同济六版高数下教案

第十章重积分【教学目标与要求】1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。【教学重点】1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3.二、三重积分的几何应用及物理应用。【教学难点】1.利用极坐标计算二重积分；2.利用球坐标计算三重积分；3.物理应用中的引力问题。§101二重积分的概念与性质教学内容：二重积分的概念及性质重点难点：二重积分的概念及性质一、引例1曲顶柱体的体积V设有一立体它的底面是xOy面上的闭区域D其侧面为母线平行于z轴的柱面其顶是曲面zf(xy)非负连续称为曲顶柱体若立体的顶是平行于xoy面的平面。体积=底面积高现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积（i）分割：用任意曲线网把D分成n个小区域：12n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体（ii）代替：在每个i中任取一点(ii)以f(ii)为高而底为i的平顶柱体的体积为f(ii)i(i12n)（iii）近似和：整个曲顶柱体体积V分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得"无限细",则右端近似值会无限接近于精确值V.（iv）取极限： 其中的直径是指中相距最远的两点的距离。则其中2平面薄片的质量当平面薄板的质量是均匀分布时,质量=面密度×面积.若平面薄板的质量不是均匀分布的.这时,薄板的质量不能用上述公式算,应如何算该薄板的质量M?设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(xy)处的面密度为这里非负连续现在要计算该薄片的质量M（i）分割：用任意一组曲线网把D分成n个小区域：12n（ii）代替：把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量(ii)i（iii）近似和：各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值将分割加细取极限得到平面薄片的质量（iv）取极限：则两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同：“分割,代替,近似和,取极限”(2)所求量的结构式相同曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二重积分的定义及可积性定义：设f(xy)是有界闭区域D上的有界函数将闭区域D任意分成n个小闭区域12n其中i表示第i个小区域也表示它的面积在每个i上任取一点(ii)作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在闭区域D上的二重积分记作即f(xy)被积函数f(xy)d被积表达式d面积元素xy积分变量D积分区域积分和直角坐标系中的面积元素如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D那么除了包含边界点的一些小闭区域外其余的小闭区域都是矩形闭区域设矩形闭区域i的边长为xi和yi则ixiyi因此在直角坐标系中有时也把面积元素d记作dxdy而把二重积分记作其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素二重积分的几何意义如果f(xy)0被积函数f(xy)可解释为曲顶柱体的在点(xy)处的竖坐标所以二重积分的几何意义就是柱体的体积如果f(xy)是负的柱体就在xOy面的下方二重积分的绝对值仍等于柱体的体积但二重积分的值是负的说明：当函数f(xy)在闭区域D上连续时则f(xy)在D上的二重积分必存在。于是我们总假定函数f(xy)在闭区域D上连续，所以f(xy)在D上的二重积分都是存在的。例1.利用二重积分定义计算：，其中。三.二重积分的性质设D为有界闭区域，以下涉及的积分均存在。性质1性质2设k为常数，则性质3，其中(为D的面积)性质4设，且无公共内点，则性质5.若在D上f(xy)g(xy)则特殊：（1）若在D上，则（2）这是因为性质6设M、m分别是f(xy)在闭区域D上的最大值和最小值为D的面积则性质7(二重积分的中值定理)设函数f(xy)在闭区域D上连续为D的面积则在D上至少存在一点，使例2.比较下列积分的大小：，，其中小结1.二重积分的定义：，2.二重积分的性质（与定积分性质相似）教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意二重积分的定义，性质以及应用，并且要与定积分的定义、性质进行比较，要结合实例，反复讲解。作业P137:4（1）（3），5（1）（4）§102二重积分的计算法教学内容：二重积分的计算重点难点：区域类型的划分、利用极坐标计算一、利用直角坐标计算二重积分X型区域D1(x)y2(x)axbY型区域D1(x)y2(x)cyd混合型区域设f(xy)0D{(xy)|1(x)y2(x)axb}此时二重积分在几何上表示以曲面zf(xy)为顶以区域D为底的曲顶柱体的体积对于x0[ab]曲顶柱体在xx0的截面面积为以区间[1(x0)2(x0)]为底、以曲线zf(x0y)为曲边的曲边梯形所以这截面的面积为根据平行截面面积为已知的立体体积的方法得曲顶柱体体积为即V可记为类似地如果区域D为Y型区域D1(x)y2(x)cyd则有例1计算其中D是由直线y1、x2及yx所围成的闭区域解画出区域D方法一可把D看成是X型区域1x21yx于是注积分还可以写成解法2也可把D看成是Y型区域1y2yx2于是例2