八年级数学下册专项训练：勾股定理的应用

【专项训练】勾股定理（逆定理）的应用题型1：求树/旗杆的高度1如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．米 B．米 C．4米 D．6米【变式1-1】如图，在离地面高度6m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（）A．12m B．2m C．4m D．6m【变式1-2】（2022八下·冠县期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦12米（AC的长）处，升起云梯到火灾窗口，云梯AB长20米，云梯底部距地面3米（AE的长），问：发生火灾的住户窗口距离地面有多高（BD的长）？【变式1-3】如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）A．10米 B．15米 C．16米 D．20米【变式1-4】（2022八下·杭州月考）如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知CD⊥BD，现测得AC=203m，BC=60m，CD=题型2：梯子问题2（2022八下·黔西月考）如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，梯子顶端A也下落了0.5米吗？【变式2-1】如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部C处，已知楼顶C处离地面的距离CA为8m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为4m，要使云梯的顶部能到达C处，估计云梯的长度至少为（）A．8m B．9m C．10m D．12m【变式2-2】（2020八下·南康月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离AC为0.7米，顶端到地面距离BC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端到地面距离B'D为2米，求小巷的宽度【变式2-3】如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（1）开始时，船距岸A的距离是m；（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动m．题型3：九章算术问题3在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【变式3-1】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2 C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2【变式3-2】《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为尺．题型4：影响范围问题4（2022八下·兴仁月考）为了抗旱保收，某市准备开采地下水，经探测，C处地下有水，为此C处需要爆破，已知C处与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上的另一停靠站B的距离为400m，AB的距离为500m，如图所示，为了安全，爆破点C周围250m的范围内禁止进入，在进行爆破时，公路AB段某部分是否有危险而需要暂时封锁？【变式4-1】今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【变式4-2】如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP＝160米，∠NPQ＝30°，拖拉机的速度是5米/秒，拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；若受到影响，那么学校受到的影响的时间为多少秒？题型5：航海问题5（2022八下·鞍山期末）如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离．【变式5-1】在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行．同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（）A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°【变式5-2】（2022八下·惠州期末）某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行12海里到达B岛，然后沿某方向航行16海里到达C岛，最后沿某个方向航行了20海里回到港口A，则该船从B到C是沿哪个方向航行的？（即求C岛在B岛的哪个方位，距离B岛多远？），请说明理由．【变式5-3】（2022八下·黄冈月考）如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？题型6：立体图形的最短路径问题6如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为A．15 B．17 C．20 D．25【变式6-1】如图，一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，且，则最短路线长为A． B． C． D．【变式6-2】如图，长方体的底面边长为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达，那么所用细线最短需要A． B． C． D．【变式6-3】如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米题型7：折叠问题7.如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10，当折痕的另一端F在AB边上时，求△EFG的面积．【变式7-1】如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．【变式7-2】矩形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝cm．【变式7-3】如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，BC＝13cm，则FC的长度是．题型8：面积问题8.（2019八下·乌兰浩特期末）如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．【变式8-1】如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．【变式8-2】如图所示，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，D是BC的中点，求AD的长和△ABD的面积．题型9：动点问题9.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式x2【变式9-1】（2021八下·甘孜期末）如图，在直角三角形ΔABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm，点P从A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点（1）求t为何值时，ΔPBQ为等腰三角形？（2）是否存在某一时刻t，使点Q在线段AC的垂直平分线上？（3）点P，Q在运动的过程中，是否存在某时刻t，直线PQ把ΔABC的周长分为【变式9-2】（2022八下·章丘期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，BC＝4，PA＝1，则线段DE的长为．【变式9-3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．

（1）当t=2时，CD=，AD=；（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．题型10：勾股定理的证明10.（2022•小店区校级开学）【问题背景】勾股定理是重要的数学定理，它有很多种证明方法【定理表述】（1）用文字语言叙述勾股定理的内容：【定理证明】（2）以图1中的直角三角形为基础，延长BE到点C，使CE＝a，过点C作：CD⊥CE，使CD＝b，连接DE，AD（如图2），则AE⊥DE，AD＝c，四边形ABCD是以a为底、（a+b）为高的直角梯形，请利用图2证明勾股定理．【定理应用】（3）当a≠b时，利用图2，可以证明a+b＜c．证明步骤如下：如图3，过点A作AF⊥CD于点F，则AF＜AD，∠AFC＝90°，∵又，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴四边形ABCF为，∴AF＝，∴BCAD，又∵BC＝a+b，AD＝c，∴a+b＜c．【变式10-1】（2022春•曲阜市期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2＝S3；（1）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；（3）若Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求出图4中阴影部分的面积．【变式10-2】（2022秋•大竹县校级期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．请你回答以下问题：（1）填空：∠AGE＝°，S四边形ADBE＝c2．（2）请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．【变式10-3】（2021春•卡若区校级期末）将直角△ABC绕直角顶点C旋转，使点A落在BC边上的点A′，请你先证明A′B′⊥AB，并利用阴影部分面积完成勾股定理的证明．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求证：a2+b2＝c2．证明：作△A′B′C≌△ABC，使点A的对应点A′在边BC上，连接AA′、BB′，延长B′A′交AB于点M．一、单选题1．（2023八上·宁强期末）图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（）A． B．C． D．2．（2022八上·长春期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．x2+4C．(10-x)2+43．（2022八上·杭州期中）如图所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（）A．9 B．35 C．45 D．无法计算4．（2022八上·杭州期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米.若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）A．1米 B．2米 C．2米 D．4米5．（2022·金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）A． B．C． D．6．（2022七上·海阳期中）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（）A．12 B．15 C．18 D．21二、填空题7．（2023八上·平昌期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了米.8．（2022七上·环翠期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A、B、C的面积分别是8cm2，12cm2，14c9．（2022七上·西安期中）如图，MN是圆柱底面的直径，NO是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕四周且路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿M