八年级数学下册18.2.2菱形的性质与判定十二大题型（解析版）

18.2.2菱形的性质与判定菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.注意：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.题型1：菱形的定义1.（2022九上·双柏期中）下列关于菱形的说法中正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．菱形的对角线互相垂直且平分C．菱形的对角线相等且互相平分D．对角线互相平分的四边形是菱形【答案】B【解析】【解答】解：A.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故A不符合题意；B、C.菱形的对角线互相垂直且平分，故B符合题意，C不符合题意；D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D不符合题意．故答案为：B．

【分析】根据菱形的判定和性质逐项判断即可。【变式1-1】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是（）A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD，即可得出结论．【解答】解：要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选：C．【变式1-2】下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（）A．一组邻边相等的平行四边形 B．一条对角线平分一组对角的四边形 C．四条边都相等的四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形【分析】根据菱形的判定和平行四边形的性质对各选项分析判断，即可求解．【解答】解：A、∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴选项A不符合题意；B、∵一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，∴选项B符合题意；C、∵四边相等的四边形是菱形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项D不符合题意；故选：B．菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.注意：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.题型2：菱形的性质求长度2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（）A． B．8 C． D．16【分析】如图，设AC，BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，求得AD＝2OD＝8，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，设AC，BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，∴AD＝2OD＝8，∴AO＝＝＝4，∴AC＝2AO＝8，故选：C．【变式2-1】（2022九上·长泰期中）如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，点F是AC的中点，连接EF，如果EF=4，那么菱形ABCD的周长为（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】D【解析】【解答】解：∵E为AB中点，F为AC中点，∴线段EF为△ABC的中位线，∴BC=2EF=2×4=8.∵四边形ABCD为菱形，∴该菱形的周长=4×8=32.故答案为：D.【分析】由题意可得线段EF为△ABC的中位线，则BC=2EF=8，然后根据菱形的性质不难求出菱形的周长.【变式2-2】（2022九上·南海期中）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的周长是（）A．163 B．16 C．83【答案】B【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∵AC＝4，∴AB=AC=BC=CD=AD=4，∴菱形的周长为：AB+BC+CD+AD=16，故答案为：B．

【分析】先证明△ABC为等边三角形，再结合AC＝4，可得AB=AC=BC=CD=AD=4，最后利用菱形的周长公式计算即可。【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标为．【分析】过点B作BD⊥OA于D，由菱形的性质和直角三角形的性质可求AD，BD，即可求解．【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，∵四边形OABC是菱形，点O（0，0），A（4，0），∴OA＝AB＝4，AB∥OC，∴∠BAD＝∠AOC＝60°，∵BD⊥OA，∴∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝2，BD＝AD＝2，∴DO＝6，∴点D坐标为（6，），故答案为：（6，）．题型3：菱形的性质求角度3.已知菱形ABCD中，∠D＝150°，连接AC，则∠BAC等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】由菱形的性质可得∠DAB＝30°，∠BAC＝∠DAC，即可求解．【解答】解：∵菱形ABCD中，∠D＝150°，∴∠DAB＝30°，∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝15°，故选：B．【变式3-1】如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数．【分析】根据菱形的四条边都相等可得AB＝AD，从而求出AB＝AE，设∠BAE＝x，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补列出方程求解即可．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝AD，∵AE＝AD，∴AB＝AE，设∠BAE＝x，则∠EAD＝2x，∠ABE＝（180°﹣x），∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABE＝180°，∴x+2x+（180°﹣x）＝180°，解得x＝36°，即∠BAE＝36°．