计算其中D是由直线y1、x1及yx所围成的闭区域解画出区域D可把D看成是X型区域1x1xy1于是也可D看成是Y型区域：1y11x<y于是例3计算其中D是由直线yx2及抛物线y2x所围成的闭区域解积分区域可以表示为DD1+D2其中于是积分区域也可以表示为D1y2y2xy2于是讨论积分次序的选择例4求两个底圆半径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积解设这两个圆柱面的方程分别为x2y22及x2z22利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积V1然后再乘以8就行了第一卦限部分是以D{(xy)|0y,0x}为底以顶的曲顶柱体于是二利用极坐标计算二重积分有些二重积分积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便且被积函数用极坐标变量、表达比较简单这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分按二重积分的定义下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域小闭区域的面积为其中表示相邻两圆弧的半径的平均值在i内取点设其直角坐标为(ii)则有于是即若积分区域可表示为1()2()则讨论如何确定积分限?例5计算其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域解在极坐标系中闭区域D可表示为0a02于是注此处积分也常写成利用计算广义积分设D1{(xy)|x2y2R2x0y0}D2{(xy)|x2y22R2x0y0}S{(xy)|0xR0yR}显然D1SD2由于从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式因为又应用上面已得的结果有于是上面的不等式可写成令R上式两端趋于同一极限从而例6求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积解由对称性立体体积为第一卦限部分的四倍其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域在极坐标系中D可表示为02acos于是小结1.二重积分化为累次积分的方法；2.积分计算要注意的事项。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意二重积分化为累次积分的方法：分直角坐标和极坐标，以及在计算时要注意事项，要结合实例，反复讲解。作业P154:1(2),(4);2(1),(3);6(2),(4);12(1),(3);13(3),(4);14(1),(2)；15（1）（2）§103三重积分教学内容：三重积分的概念及其计算重点难点：三重积分的计算一、三重积分的概念定义设f(xyz)是空间有界闭区域上的有界函数将任意分成n个小闭区域：v1v2vn其中vi表示第i个小闭区域也表示它的体积在每个vi上任取一点(iii)作乘积f(iii)vi(i12n)并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xyz)在闭区域上的三重积分记作即三重积分中的有关术语——积分号f(xyz)——被积函数f(xyz)dv——被积表达式dv体积元素xyz——积分变量——积分区域在直角坐标系中如果用平行于坐标面的平面来划分则vixiyizi因此也把体积元素记为dvdxdydz三重积分记作当函数f(xyz)在闭区域上连续时极限是存在的因此f(xyz)在上的三重积分是存在的以后也总假定f(xyz)在闭区域上是连续的三重积分的性质与二重积分类似比如其中V为区域的体积二、三重积分的计算1利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算三重积分也可化为三次积分来计算设空间闭区域可表为z1(xy)zz2(xy)y1(x)yy2(x)axb则即其中D:y1(x)yy2(x)axb它是闭区域在xOy面上的投影区域提示设空间闭区域可表为z1(xy)zz2(xy)y1(x)yy2(x)axb计算基本思想对于平面区域Dy1(x)yy2(x)axb内任意一点(xy)将f(xyz)只看作z的函数在区间[z1(xy)z2(xy)]上对z积分得到一个二元函数F(xy)然后计算F(xy)在闭区域D上的二重积分这就完成了f(xyz)在空间闭区域上的三重积分则即其中D:y1(x)yy2(x)axb它是闭区域在xOy面上的投影区域例1计算三重积分其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域解作图区域可表示为:0z1x2y0x1于是讨论其它类型区域呢?有时我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设空间闭区域{(xyz)|(xy)Dzc1zc2}其中Dz是竖坐标为z的平面截空间闭区域所得到的一个平面闭区域则有例2计算三重积分其中是由椭球面所围成的空间闭区域解空间区域可表为:czc于是练习：例3将三重积分化为三次积分其中(1)是由曲面z1x2y2z0所围成的闭区域(2)是双曲抛物面xyz及平面xy10z0所围成的闭区域(3)其中是由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域例4将三重积分化为先进行二重积分再进行定积分的形式其中由曲面z1x2y2z0所围成的闭区域2利用柱面坐标计算三重积分设M(xyz)为空间内一点并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