八年级数学下册16.1二次根式的概念及性质(解析版)

16.1二次根式的概念及性质二次根式及代数式的概念

1.二次根式：一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

注意：

二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x3，a(a≥0)这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.题型1二次根式及代数式的概念1．（2022八下·凉山期末）在式子x2x>0，2，y+1y=-2，-2xx>0，3A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】【解答】解：二次根式有：x2x>0，2，x2+1共3个，

故答案为：B.【变式1-1】下列各式中，是二次根式有（）①；②；③；④（x≤3）；⑤；⑥；⑦（ab≥0）．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据二次根式的概念及二次根式成立的条件进行判断．【解答】解：②，被开方数小于0，不是二次根式；③是三次根式；⑤当a＜9时，被开方数小于0，不是二次根式；⑥，∵x2≥0，∴﹣x2≤0，∴﹣x2﹣1＜0，被开方数小于0，不是二次根式；①；④（x≤3）；⑦（ab≥0）是二次根式．故选：B．【变式1-2】下列式子中，一定属于二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的定义判断即可．【解答】解：A选项，被开方数不是非负数，没有意义，故该选项不符合题意；B选项，被开方数不能保证x﹣2是非负数，故该选项不符合题意；C选项，是三次根式，故该选项不符合题意；D选项，是二次根式，故该选项符合题意；故选：D．【新题速递】（2022八下·拱墅月考）下列各式中，一定是二次根式的是（）A．a+1 B．a-1 C．a2-1 【答案】D【解析】【解答】解：A、当a<-1时，a+1不是二次根式；B、当a<1时，a-1不是二次根式；C、当-1<a<1时，a2D、a2故答案为：D.【分析】形如“a(a≥0）”的式子就是二次根式，据此一一判断得出答案.二次根式的性质

1.≥0，（≥0）；

2.（≥0）；

3..