【变式3-2】如图，在正五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为（）A．30° B．32° C．36° D．40°【分析】由正五边形ABCDE，可求得∠BAE和∠ABC的度数，由菱形ABCF可得，∠ABC和∠BAF互补，继而求得∠BAF的度数，从而求出∠FAE的度数．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠ABC＝108°，∵四边形ABCF是菱形，∴AF∥BC，∴∠ABC+∠BAF＝180°，∴∠BAF＝180°﹣108°＝72°，∴∠FAE＝∠BAE﹣∠BAF＝108°﹣72°＝36°．故选：C．【变式3-3】（2022九上·郓城期中）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC的垂直平分线EF分别交BC，AC于点E，F，连接DF，若∠BCD=70°，则∠ADF的度数是（）A．60° B．75 C．80° D．110°【答案】B【解析】【解答】解：连接BF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠DCF=∠BCF=12∴BF=DF，∵EF是BC的垂直平分线，∴BF=CF，∴DF=CF，∴∠CDF=∠DCF=35°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠ADC=180°-70°=110°，∴∠ADF=110°-35°=75°，故答案为：B．

【分析】先求出∠CDF=∠DCF=35°，再结合∠ADC+∠BCD=180°，求出∠ADF=110°-35°=75°即可。题型4：菱形的性质与等面积法4.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（）A． B． C．4 D．8【分析】由四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，可求得此菱形的面积与AB的长，继而求得答案．【解答】解：设AC与BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，∴AB＝＝5，S菱形ABCD＝AC•BD＝24，∵DH⊥AB，∴DH＝＝．故选：A．【变式4-1】（2022九上·交城期末）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，DH⊥AB于H，连接OH，AC=16，AB=10，则OH=（）．A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6【答案】D【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥DB，BD=2BO，AO=12在Rt△AOB中，BO=A∴BD=2BO=12∵DH⊥AB，O为BD的中点∴OH=12故答案为：D

【分析】先求出BO的长，利用菱形的性质可得BD=2BO=12，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得OH=12【变式4-2】已知：如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合菱形的性质得出△ABD是等边三角形，直接利用菱形的性质结合勾股定理得出AC的长，利用菱形面积求法得出答案．【解答】解：∵DE⊥AB于E，且E为AB的中点，∴AD＝BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BA，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB＝60°；∵BD＝4，∴DO＝2，AD＝4，∴AO＝＝2，∴AC＝4；∴AB＝＝＝4，∴菱形ABCD的周长为4×4＝16；菱形ABCD的面积为：BD•AC＝×4×4＝8．题型5：菱形的性质简单综合5.（2023九上·通川期末）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE=CD，延长BC到点F，使CF=BC，顺次连接点B，E，F，D，若BD=1，AC=3.（1）求证：四边形BEFD是矩形；（2）求四边形BEFD的周长为多少.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=OD，∵CE=CD，CF=BC，∴四边形BEFD是平行四边形，∵OB=OD，CE=CD，∴OC是△BDE的中位线，∴OC∥BE，∴BE⊥BD，∴∠DBE=90°，∴平行四边形BEFD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC=OA=1由（1）可知，OC是△BDE的中位线，AC=3∴BE=2OC=AC=3∵四边形BEFD是矩形，BD=1，∴EF=BD=1，BE=DF=3∴四边形BEFD的周长=2(BD+BE)=2+23【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AC⊥BD，OB=OD，由已知条件可知CE=CD，CF=BC，推出四边形BEFD为平行四边形，得到OB=OD，CE=CD，进而推出OC为△BDE的中位线，得到OC∥BE，则∠DBE=90°，据此证明；

（2）根据菱形的性质可得OC=OA=12【变式5-1】（2023九上·渠县期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE//AC，AE//BD.（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）已知AB=4，DE=2，求四边形AODE的面积.【答案】（1）证明：∵DE//AC，AE//BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵四边形AODE是矩形，∴OA=DE=2，∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，∴OB=A∴OD=23∴四边形AODE的面积=OD×OA=23【解析】【分析】（1）利用有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AODE是平行四边形；利用垂直的定义可证得∠AOD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.