为P()则这样的三个数、、z就叫做点M的柱面坐标这里规定、、z的变化范围为0<02<z<坐标面00zz0的意义点M的直角坐标与柱面坐标的关系xcosysinzz柱面坐标系中的体积元素dvdddz简单来说dxdydddxdydzdxdydzdddz柱面坐标系中的三重积分例5利用柱面坐标计算三重积分其中是由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域解闭区域可表示为2z40202于是3利用球面坐标计算三重积分设M(xyz)为空间内一点则点M也可用这样三个有次序的数r、、来确定其中r为原点O与点M间的距离为与z轴正向所夹的角为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角这里P为点M在xOy面上的投影这样的三个数r、、叫做点M的球面坐标这里r、、的变化范围为0r<0<02坐标面rr000的意义，点的直角坐标与球面坐标的关系xrsincosyrsinsinzrcos球面坐标系中的体积元素dvr2sindrdd球面坐标系中的三重积分例6求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积解该立体所占区域可表示为0r2acos002于是所求立体的体积为提示球面的方程为x2y2(za)2a2即x2y2z22az在球面坐标下此球面的方程为r22arcos即r2acos小结1.三重积分的定义和计算；2.换元积分公式。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意三重积分的定义和计算以及换元积分公式的应用，要结合实例，反复讲解。作业P164:4，5，7，9（1）§104重积分的应用教学内容：曲面的面积、质心、转动惯量、引力重点难点：曲面面积、质心一、曲面的面积设曲面S由方程zf(xy)给出D为曲面S在xOy面上的投影区域函数f(xy)在D上具有连续偏导数fx(xy)和fy(xy)现求曲面的面积A在区域D内任取一点P(xy)并在区域D内取一包含点P(xy)的小闭区域d其面积也记为d在曲面S上点M(xyf(xy))处做曲面S的切平面T再做以小区域d的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值记为dA又设切平面T的法向量与z轴所成的角为则这就是曲面S的面积元素于是曲面S的面积为或设dA为曲面S上点M处的面积元素dA在xOy面上的投影为小闭区域dM在xOy面上的投影为点P(xy)因为曲面上点M处的法向量为n(fxfy1)所以提示dA与xOy面的夹角为(n^k)dAcos(n^k)dnk|n|cos(n^k)1cos(n^k)|n|1讨论若曲面方程为xg(yz)或yh(zx)则曲面的面积如何求？或其中Dyz是曲面在yOz面上的投影区域Dzx是曲面在zOx面上的投影区域例1求半径为R的球的表面积提示解球面的面积A为上半球面面积的两倍上半球面的方程为而所以例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星距地面的高度为h36000km运行的角速度与地球自转的角速度相同试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R6400km)二、质心设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D在点P(xy)处的面密度为(xy)假定(xy)在D上连续现在要求该薄片的质心坐标在闭区域D上任取一点P(xy)及包含点P(xy)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d)则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为dMxy(xy)ddMyx(xy)d平面薄片对x轴和对y轴的力矩分别为设平面薄片的质心坐标为平面薄片的质量为M则有于是提示将P(xy)点处的面积元素d看成是包含点P的直径得小的闭区域D上任取一点P(xy)及包含的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d)则平面薄片对x轴和对y轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为讨论如果平面薄片是均匀的即面密度是常数则平面薄片的质心(称为形心)如何求？求平面图形的形心公式为例3求位于两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心解因为闭区域D对称于y轴所以质心必位于y轴上于是因为所以所求形心是类似地占有空间闭区域、在点(xyz)处的密度为(xyz)(假宽(xyz)在上连续)的物体的质心坐标是其中例4求均匀半球体的质心提示0ra02三、转动惯量设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D在点P(xy)处的面密度为(xy)假定(xy)在D上连续现在要求该薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量在闭区域D上任取一点P(xy)及包含点P(xy)的一直径很小的闭区域d(其面积也记为d)则平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量的元素分别为dIxy2(xy)ddIyx2(xy)d整片平面薄片对于x轴的转动惯量和y轴的转动惯量分别为例5求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