件中任取一个。如果每

次取出的次品就不再放回去，求在取得合格品前，已经取出的次品个数的期望及方差？

24.由统计物理学知道，气体分子运动的速率X服从麦克斯威尔分布，其概率密度函数

4x2.4

为小)=私/X〉。

0x<0

这里，是参数。试求分子运动速率X的期望及方差？

25.自动生产线在调整之后出现次品的概率为p,生产中若出现次品时立即进行调整，

求两次调整之间生产的合格品数的数学期望及方差？

26.已知连续型随机变量X的概率密度函数为

4兀

试求X的数学期望及方差？

27.设X为随机变量，C为常数且CHE(X),试证明：D(X)<£(X-C)2

28.设某校车上有50名职工，自校门开出，有10个停车点，如果某停车点没人下车，

则不停车。设每位职工在每个停车点下车是等可能的，X表示停车次数，试求X的数学期

望？

29.设随机变量X与丫相互独立，且X~N(0,cr2),y~N(0,b2),求：

£(Vx2+r2),D^X2+Y2)o

30.设随机变量X”X2,…，XI。。相互独立，且都服从参数为1的泊松分布，试利用中心

100

极限定理计算P{EX,<120}

/=|

31.船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角度大于6。的概率为〃=^,

若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有29500~30500次纵摇角度大于6°的概率是多少？

32.袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为0.01依，一大盒内装

200袋，求一大盒茶叶净重大于20.5总的概率？

33.电冰箱的寿命服从指数分布，每台电冰箱平均寿命是10年。现工厂生产了1000台

电冰箱，问10年之内，这些电冰箱出现故障的台数小于600台的概率？

34.设随机变量X的概率密度函数为

“、［ax2+bx+c0cx<1