（2）利用矩形的性质可求出OA的长，利用菱形的性质及勾股定理可求出OB的长，然后利用矩形的面积公式求出矩形AODE的面积.【变式5-2】（2022九上·沈北期中）在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若BD＝25，BE＝4，求BC的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∵AF＝CE，∴AB-AF＝CD-CE，即：BF＝DE，∴四边形BFDE为平行四边形，又∵BE⊥CD，∴∠BED=90°，∴四边形BFDE为矩形.（2）解：在Rt△BDE中：DE=B设BC的长为x，则CE=x-2，由勾股定理得：B即：x2解得：x=5，∴BC=5．【解析】【分析】（1）先证明四边形BFDE为平行四边形，再结合∠BED=90°，可得四边形BFDE为矩形；

（2）设BC的长为x，则CE=x-2，利用勾股定理可得x2菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.注意：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.题型6：菱形的判定（条件选择）6.（2022九上·黄冈开学考）AC，BD是▱ABCD的两条对角线，如果添加一个条件，使▱ABCD为矩形，那么这个条件可以是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【答案】B【解析】【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故此选项不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故此选项正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故此选项不正确；D、无法判断，故此选项不正确．故答案为：B.【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形及对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判断A、C；根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断B.【变式6-1】（2022九上·高州月考）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出③ D．由①推出③，由③推出②【答案】A【解析】【解答】解：正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形；菱形的对角线互相垂直，而对角线互相垂直的四边形不一定是菱形；正方形拥有菱形的一切性质，故②可以推出③和①，③可以推出①，而①推不出②和③，③推不出②；故答案为：A．【分析】根据正方形的判定方法求解即可。【变式6-2】（2022八下·环翠期末）在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（）A．另一组对边相等，对角线相等B．另一组对边相等，对角线互相垂直C．另一组对边平行，对角线相等D．另一组对边平行，对角线相互垂直【答案】D【解析】【解答】解：A．一组对边平行，另一组对边相等，对角线相等的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；B．一组对边平行，另一组对边相等，对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，则此项不符题意；C．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相等的四边形可以是矩形，不一定是菱形，则此项不符题意；D．一组对边平行，另一组对边平行，对角线相互垂直的四边形是菱形，则此项符合题意；故答案为：D．【分析】根据菱形的判定方法逐项判断即可。题型7：菱形的判定（四边相等）7.如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AB＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．【分析】（1）根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠FAD＝∠B，进而得到AD∥BC，再利用∠D＝∠ACD，证明AC＝AD，再由AB＝AC可得AB＝AD；（2）首先证明△ABC和△ADC是等边三角形，进而得到AD＝CB＝AB＝CD，可判定四边形ABCD是菱形．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD＝∠FAC，∵∠B+∠ACB＝∠FAC，∴∠FAD＝∠B，∴AD∥CB，∴∠D＝∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD＝∠DCE，∴∠D＝∠ACD，∴AC＝AD，∵AB＝AC，∴AB＝AD；（2）解：∵∠B＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝60°，∵AD∥CB，∴∠DAC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AC，∴△ADC是等边三角形，∴AD＝DC＝AC，∴AD＝CB＝AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形．【变式7-1】（2022九上·青岛期中）如图，矩形ABCD≌矩形AECF，AF与BC相交于G，EC与AD相交于H．请判断并证明四边形AGCH的形状．【答案】解：四边形为菱形，证明如下：∵矩形ABCD≌矩形AECF，∴∠BAH=∠GAE=90°，∴∠BAH-∠GAH=∠GAE-∠GAH，∴∠BAG=∠EAH，在△BAG和△EAH中，∠B=∠E=90°AB=AE∴∠BAG≌△EAH(同理可得△DCH≌△FCG(在△AGB和△CGF中，∠ABG=∠CFG∠AGB=∠CGF∴△AGB≌△CGF(AAS)，∴△ABG≌△AEH≌△CDH≌△CFG，∴AH=CH=CG=AG，∴四边形AGCH是菱形．