量解取坐标系如图则薄片所占闭区域D可表示为D{(xy)|x2y2a2y0}而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix其中为半圆薄片的质量类似地占有空间有界闭区域、在点(xyz)处的密度为(xyz)的物体对于x、y、z轴的转动惯量为例6求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量解取球心为坐标原点z轴与轴l重合又设球的半径为a则球体所占空间闭区域{(xyz)|x2y2z2a2}所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz其中为球体的质量提示x2y2r2sin2cos2r2sin2sin2r2sin2四、引力我们讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0y0z0)处的单位质量的质点的引力问题设物体占有空间有界闭区域它在点(xyz)处的密度为(xyz)并假定(xyz)在上连续在物体内任取一点(xyz)及包含该点的一直径很小的闭区域dv(其体积也记为dv)把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(xyz)处这一小块物体对位于P0(x0y0z0)处的单位质量的质点的引力近似地为其中dFx、dFy、dFz为引力元素dF在三个坐标轴上的分量G为引力常数将dFx、dFy、dFz在上分别积分即可得Fx、Fy、Fz从而得F(Fx、Fy、Fz)例7设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(xyz)|x2y2z2R2)求它对于位于点M0(00a)(a>R)处的单位质量的质点的引力解设球的密度为0由球体的对称性及质量分布的均匀性知Fx=Fy=0,所求引力沿z轴的分量为其中为球的质量上述结果表明匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力小结1.曲面面积的计算；2.质心的计算；3.转动惯量的定义和求解。教学方式及教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲面面积的计算，质心的计算，转动惯量的定义和求解，要结合实例，反复讲解。作业P175:1，2，4（1），7（1）第十一章曲线积分与曲面积分教学目的：理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。掌握计算两类曲线积分的方法。熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。知道散度与旋度的概念，并会计算。会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。教学重点:两类曲线积分的计算方法；格林公式及其应用；两类曲面积分的计算方法；高斯公式、斯托克斯公式；两类曲线积分与两类曲面积分的应用。教学难点：两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系；对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；应用格林公式计算对坐标的曲线积分；应用高斯公式计算对坐标的曲面积分；应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。§11.1对弧长的曲线积分教学内容：对弧长的曲线积分的概念与性质及计算重点难点：对弧长的曲线积分的概念与计算一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上已知曲线形构件在点(xy)处的线密度为(xy)求曲线形构件的质量把曲线分成n小段s1s2sn(si也表示弧长)任取(ii)si得第i小段质量的近似值(ii)si整个物质曲线的质量近似为令max{s1s2sn}0则整个物质曲线的质量为这种和的极限在研究其它问题时也会遇到定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧函数f(xy)在L上有界在L上任意插入一点列M1M2Mn1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为si又(ii)为第i个小段上任意取定的一点作乘积f(ii)si(i12n)并作和如果当各小弧段的长度的最大值0这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作即其中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段设函数f(xy)定义在可求长度的曲线L上并且有界将L任意分成n个弧段s1s2sn并用si表示第i段的弧长在每一弧段si上任取一点(ii)作和令max{s1s2sn}如果当0时这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作即其中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段曲线积分的存在性当f(xy)在光滑曲线弧L上连续时对弧长的曲线积分是存在的以后我们总假定f(xy)在L上是连续的根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分的值其中(xy)为线密度对弧长的曲线积分的推广如果L(或)是分段光滑的则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