注意：二次根式具有非负性

1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.2.与要注意区别与联系：1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值。2).≥0时，==；<0时，无意义，=.题型2：二次根式有意义的条件2.求下列式子有意义的x的取值范围（1）14-3x（2）3-xx+2（3）x-3x-2（4）-x【答案】解：（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，被开方数4﹣3x≥0，分母4﹣3x≠0，解得x＜43所以x的取值范围是x＜43（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，被开方数3﹣x≥0，解得x≤3；分母x+2≠0，解得x≠﹣2．所以x的取值范围是x≤3且x≠﹣2．（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，被开方数x﹣3≥0，解得x≥3；分母x﹣2≠0，解得x≠2．因为大于或等于3的数中不包含2这个数，所以x的取值范围是x≥3．（4）根据题意得：﹣x2≥0，∵x2≥0，∴x2=0，解得x=0．∴x的取值范围是x=0；（5）根据题意得：2x2+1≥0，∵x2≥0，∴2x2+1＞0，故x的取值范围是任意实数；（6）根据题意得：2x﹣3≥0，解得x≥322x﹣3≤0，解得x≤32综上，可知x=32∴x的取值范围是x=32【解析】【分析】（1）（2）（3）根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0可知；（4）（5）（6）根据二次根式的意义，被开方数是非负数可知．【变式2-1】当x为何值时，x-22x+1【答案】解：要使有意义需x-22x+1则x-2⩾02x+1>0或x-2⩽0解之得：x⩾2或x<-1即当x⩾2或x<-12时，【解析】【分析】利用二次根式有意义，则被开方数是非负数，由此建立关于x的不等式，再分情况讨论，可得x的取值范围.【变式2-2】若式子2x-3+【答案】解：由题意得，2x﹣3≥0，4﹣x≥0，解得，32【解析】【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．【变式2-3】（1）已知是整数，求自然数n所有可能的值；（2）已知是整数，求正整数n的最小值．【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；（2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．【解答】解：（1）∵是整数，∴18﹣n＝0，18﹣n＝1，18﹣n＝4，18﹣n＝9，18﹣n＝16，解得：n＝18，n＝17，n＝14，n＝9，n＝2，则自然数n的值为2，9，14，17，18；（2）∵是整数，n为正整数，∴24n＝144，即n＝6，则正整数n的最小值为6．题型3利用二次根式的性质进行计算3.计算下列各式：(1)(2)【答案与解析】(1).(2).【总结】二次根式性质的运用.【变式3-1】（1）=_____________.（2）=_____________.【答案】(1)10;(2)0.【变式3-2】若整数满足条件则的值是___________.【答案】=0或=-1.题型4：二次根式有意义的条件的应用4.若x，y都是实数，且y＝++8，求3x+2y的平方根．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，再利用平方根的定义得出答案．【解答】解：∵x﹣3≥0且3﹣x≥0，∴x＝3．∴y＝8．∴3x+2y＝3×3+2×8＝25．∴3x+2y的平方根是：±＝±5．即3x+2y的平方根为5或﹣5．【变式4-1】如果a-5+│b-2│=0，求以a、b为边长的等腰三角形的周长【答案】解：由原式得a=5，b=2，以a、b为边构成的等腰三角形边长为5、5、2，故其周长为12【解析】【分析】根据算数平方根的非负性及绝对值的非负性及几个非负数的和为零，则这几个数都为零，从而得出a,b的值，然后根据三角形三边之间的关系及等腰三角形的性质，分类讨论，得出答案。【变式4-2】已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足a=6+3b-9【答案】解：由题意得，3b-9≥03-b≥0解得，b=3，∴a=6，∵3+3=6，∴3、3、6不能组成三角形，∴等腰三角形的三边是：6，6，3，∴此三角形的周长为6+6+3=15.【解析】【分析】根据题意求出a、b的值，根据三角形的三边关系确定三角形的边长，求出此三角形的周长.题型5：二次根式非负性的应用5：当﹣4＜x＜1时，化简x2+8x+16﹣2x【答案】解：原式=(x+4)2﹣2(x-1)∵﹣4＜x＜1，∴x+4＞0，x﹣1＜0，∴原式=x+4+2x﹣2=3x+2【解析】【分析】利用条件即可将原式化简；【变式5-1】若a、b、c分别是三角形的三边长，化简：(a+b-c)2+(b-c-a)2+【答案】解：∵a、b、c分别是三角形的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，∴(a+b-c)2+(b-c-a)2=a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）+b+c﹣a=a+b﹣c﹣b+c+a+b+c﹣a=a+b+c【解析】【分析】首先利用三角形三边关系得出a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，进而化简求出答案．【变式5-2】若a+1+b2-2b+1=0【答案】解：∵a+1+∴a+1+|b-1|=0∴a+1=0,b-1=0，解得：a=-1,b=1，∴a2013【解析】【分析】根据二次根式的性质及非负性求出a、b的值，然后代入计算即可.题型6：利用二次根式性质化简6：实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（）A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b【分析】根据数轴可判断a、a﹣b与0的大小关系，然后利用绝对值的性质以及二次根式的性质即可化简求出答案．【解答】解：由数轴可知：a＞0，b＜a，∴a﹣b＞0，∴原式＝a+a﹣b＝2a﹣b，故选：A．【变式6-1】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|．【解析】解：由图可知，a＜0，c＜0，b＞0，且|c|＜|b|，所以，a+c＜0，c﹣b＜0，=﹣a+a+c+b﹣c﹣b=0.【总结】根据数轴判断出a、b、c的正负性，根据二次根式的性质与化简、绝对值的性质，正确进行计算即可.【变式6-2】已知a,b,c为实数，且c=，求代数式c2+ab的值．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a,b,c的值，进而代入得出答案．【解答】解：∵c=∴a-2=0，b-1=0，c=2-∴a=2，b=1，