【解析】【分析】利用三角形判定方法可得△ABG≌△AEH≌△CDH≌△CFG，再利用全等三角形的性质可得AH=CH=CG=AG，即可得到四边形AGCH是菱形。【变式7-2】已知：如图，P是线段AB上的一点，分别以线段AP，PB为一边在AB的同侧作等边三角形APE和等边三角形PBF，连接EF，点G，M，N，H分别是四边形ABFE的边AB，BF，FE，EA的中点，连接HG，GM，MN和NH．求证：四边形GMNH为菱形．【分析】欲证明四边形GMNH为菱形，只要证明HN＝HG＝GM＝MN，由题意HN＝GM＝，HG＝MN＝，所以只要证明AF＝EB，利用△APF≌△EPB即可证明．【解答】证明：∵△APE和△PBF都是等边三角形，∴AP＝PE，PF＝PB，∠APE＝∠FPB＝60°，∴∠APF＝∠EPB，在△APF和△EPB中，，∴△APF≌△EPB，∴AF＝EB，∵EH＝HA，EN＝NF，∴HN＝，同理GM＝，HG＝MN＝，∴HN＝HG＝GM＝MN，∴四边形MNHG是菱形．题型8：菱形的判定（平行四边形+邻边相等）8.（2022八下·合阳期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．【分析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；【解答】证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵AC＝BC，∴DE＝DF，∴四边形DFCE是菱形；【变式8-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．【分析】根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形．【解答】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形．【变式8-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．求证：四边形BDCE是菱形．【分析】根据CE∥BD，BE∥AC，求得四边形BDCE是平行四边形，根据直角三角形的性质得到BD＝AD＝DC＝AC，由菱形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：∵CE∥BD，BE∥AC，∴四边形BDCE是平行四边形，∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，∴BD＝AD＝DC＝AC，∴四边形DBEC是菱形．题型9：菱形的判定（平行四边形+对角线互相垂直）9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于点G，EF⊥BC于点F，求证：四边形DFGE是菱形．【分析】由已知条件得出DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，由平行线分线段成比例定理得出OG＝OD，OE＝OF，证出四边形DFGE是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出结论．【解答】证明：如图所示：∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∵DG⊥AC，EF⊥BC，∴DG∥BC，EF∥AC，DG⊥EF，∵AE＝ED＝DB，∴OG＝OD，OE＝OF，∴四边形DFGE是平行四边形，又∵DG⊥EF，∴四边形DFGE是菱形．【变式9-1】（2022九上·西安月考）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE，CF.求证：四边形AECF是菱形.【答案】证明：在△ABC中，点D是AC的中点，∴AD＝DC，∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，∴△AFD≌△CED（AAS），∴AF＝EC，又∵AF∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵DE⊥AC，∴EF⊥AC∴平行四边形AECF是菱形.【解析】【分析】根据中点的概念可得AD＝DC，由平行线的性质可得∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，利用AAS证明△AFD≌△CED，得到AF＝EC，由已知条件可知AF∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，然后利用菱形的判定定理进行证明.【变式9-2】如图，在三角形纸片ABC中，AD是△ABC的角平分线，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，折痕与AB相交于E，与AC相交于F，求证：四边形AEDF是菱形．【分析】由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°证△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF．【解答】证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO＝FO，又∵A点与D点重合，∴AO＝DO，∴EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形∵点A与点D关于直线EF对称，∵EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．题型10：菱形的判定与性质-最值问题10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在BD上，点E为CD中点，且PC+PE＝1，则边AB的最大值等于（）A．1 B． C． D．【分析】首先连接AP，AE，AC由已知条件可以得出PE+PC＝PE+PA＝1≥AE（当P是AE与DB的交点时取等号），再利用等边三角形的性质得出AE＝AD＝AB，进而求出AB长的最大值．