2则规定闭曲线积分如果L是闭曲线那么函数f(xy)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作对弧长的曲线积分的性质性质1设c1、c2为常数则性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2则性质3设在L上f(xy)g(xy)则特别地有二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件L的线密度为f(xy)则曲线形构件L的质量为另一方面若曲线L的参数方程为x(t)y(t)(t)则质量元素为曲线的质量为即定理设f(xy)在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为x(t)y(t)(t)其中(t)、(t)在[]上具有一阶连续导数且2(t)2(t)0则曲线积分存在且(<)证明（略）应注意的问题定积分的下限一定要小于上限讨论(1)若曲线L的方程为y(x)(axb)则?提示L的参数方程为xxy(x)(axb)(2)若曲线L的方程为x(y)(cyd)则?提示L的参数方程为x(y)yy(cyd)(3)若曲的方程为x(t)y(t)z(t)(t)则?提示例1计算其中L是抛物线yx2上点O(00)与点B(11)之间的一段弧解曲线的方程为yx2(0x1)因此例2计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1)解取坐标系如图所示则曲线L的参数方程为xRcosyRsin(<)于是R3(sincos)例3计算曲线积分其中为螺旋线xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧解在曲线上有x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2并且于是小结用曲线积分解决问题的步骤(1)建立曲线积分(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程)确定参数的变化范围(3)将曲线积分化为定积分(4)计算定积分§11.2对坐标的曲线积分教学内容：对坐标的曲线积分的概念、性质与计算教学内容：对坐标的曲线积分的概念与计算一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功设一个质点在xOy面内在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B试求变力F(xy)所作的功用曲线L上的点AA0A1A2An1AnB把L分成n个小弧段设Ak(xkyk)有向线段的长度为sk它与x轴的夹角为k则(k012n1)显然变力F(xy)沿有向小弧段所作的功可以近似为于是变力F(xy)所作的功从而这里(xy){cossin}是曲线L在点(xy)处的与曲线方向一致的单位切向量把L分成n个小弧段L1L2Ln变力在Li上所作的功近似为F(ii)siP(ii)xiQ(ii)yi变力在L上所作的功近似为变力在L上所作的功的精确值其中是各小弧段长度的最大值提示用si{xiyi}表示从Li的起点到其终点的的向量用si表示si的模对坐标的曲线积分的定义定义设函数f(xy)在有向光滑曲线L上有界把L分成n个有向小弧段L1L2Ln小弧段Li的起点为(xi1yi1)终点为(xiyi)xixixi1yiyiyi1(i)为Li上任意一点为各小弧段长度的最大值如果极限总存在则称此极限为函数f(xy)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分记作即如果极限总存在则称此极限为函数f(xy)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分记作即设L为xOy面上一条光滑有向曲线{cossin}是与曲线方向一致的单位切向量函数P(xy)、Q(xy)在L上有定义如果下列二式右端的积分存在我们就定义前者称为函数P(xy)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分后者称为函数Q(xy)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分定义的推广设为空间内一条光滑有向曲线{coscoscos}是曲线在点(xyz)处的与曲线方向一致的单位切向量函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在上有定义我们定义(假如各式右端的积分存在)对坐标的曲线积分的简写形式对坐标的曲线积分的性质(1)如果把L分成L1和L2则(2)设L是有向曲线弧L是与L方向相反的有向曲线弧则两类曲线积分之间的关系设{cosisini}为与si同向的单位向量我们注意到{xiyi}si所以xicosisiyisinisi即或其中A{PQ}t{cossin}为有向曲线弧L上点(xy)处单位切向量drtds{dxdy}类似地有或其中A{PQR}T{coscoscos}为有向曲线弧上点(xyz)处单们切向量drTds{dxdydz}At为向量A在向量t上的投影二、对坐标的曲线积分的计算定理设P(xy)、Q(xy)是定义在光滑有向曲线Lx(t)y(t)上的连续函数当参数t单调地由变到时点M(xy)从L的起点A沿L运动到终点B则讨论？提示定理若P(xy)是定义在光滑有向曲线Lx(t)y(t)(t)上的连续函数L的方向与t的增加方向一致则简要证明不妨设对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{(t)(t)}所以从而应注意的问题下限a对应于L的起点上限对应于L的终点不一定小于讨论若空间曲线由参数方程xt)y=(t)z(t)给出那么曲线积分？