八年级数学下册19.1函数

19.1函数变量、常量的概念在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.注意：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是常量，时间和里程为变量.题型1：变量与常量1.（2022秋•武义县期末）笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，下列选项判断正确的有（）A．a是常量时，y是变量 B．a是变量时，y是常量 C．a是变量时，y也是变量 D．无论a是常量还是变量，y都是变量【变式1-1】（2023•南海区校级模拟）球的体积是V，球的半径为R，则V＝πR3，其中变量和常量分别是（）A．变量是V，R；常量是，π B．变量是R，π；常量是 C．变量是V，R，π；常量是 D．变量是V，R3；常量是π【变式1-2】（2022秋•临平区月考）某辆速度为v（km/h）的车从甲地开往相距s（km）的乙地，全程所用的时间为t（h），在这个变化过程中，（）A．s是变量 B．t是常量 C．v是常量 D．s是常量【变式1-3】（2022春•安次区期末）某工厂有一个容积为280立方米的水池，现用3台抽水机从蓄满水的池中同时抽水，已知每台抽水机每小时抽水15立方米．（1）抽水两个小时后，池中还有水立方米；（2）在这一变化过程中哪些是变量？哪些是常量？题型2：因变量和自变量2.（2022春•盐田区校级期中）对于圆的周长公式C＝2πR，其中自变量是，因变量是．【变式2-1】圆柱的高是6cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也随之发生变化.在这个变化过程中，常量是，自变量是，因变量是.【变式2-2】（2022秋•靖西市期中）在公式S＝﹣t+20中，关于变量和常量，下列说法正确的是（）A．﹣1和20是常量，S和t是变量 B．20是常量，S和t是变量 C．﹣1常量，S和t是变量 D．S是自变量，t是因变量【变式2-3】（2022春•西昌市校级月考）下列各式中，是函数有（）①s＝3a2；②；③y2＝x；④y＝|x﹣3|；⑤|y|＝2x；⑥．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个函数的定义一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.注意：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.题型3：函数的概念3.（2022春•西昌市校级月考）与函数y＝2x﹣1是同一函数的是（）A． B． C． D．【变式3-1】（2022春•宛城区期中）下列关系式中，变量y不是变量x的函数的是（）A．y＝（x≥0）B．x+y＝10 C．y＝|x| D．xy＝1【变式3-2】下列关系式：①x-3x=4；②s=3.5t；③y=-2x；④y=5x-3；⑤C=2πr；⑥y2=-2x．其中是函数关系的有()A．①⑥ B．②③④⑤ C．④⑥ D．①②【变式3-3】下列关系中，不是函数的是()．A．y=x+13 B．y=-x2C．y=9x(x≥0) D．y=±x2题型4：函数概念与基础图像识别4.（2022秋•沙县期中）下列各曲线中表示y是x的函数的是（）A．B． C． D．【变式4-1】（2022秋•城关区校级期中）下列曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A．B． C． D．【变式4-2】（2022秋•蜀山区校级月考）下列各图象中，y不是x的函数有（）A．B． C． D．自变量取值范围的确定使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.注意：自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.题型5：自变量的取值范围5.（2022秋•罗湖区期中）函数的自变量x的取值范围是（）A．x⩾2 B．x＞2 C．x＜2 D．x⩽2【变式5-1】．（2022春•凤庆县期末）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥1且x≠0 C．x＞1且x≠0 D．x≠0【变式5-2】（2022秋•瑶海区期中）函数y＝+中，自变量x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥2且x≠9 C．x≠9 D．2≤x＜9【变式5-3】（2022秋•驻马店期中）中自变量x的取值范围是．【变式5-4】求下列函数中自变量x的取值范围．y=x-2+1x-3函数值是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.注意：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.题型6：函数值的定义6.（2021秋•梧州期末）当x＝2时，函数y＝的函数值是（）A．y＝4 B．y＝3 C．y＝2 D．y＝1【变式6-1】（2022春•大足区期末）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为﹣1和5时，输出的y的值相等，则b等于（）A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2【变式6-2】已知一个长方体的体积是100cm3，它的长是10cm，宽是ycm，高是xcm．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x＝2cm时，求y的值．【变式6-3】已知函数y=2x-1x+2【变式6-4】当x=2及x=﹣3时，分别求出下列函数的函数值：（1）y=（x+1）（x﹣2）；（2）y=x+2x-1题型7：构建简单函数（几何图形）7.如图，在靠墙（墙长8m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另外三边用栅栏围成，如果栅栏总长为32m，求鸡场的一边y（m）与另一边x（m）的函数关系式，并求出自变量的取值范围．【变式7-1】（2022春•双塔区校级期中）如图所示，在一个边长为10cm的正方形的四个角都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？（2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积ycm2，请写出y与x的关系式；（3）当小正方形的边长由1cm变化到4cm时，阴影部分的面积是怎样变化的？【变式7-2】如图，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分的面积ycm2与MA的长度xcm之间的关系式，并指出其中的常量与变量．【变式7-3】圆柱的底面半径是2cm，当圆柱的高h（cm）由大到小变化时，圆柱的体积V（cm3）随之发生变化．（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？（2）在这个变化过程中，写出圆柱的体积为V与高h之间的关系式？（3）当h由5cm变化到10cm时，V是怎样变化的？（4）当h=7cm时，v的值等于多少？题型8：构建函数（实际问题）8.（2022春•开江县期末）某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册，该纪念册每册需要10张A4大小的纸，其中4张为彩色页，6张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成．