【解答】解：连接AP，AE，AC根据四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AP＝CP，∴PE+PC＝PE+PA＝1≥AE，∵∠ABC＝60°，∴∠ADE＝60°，AD＝CD，∴△ADC是等边三角形，∵DE＝CE，∴∠AED＝90°，∠DAE＝30°，设DE＝x，则AD＝2x，由勾股定理得：AE＝＝x∴AE＝AD＝AB≤1，所以AB≤，即AB长的最大值是，故选：B．【变式10-1】菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边AB、BC的中点，点P是对角线AC上的一个动A点，则PM+PN的最小值是．【分析】要求PM+PN的最小值，PM，PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN，PM的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：如图：作ME⊥AC交AD于E，连接EN，则EN就是PM+PN的最小值，∵M、N分别是AB、BC的中点，∴BN＝BM＝AM，∵ME⊥AC交AD于E，∴AE＝AM，∴AE＝BN，AE∥BN，∴四边形ABNE是平行四边形，∴ENAB，而由已知可得AB＝＝5，∴PM+PN的最小值为5，故答案为5．【变式10-2】（2020八下·侯马期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝23，求PB+PE的最小值是多少？【答案】解：如图，连接PD，BD，∵四边形ABCD是菱形，∴对角线AC与BD互相垂直平分，∴AC是BD的垂直平分线，∴PD=PB，∴PB+PE=PD+PE，由两点之间线段最短可知，当点D，P，E在同一直线上时，PD+PE取得最小值，最小值等于线段DE的长，即PB+PE的最小值为线段DE的长，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=23∴∠BAD=60°,AD=AB=23∴△ABD是等边三角形，又∵点E是AB的中点，∴DE⊥AB,AE=1∴在Rt△ADE中，DE=A故PB+PE的最小值是3．【解析】【分析】如图，连接PD，BD，根据菱形的性质及线段垂直平分线的性质得出PD=PB，从而得出PB+PE=PD+PE，由两点之间线段最短可知，当点D，P，E在同一直线上时，PD+PE取得最小值，最小值等于线段DE的长，根据菱形的性质、等边三角形的性质及勾股定理求出DE的长即可.题型11：菱形的判定与性质-多结论问题11.（2022八下·宾阳期中）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①∠DNO=∠BMO；②AN=CM：③ME=NF；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形.其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【解答】解：∵DE∥BF∴∠DNO=∠BMO故①正确.∵AB∥CD∴∠NAE=∠MCF又∵∠DNA=∠BMC=90°∴∠ANE=∠CMF=90°在△ANE与△CMF中∵∠ANE=∠CMF=90∴△ANE≌△CMF（ASA）∴AN=CM，NE=FM，AE=CF，故②正确.在△NFM与△MEN中∵FM=NE∴△NFM≌△MEN（SAS）∴ME=NF，故③正确.∵AE=CF∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB又根据矩形性质可知DF∥EB∴四边形DEBF为平行四边形根据矩形性质可知OD=AO，当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形∴∠ADO=60°又∵DN⊥AC根据三线合一可知∠NDO=30°又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°故DE=EB∴四边形DEBF为菱形，故④正确.故①②③④正确故答案为：D.【分析】根据平行线的性质可得∠DNO=∠BMO，据此判断①；由平行线的性质可得∠NAE=∠MCF，证明△ANE≌△CMF，得到AN=CM，NE=FM，AE=CF，据此判断②；证明△NFM≌△MEN，得到ME=NF，据此判断③；由AE=CF结合线段的和差关系可得DF=EB，推出四边形DEBF为平行四边形，根据矩形的性质可得OD=AO，当AO=AD时，△DAO为等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ADO=60°，∠NDO=30°，结合内角和定理可得∠ABD=30°，则DE=EB，据此判断④.【变式11-1】如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD＝BE．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】先求出∠ACD＝60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断④错误．【解答】解：△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°，AC＝CD，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝BC，故①正确；由①可得AD＝BC，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD＝AC＝CE＝DE，故四边形ACED是菱形，即③正确．∵BD⊥AC，AC∥DE，∴BD⊥DE，∴BE＞BD，故④错误．综上可得①②③正确，共3个．故选：D．【变式11-2】（2021八下·八公山期末）如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE∶AB＝4∶5，下列结论：①DE＝8cm；②BE＝4cm；③BD＝45cm；④AC＝85cm；⑤S菱形ABCD＝80cm.其中正确的有()A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤【答案】B【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40cm，∴AB=14∵DE：AB=4：5，∴DE=8cm，故①符合题意；∵DE⊥AB，且AD=10cm，DE=8cm，∴AE=AD∴BE=AB﹣AE=10cm﹣6cm=4cm，故②符合题意；∵DE=8cm，BE=4cm，∴BD=BD2+BE2∵四边形ABCD是菱形，∴BO=12BD=25cm，且AC⊥BD，AO=AB2-B∴AC=2AO=85cm，故④符合题意；∴S菱形ABCD=12AC•BD=12×85×45=80（cm2），故故答案为：B．

