行列式按行列展开

行列式按行列展开n阶行列式的计算主要方法：

1【定义法】—

利用n阶行列式的定义计算;

2【三角形法】—利用性质1-5化为三角形计算；

3【展开法】—利用行列式按行（列）展开性质

6，对行列式进行降阶计算；

4【综合法】—利用性质1-5先使D的某行(列)有尽可能多的零,再用性质6对行列式进行降阶计算.5【递推公式法】；

6【归纳法】。

本节主要介绍展开法—利用行列式按行(列)展开性质6，对行列式进行降阶计算；第2页,共25页，2024年2月25日，星期天一、简介一般说来，要解出行列式的值,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便.

通常的方法是：把一个行列式转化为一些阶数比较低的行列式来计算.

那么，如何将高阶的行列式转化为低阶的呢？

第3页,共25页，2024年2月25日，星期天二、余子式与代数余子式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作1、【余子式】例如的元素a23余子式与代数余子式余子式为

:

第4页,共25页，2024年2月25日，星期天叫做元素的代数余子式．2、【代数余子式】在余子式前面加上相应的符号，即构成代数余子式。例如的元素a23代数余子式【代数余子式】第5页,共25页，2024年2月25日，星期天第6页,共25页，2024年2月25日，星期天三、按一行（列）展开行列式特例1：某行中只有一个元不为零。故展开后较简单。

【引理】一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即：

第7页,共25页，2024年2月25日，星期天证明见P16

先证明的情形，此时：

此行列式值为：又：从而：

第8页,共25页，2024年2月25日，星期天2、【特例2】：行列式D中第i行除元外，该行其他元全为零。即：这时，将行列式第i行调换到的一行，要换（i-1）次换到的第一行，则有：想把该行列式变换为，第一行中第一元素为，该行其他元全为零的情形：办法如下：第9页,共25页，2024年2月25日，星期天

第一步：把D的第i行依次与第i-1行，第i-2行、…..、第1行对调，这样数就调成元，调换的次数为i-1；得

第10页,共25页，2024年2月25日，星期天第二步：把第j列依次与第j-1列，j-2列，…，第1列对调,这样数就调成（1,1）元，对调次数为j-1总之，经i+j-2次调换，把数调成（1,1）元。所得的行列式为：第11页,共25页，2024年2月25日，星期天第12页,共25页，2024年2月25日，星期天中的余子式第13页,共25页，2024年2月25日，星期天

故得利用前面的结果有第14页,共25页，2024年2月25日，星期天3．推广到一般情形：定理3.

行列式按行(列)展开法则(定理)n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：【注意】：在具体计算行列式的值时，到底按哪一行(列)来展开,看实际情况确定,哪行简单(零元素较多),就按哪行展开.第15页,共25页，2024年2月25日，星期天证明：

则可以得到:

类似地,若按列来证明有:第16页,共25页，2024年2月25日，星期天第17页,共25页，2024年2月25日，星期天

例题分析解：把第3行其余元素变为0，然后按第3行展开：

第18页,共25页，2024年2月25日，星期天例12证明范德蒙德（Vandermonde）行列式其中记号是连乘号,表示全体同类因子的乘积。第19页,共25页，2024年2月25日，星期天第20页,共25页，2024年2月25日，星期天定理3推论.

n阶行列式的任一行的各元与另一行对应元的代表余子式乘积之和为零，即：同理

n阶行列式的任一列的各元与另一列对应元的代表余子式乘积之和为零，即：第21页,共25页，2024年2月25日，星期天

行列式展开定理

行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和

即

推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零

即

综合结论

总结第22页,共25页，2024年2月25日，星期天D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43

其中a13=3

a23=1

a33=-1

a43=0

例题分析例1

计算行列式

将D按第三列展开

解

所以=-24

D=3

19+1

(-63)+(-1)

18+0

(-10)应有第23页,共25页，2024年2月25日，星期天例2计算行列式常用方法：先化零，再展开.解第