制版费与印数无关，价格为：彩色页200元/张，黑白页50元/张；印刷费与印数的关系见下表印数a（单位：册）1≤a＜50005000≤a＜10000彩色（单位：元/张）2.22.0黑白（单位：元/张）0.60.5（1）直接写出印制这批纪念册的制版费为多少元；（2）若印制6000册，那么共需多少费用？（3）若印制x（1≤x＜10000）册，所需费用为y元，请写出y与x之间的关系式．【变式8-1】（2022春•临渭区期末）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费1.6元，当出租车行驶路程为x千米时，应收费为y元．（1）请写出当x≥3时，y与x之间的关系式；（2）小亮乘出租车行驶4千米，应付多少元？【变式8-2】（2022春•信都区期末）已知每千克化工原料的售价为120元，若x（元）表示购买m千克化工原料的总价钱．（1）写出m与x的函数关系式；（2）说出其中的变量与常量．题型9：函数图像-路程和时间问题9.（2022春•武功县期末）小明家距离学校8千米．一天早晨，小明骑车上学途中自行车出现故障，他于原地修车，车修好后，立即在确保安全的前提下以更快的速度匀速骑行到达学校．如图反映的是小明上学过程中骑行的路程（千米）与他所用的时间（分钟）之间的关系，请根据图象，解答下列问题：（1）小明骑行了千米时，自行车出现故障；修车用了分钟；（2）求自行车出现故障前小明骑行的平均速度．【变式9-1】（2022春•章丘区期末）李老师一直坚持步行上下班．一天，李老师下班后，从学校出发以45米/分的速度走了900米时，遇到一个朋友，停下来交流了半个小时，然后回家，如图所示是李老师从学校到家这一过程中，距离家的路程S（米）与离开学校的时间t（分）之间的关系．（1）在如图所示反映的两个变量之间的关系中，自变量是；因变量是．（2）图中a表示的数值是；b表示的数值是；c表示的数值是．（3）李老师遇到朋友之前的行走速度快还是和朋友分开以后的行走速度快？和朋友分开后的平均速度是多少？【变式9-2】（2022春•肃州区校级期中）小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回到家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示）．（1）图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（3）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？（4）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？题型10：函数图像-两者距离和时间问题10.（2022秋•姜堰区月考）甲、乙两人驾车都从P地出发，沿一条笔直的公路匀速前往Q地，乙先出发一段时间后甲再出发，甲、乙两人分别到达Q地后停止．已知P、Q两地相距200km，设乙行驶的时间为t（h），甲、乙两人之间的距离为y（km），表示y与t函数关系的部分图象如图所示．请解决以下问题：（1）由图象可知，甲比乙迟出发h，解释图象中点B与点C的实际意义；（2）求甲、乙两人的速度．【变式10-1】（2022春•宜黄县期中）疫情防控常态化后，防控部门根据疫情的变化，积极调配防疫资源．为了调配医疗物资，甲、乙两辆汽车分别从A、B两个城市同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速（v甲＞v乙）前往B地、A地，在途中的服务区两车相遇，休整了2h后，又各自以原速度继续前往目的地，两车之间的距离s（km）和所用时间t（h）之间的关系的图象如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：（1）图中的自变量是，因变量是；（2）A、B两地相距km；（3）在如图中，x＝；（4）甲车的速度为km/h．【变式10-2】（2022春•青岛期末）甲、乙两人在笔直的公路AB上从起点A地以不同的速度匀速跑向终点B地，先到B地的人原地休息，已知A、B两地相距1500米，且甲比乙早出发，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）的关系如图所示．（1）甲早出发秒，乙出发时两人距离米；（2）甲的速度是米/秒，甲从A地跑到B地共需秒；（3）乙出发秒时追上了甲；（4）甲出发秒时，两人相距120米．题型11：函数图像-几何变化问题11.（2023•铁西区一模）如图Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝6，点P是线段BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于点F，四边形AEPF的面积记为S，BE＝x，则S关于x的函数关系图象是（）A．B．C． D．【变式11-1】（2022秋•泗阳县期末）如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，若b﹣2a＝5，则长方形ABCD的周长为（）A．20 B．18 C．16 D．24【变式11-2】（2022秋•香洲区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为8cm，动点P、Q同时从点A出发，以2cm/s的速度分别沿A→B→C，和A→D→C的路径向点C移动．设运动时间为，由点P、B、D、Q确定的图形的面积为scm2，求s与t（0≤t≤8）之间的函数关系式．一、单选题1．（2023八上·绍兴期末）下列关系式中，y不是x的函数的是（）A．y=x B．y=x2 C．y=x2．李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（）A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价3．（2023八上·温州期末）函数y=1x-2A．x≠-2 B．x≠2 C．x<2 D．x>24．（2022七下·雅安期末）跳高运动员跳跃横杆，高度与时间的关系可以用图形近似的刻画的是（）A．B．C． D．5．（2022七下·化州期末）根据实验结果表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)x01234y2021222324A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为0cmC．随着所挂物体重量的增加，弹簧长度逐渐变长D．所挂物体的重量每增加1kg，弹簧长度增加1cm6．（2022七下·历城期末）6月12日，京张高铁轨道全线贯通，它是2022年北京冬奥会的重要交通保障设施.全线运营后高铁将通过清华园隧道穿越北京市城市核心区，如图所示，当高铁匀速通过清华园隧道（隧道长大于火车长）时，高铁在隧道内的长度y与高铁进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是（）A． B．C． D．二、填空题7．（2022七下·宝鸡期末）变量x与y之间的关系式是y=-x+1，当自变量x=2时，因变量y的值是．8．（2022八上·紫金期中）一次函数y=-6x+5，当x=2时，则y＝．9．表示函数的三种方法是：，，．10．已知变量x，y满足(x-2y)2=(x+2y)2+10，那么y11．（2022九上·杨村月考）已知一个直角三