【分析】根据菱形周长得到AB长度，得到DE长度，根据DE、AD长度和DE⊥AB，得到AE长度，得到BE的长，通过BE、DE的长得到BD的长，根据DO、AD的长，得到AO的长，得到AC的长，根据菱形面积为对角线的乘积的一半，得到菱形的面积。题型12：菱形的判定与性质-动点问题12.（2022八下·江都期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，AB∥OC，点B，C的坐标分别为（15，8），（21，0），动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动．M，N同时出发，设运动时间为t秒．（1）在t=3时，M点坐标，N点坐标；（2）当t为何值时，四边形OAMN是矩形？（3）运动过程中，四边形MNCB能否为菱形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．【答案】（1）（3，8）；（15，0）（2）解：当四边形OAMN是矩形时，AM=ON，∴t=21-2t，解得t=7秒，故t=7秒时，四边形OAMN是矩形；（3）解：存在t=5秒时，四边形MNCB能为菱形．理由如下：四边形MNCB是平行四边形时，BM=CN，∴15-t=2t，解得：t=5秒，此时CN=5×2=10，过点B作BD⊥OC于D，则四边形OABD是矩形，∴OD=AB=15，BD=OA=8，CD=OC-OD=21-15=6，在Rt△BCD中，BC=BD∴BC=CN，∴平行四边形MNCB是菱形，故，存在t=5秒时，四边形MNCB为菱形．【解析】【解答】解：（1）∵B（15，8），C（21，0），∴AB=15，OA=8，OC=21，当t=3时，AM=1×3=3，CN=2×3=6，∴ON=OC-CN=21-6=15，∴点M（3，8），N（15，0）；故答案为：（3，8）；（15，0）；【变式12-1】（2021八下·雨花期末）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA中点，点P在BC上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点P的运动时间为t秒.（1）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：∵四边形OABC为矩形，B（5，2），∴BC=OA=5，AB=OC=2，∵点D时OA的中点，∴OD=12由运动知，PC=2t，∴BP=BC-PC=5-2t，∵四边形PODB是平行四边形，∴PB=OD=2.5，∴5-2t=2.5，∴t=1.25；（2）解：①当Q点在P的右边时，如图1，∵四边形ODQP为菱形，∴OD=OP=PQ=2.5，∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC=1.5，∴2t=1.5；∴t=0.75，∴Q（4，2）；②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2，同①的方法得出t=2，∴Q（1.5，2），③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3，同①的方法得出，t=0.5，∴Q（-1.5，2）【变式12-2】如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB＝60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．（1）求证：DM＝ME；（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．【分析】（1）先利用角平分线定义得到∠ACP＝∠BCP＝30°，再根据角平分线的性质得PD＝PE，则利用“HL”可证明Rt△DCP≌Rt△ECP得到CD＝CE，然后证明△DCM≌△ECM得到DM＝ME；（2）利用∠DCP＝30°得到PC＝2PD，∠CPD＝60°，则当DM＝DP时，PD＝PE＝MD＝ME，则四边形DMEP为菱形，由于此时△PDM为等边三角形，所以PD＝PM，从而得到CM＝PM，即当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．【解答】（1）证明：∵点P为∠ACB平分线上的一点，∴∠ACP＝∠BCP＝30°，∵PD⊥CA于D，PE⊥CB于E，∴PD＝PE，在Rt△DCP和Rt△ECP中，∴Rt△DCP≌Rt△ECP，∴CD＝CE，在△DCM和△ECM中，∴△DCM≌△ECM，∴DM＝ME；（2）解：当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．理由如下：∵∠DCP＝30°，∴PC＝2PD，∠CPD＝60°，∵PD＝PE，MD＝ME，∴当DM＝DP时，PD＝PE＝MD＝ME，则四边形DMEP为菱形，此时△PDM为等边三角形，∴PD＝PM，∴CM＝PM，∴当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形．一、单选题1．（2021八下·甘井子期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，则此菱形的面积是（）A．12 B．15 C．24 D．48【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AC=2AO，BD=2BO，∵AB=5，AO=4，∴BO=∴AC=8，BD=6∴菱形的面积=1故答案为：C.【分析】先利用勾股定理求出BO的长，可得AC=8，BD=6，最后利用菱形的面积公式可得122．（2022八下·东川期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE⊥AD于点E，且OA=4，OB=3．