∴c2+ab=（2-）2+2×1

=4+3-4+2

=9-4【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出a,b的值是解题关键．一、单选题1．（2022八下·营口期末）二次根式x+3有意义的条件是（）A．x>3 B．x>-3 C．x≥3 D．x≥-3【答案】D【解析】【解答】根据被开方数大于等于0得，x+3有意义的条件是x+3≥0解得：x≥-3故答案为：D【分析】根据题意求出x+3≥0，再求解即可。2．（2021·临海模拟）若二次根式x-5有意义，则x的取值范围是（）A．x＜5 B．x＞5 C．x≤5 D．x≥5【答案】D【解析】【解答】解：由题意x-5≥0，解得x≥5，故答案为：D.【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，依此列出不等式求解即可.3．（2021七下·普洱期中）若2x-6在实数范围内是二次根式，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≠3【答案】A【解析】【解答】解：由题意可知：2x-6≥0，∴x≥3，故答案为：A．

【分析】根据二次根式由意义的条件即可求出x的范围。4．（2022·昭平模拟）下列等式正确的是（）A．(-1)2=-1 B．22×23【答案】D【解析】【解答】解：A、(-1)2B、22C、20D、(-1)2故答案为：D.【分析】根据二次根式的性质“a25．（2021·硚口模拟）式子x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≥﹣3 C．x≥3 D．x≤﹣3【答案】B【解析】【解答】∵式子x+3在实数范围内有意义，∴x+3≥0∴x≥-3故答案为：B.【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，由此建立关于x的不等式，求出不等式的解集.6．（2021·竞秀模拟）以下关于8的说法，错误的是（）A．8是无理数 B．8＝±22C．2＜8＜3 D．能够在数轴上找到表示8的点【答案】B【解析】【解答】A、8=2B、因为8=C、因为4<8<D、因为有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的．故D不符合题意．

【分析】根据无理数的定义、二次根式的性质和估算无理数的大小逐项判定即可。二、填空题7．（2022八上·奉贤期中）若（(2x-1)2=1-2x【答案】x≤【解析】【解答】解：由题意得：1-2x≥0，

解得：x≤12.

故答案为：x≤18．（2021·南京模拟）计算：|-3|=；(-3)2=【答案】3；3【解析】【解答】解：|-3|=-故答案为：3，3.【分析】利用绝对值的性质“一个负数的绝对值等于它的相反数”及二次根式的性质a29．（2021九下·南宁开学考）若二次根式x+2有意义，则x的取值范围是.【答案】x≥-2【解析】【解答】解：∵二次根式x+2有意义，∴x+2≥0，∴x≥-2，故答案为：x≥-2.【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数可得x+2≥0，求解即可.10．（2021八下·东丽期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则(3-a)2﹣(【答案】2a-14【解析】【解答】解：∵5＜a＜10，∴原式=|3-a|-|a-11|=-（3-a）+（a-11）=-3+a+a-11=2a-14故答案为：2a-14．【分析】先利用二次根式的性质化简，再结合数轴利用特殊值法判断绝对值的正负，再去掉绝对值，最后合并同类项即可。11．（2021八下·温州期中）化简：(3+1【答案】3【解析】【解答】解：(3故答案为：3+1【分析】根据二次根式的性质可得(3三、计算题12．（）计算：①72②(1③2.12④(-7)2⑤(-1⑥(-2.1)2【答案】解：①72②(13③2.12④(-7)2⑤(-13⑥(-2.1)2【解析】【分析】根据算术平方根的定义分别解答即可.13．（2022八下·黄州期中）计算下列各题：（1）12（2）(【答案】（1）解：12＝2＝23（2）解：(＝(＝18－12＝6．【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质“ab=aba≥0，b≥0、a2=a”可求解；

（2）根据二次根式的性质“a四、解答题14．已知y=4-x2【答案】解：由题意可知：4-x2≥0∴x=±2，当x=2时，y无意义，∴x=-2时，y=-1，∴xy2∴1的n次方为1，故答案为1.【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得4-x2≥0、x2-4≥0、x-2≠0，解得x=-2，则y=-1，xy215．（2022七上·上城期中）已知