八年级数学下册18.2.2菱形的性质与判定十二大题型

18.2.2菱形的性质与判定菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.注意：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.题型1：菱形的定义1.（2022九上·双柏期中）下列关于菱形的说法中正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．菱形的对角线互相垂直且平分C．菱形的对角线相等且互相平分D．对角线互相平分的四边形是菱形【变式1-1】在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，要使四边形ABCD为菱形，需添加的条件是（）A．∠A＝∠C B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD【变式1-2】下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（）A．一组邻边相等的平行四边形 B．一条对角线平分一组对角的四边形 C．四条边都相等的四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.注意：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.题型2：菱形的性质求长度2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（）A． B．8 C． D．16【变式2-1】（2022九上·长泰期中）如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，点F是AC的中点，连接EF，如果EF=4，那么菱形ABCD的周长为（）A．4 B．8 C．16 D．32【变式2-2】（2022九上·南海期中）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的周长是（）A．163 B．16 C．83【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则顶点B的坐标为．题型3：菱形的性质求角度3.已知菱形ABCD中，∠D＝150°，连接AC，则∠BAC等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°【变式3-1】如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，且AE＝AD，∠EAD＝2∠BAE，求∠BAE的度数．【变式3-2】如图，在正五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为（）A．30° B．32° C．36° D．40°【变式3-3】（2022九上·郓城期中）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC的垂直平分线EF分别交BC，AC于点E，F，连接DF，若∠BCD=70°，则∠ADF的度数是（）A．60° B．75 C．80° D．110°题型4：菱形的性质与等面积法4.如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（）A． B． C．4 D．8【变式4-1】（2022九上·交城期末）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于O，DH⊥AB于H，连接OH，AC=16，AB=10，则OH=（）．A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．6【变式4-2】已知：如图所示，菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点，已知BD＝4，求菱形ABCD的周长和面积．题型5：菱形的性质简单综合5.（2023九上·通川期末）如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE=CD，延长BC到点F，使CF=BC，顺次连接点B，E，F，D，若BD=1，AC=3.（1）求证：四边形BEFD是矩形；（2）求四边形BEFD的周长为多少.【变式5-1】（2023九上·渠县期末）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE//AC，AE//BD.（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）已知AB=4，DE=2，求四边形AODE的面积.【变式5-2】（2022九上·沈北期中）在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD、DF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若BD＝25，BE＝4，求BC的长．菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.注意：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.题型6：菱形的判定（条件选择）6.（2022九上·黄冈开学考）AC，BD是▱ABCD的两条对角线，如果添加一个条件，使▱ABCD为矩形，那么这个条件可以是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【变式6-1】（2022九上·高州月考）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线互相垂直；②它是一个正方形；③它是一个菱形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出③ D．由①推出③，由③推出②【变式6-2】（2022八下·环翠期末）在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（）A．另一组对边相等，对角线相等B．另一组对边相等，对角线互相垂直C．另一组对边平行，对角线相等D．另一组对边平行，对角线相互垂直题型7：菱形的判定（四边相等）7.如图，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AB＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．【变式7-1】（2022九上·青岛期中）如图，矩形ABCD≌矩形AECF，AF与BC相交于G，EC与AD相交于H．请判断并证明四边形AGCH的形状．【变式7-2】已知：如图，P是线段AB上的一点，分别以线段AP，PB为一边在AB的同侧作等边三角形APE和等边三角形PBF，连接EF，点G，M，N，H分别是四边形ABFE的边AB，BF，FE，EA的中点，连接HG，GM，MN和NH．求证：四边形GMNH为菱形．题型8：菱形的判定（平行四边形+邻边相等）8.（2022八下·合阳期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形．【变式8-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．【变式8-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC的中点，BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．求证：四边形BDCE是菱形．题型9：菱形的判定（平行四边形+对角线互相垂直）9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE＝ED＝DB，DG⊥AC于点G，EF⊥BC于点F，求证：四边形DFGE是菱形．【变式9-1】（2022九上·西安月考）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE，CF.求证：四边形AECF是菱形.【变式9-2】如图，在三角形纸片ABC中，AD是△ABC的角平分线，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，折痕与AB相交于E，与AC相交于F，求证：四边形AEDF是菱形．题型10：菱形的判定与性质-最值问题10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P在BD上，点E为CD中点，且PC+PE＝1，则边AB的最大值等于（）A．1 B． C． D．【变式10-1】菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边AB、BC的中点，点P是对角线AC上的一个动A点，则PM+PN的最小值是．【变式10-2】（2020八下·侯马期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝23，求PB+PE的最小值是多少？题型11：菱形的判定与性质-多结论问题11.（2022八下·宾阳期中）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM.则下列结论：①∠DNO=∠BMO；②AN=CM：③ME=NF；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形.其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式11-1】如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD＝BE．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式11-2】（2021八下·八公山期末）如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，DE∶AB＝4∶5，下列结论：①DE＝8cm；②BE＝4cm；③BD＝45cm；④AC＝85cm；⑤S菱形ABCD＝80cm.其中正确的有()A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤题型12：菱形的判定与性质-动点问题12.（2022八下·江都期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，AB∥OC，点B，C的坐标分别为（15，8），（21，0），动点M从点A沿A→B以每秒1个单位的速度运动；动点N从点C沿C→O以每秒2个单位的速度运动．M，N同时出发，设运动时间为t秒．（1）在t=3时，M点坐标，N点坐标；（2）当t为何值时，四边形OAMN是矩形？（3）运动过程中，四边形MNCB能否为菱形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．【变式12-1】（2021八下·雨花期末）已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，B（5，2），点D是OA中点，点P在BC上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点P的运动时间为t秒.（1）t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.【变式12-2】如图，已知点P为∠ACB平分线上的一点，∠ACB＝60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E．点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM．（1）求证：DM＝ME；（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由．一、单选题1．（2021八下·甘井子期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，则此菱形的面积是（）A．12 B．15 C．24 D．482．（2022八下·东川期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BE⊥AD于点E，且OA=4，OB=3．则BE的长为（）A．3 B．4 C．4.8 D．53．（2022·滨海新模拟）如图，四边形A．BCD是菱形，顶点A．，C的坐标分别是（ 0 ， 2 ），（ 8 ， 2 ），点D在x轴上，则顶点B的坐标是（）A．（ 4 ， 2 ） B．（ 5 ， 2 ）C．（ 4 ，  4） D．（ 5 ，  4）4．（2022·新城模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＋BD＝14，则菱形ABCD的面积为（）A．12 B．20 C．24 D．485．（2021·枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=63，BD=6，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则PD+PEA．33 B．63 C．3 二、填空题6．（2022·坪山模拟）若菱形的面积为24，一条对角线长为6，则其边长长为．7．（2022八下·惠山期末）如图，若四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，则菱形ABCD的边长是.8．（2022八下·江都期中）点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、AB、BC、CD各边的中点，对角线AC，BD交于点O，当四边形ABCD满足条件时，四边形EFGH是菱形．9．（2022·覃塘模拟）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，动点P在对角线BD上，连接PA，则PA+12PB10．（2021八下·曲靖期末）已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的高为．三、解答题11．（2021八下·武昌期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点C作CE//AB，过点B作BE//CD，CE与BE相交于点E.求证：四边形BECD为菱形.12．（2022八下·荔湾期末）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，过B，C两点分别作AC，BD的平行线，相交于点E，求证：四边形BOCE是矩形．13．（2021八下·槐荫期末）如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