则BE的长为（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC=2OA，BD=2OB，∵OA=4，OB=3，∴AD=AB=O∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=AD⋅BE∴BE=4.故答案为：C．【分析】先求出AD=AB=OA2+OB3．（2022·滨海新模拟）如图，四边形A．BCD是菱形，顶点A．，C的坐标分别是（ 0 ， 2 ），（ 8 ， 2 ），点D在x轴上，则顶点B的坐标是（）A．（ 4 ， 2 ） B．（ 5 ， 2 ）C．（ 4 ，  4） D．（ 5 ，  4）【答案】C【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，连接AC、BD，交于点F，∵顶点A.，C的坐标分别是（0 ，2 ），（8 ，2 ），四边形ABCD是菱形，∴AC∥x轴，AD=DC，FB=FD，AC⊥BD，AO=CE=2，∴BD⊥x轴，△AOD≌△CED，∴DO=DE=4，∵四边形ABCD是菱形，∴DF=FB=2，∴DB=4，∴点B的坐标为(4，4)，故答案为：C．【分析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E，连接AC、BD，交于点F，利用菱形的性质可得DF=FB=2，所以DB=4，即可得到点B的坐标。4．（2022·新城模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＋BD＝14，则菱形ABCD的面积为（）A．12 B．20 C．24 D．48【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AO=∵AC+BD=14∴AO+BO=7设BO=x，则AO=7-x，在RtΔAOB中，AB=5∴A∴x解得，x∴BO=3，AO=4∴菱形ABCD的面积=1故答案为：C.【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=15．（2021·枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=63，BD=6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PEA．33 B．63 C．3 【答案】A【解析】【解答】解：如图，连接DE，由两点之间线段最短得：当点D，P，E共线时，PD+PE取最小值，最小值为DE，∵四边形ABCD是菱形，AC=63，BD=6∴AB=AD，OB=1∴AB=O∴AB=AD=BD=6，∴△ABD是等边三角形，∵点E是AB的中点，∴AE=1∴DE=A即PD+PE的最小值为33故答案为：A．

【分析】由三角形的三边关系可得当点P在DE上时，PD+PE的最小值为DE的长，由菱形的性质可得AO=CO=33，BO=DO=3，AC垂直BD，AB=AD，由锐角三角函数可求∠ABO=60°，证明△ABD二、填空题6．（2022·坪山模拟）若菱形的面积为24，一条对角线长为6，则其边长长为．【答案】5【解析】【解答】解：由题意得菱形的另一条对角线的长24×2÷6=8则菱形的边长=故答案为：5【分析】先利用菱形的面积等于对角线乘积的一半可得菱形的另一条对角线的长为8，再利用勾股定理求出菱形的边长即可。7．（2022八下·惠山期末）如图，若四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的边长是.【答案】13【解析】【解答】解：设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC=1∴∠COD=90°，∴CD=故答案为：13.【分析】设AC与BD交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，OC=12AC=12，OD=18．（2022八下·江都期中）点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足条件时，四边形EFGH是菱形．【答案】AC=BD【解析】【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，∴EF∥BD，EF＝12BD，GH∥BD，GH＝12BD，EH∥AC，EH＝12∴四边形EFGH为平行四边形，当AC＝BD时，EF＝EH，∴平行四边形EFGH为菱形，∴当四边形ABCD的对角线AC＝BD时，四边形EFGH是菱形.故答案为：AC=BD.【分析】由题意可得EF为△ABD的中位线，EH为△ACD的中位线，FG为△ABC的中位线，GH为△BCD的中位线，则EF∥BD∥GH，EF＝GH=12BD，EH∥AC∥FG，EH＝FG=19．（2022·覃塘模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，动点P在对角线BD上，连接PA，则PA+12PB【答案】3【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F，∵四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，∴∠PBE=1∴PE=1∴PA+1∵两点之间线段最短，∴当A、P、E共线时，PA+PE最小，即为AF的长.∵∠ABC=60°，∴BF=1∴AF=A故答案为：3.【分析】过点P作PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F，根据菱形的性质可得∠PBE=12∠ABC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PE=12BP，则PA+1210．（2021八下·曲靖期末）已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的高为．【答案】24【解析】【解答】解：如图所示，四边形ABCD是菱形，AC与BD交于O，AC=6，BD=8，∴AC⊥BD，BO=OD=12BD=4∴AB=A设菱形的高为h，∴AB⋅h=1∴h=24故答案为：245【分析】利用菱形的性质及勾股定理先求出AB，再根据菱形的