如何计算提示其中对应于的起点对应于的终点例题例1计算其中L为抛物线y2x上从点A(11)到点B(11)的一段弧解法一以x为参数L分为AO和OB两部分AO的方程为x从1变到0OB的方程为x从0变到1因此第二种方法以y为积分变量L的方程为xy2y从1变到1因此例2计算(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2(2)从点A(a0)沿x轴到点B(a0)的直线段解(1)L的参数方程为xacosyasin从0变到因此(2)L的方程为y0x从a变到a因此例3计算(1)抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧(2)抛物线xy2上从O(00)到B(11)的一段弧(3)从O(00)到A(10)再到R(11)的有向折线OAB解(1)Lyx2x从0变到1所以(2)Lxy2y从0变到1所以(3)OAy0x从0变到1ABx1y从0变到1011例4计算其中是从点A(321)到点B(000)的直线段解直线AB的参数方程为x3ty2txtt从1变到0所以所以例5设一个质点在M(xy)处受到力F的作用F的大小与M到原点O的距离成正比F的方向恒指向原点此质点由点A(a0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0b)求力F所作的功W例5一个质点在力F的作用下从点A(a0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0b)F的大小与质点到原点的距离成正比方向恒指向原点求力F所作的功W解椭圆的参数方程为xacostybsintt从0变到其中k>0是比例常数于是三、两类曲线积分之间的联系由定义得其中F{PQ}T{cossin}为有向曲线弧L上点(xy)处单位切向量drTds{dxdy}类似地有其中F{PQR}T{coscoscos}为有向曲线弧上点(xyz)处单们切向量drTds{dxdydz}§113格林公式及其应用教学内容:格林公式、曲线积分与路径无关的条件重点难点：曲线积分与路径无关一、格林公式单连通与复连通区域设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域对平面区域D的边界曲线L我们规定L的正向如下当观察者沿L的这个方向行走时D内在他近处的那一部分总在他的左边区域D的边界曲线的方向定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数则有其中L是D的取正向的边界曲线简要证明仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明设D{(xy)|1(x)y2(x)axb}因为连续所以由二重积分的计算法有另一方面由对坐标的曲线积分的性质及计算法有因此设D{(xy)|1(y)x2(y)cyd}类似地可证由于D即是X－型的又是Y－型的所以以上两式同时成立两式合并即得应注意的问题对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向设区域D的边界曲线为L取PyQx则由格林公式得或例1椭圆xacosybsin所围成图形的面积A分析只要就有解设D是由椭圆xacosybsin所围成的区域令则于是由格林公式ab例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明证令P2xyQx2则因此由格林公式有(为什么二重积分前有“”号？)例3计算其中D是以O(00)A(11)B(01)为顶点的三角形闭区域分析要使只需P0解令P0则因此由格林公式有例4计算其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向解令则当x2y20时有记L所围成的闭区域为D当(00)D时由格林公式得当(00)D时在D内取一圆周lx2y2r2(r>0)由L及l围成了一个复连通区域D1应用格林公式得其中l的方向取逆时针方向于是2解记L所围成的闭区域为D当(00)D时由格林公式得当(00)D时在D内取一圆周lx2y2r2(r0)由L及l围成了一个复连通区域D1应用格林公式得即其中l的方向取顺时针方向于是2分析这里当x2y20时有二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内具有一阶连续偏导数如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2等式恒成立就说曲线积分在G内与路径无关否则说与路径有关设曲线积分在G内与路径无关L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线则有因为所以有以下结论曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分等于零定理2设开区域G是一个单连通域函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式在G内恒成立充分性易证若则由格林公式对任意闭曲线L有必要性假设存在一点M0G使不妨设>0则由的连续性存在M0的一个邻域U(M0,)使在此邻域内有于是沿邻域U(M0,)边界l的闭曲线积分这与闭曲线积分为零相矛盾因此在G内应注意的问题定理要求区域G是单连通区域且函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点例5计算其中L为抛物线yx2上从O(00)到B(11)的一段弧解因为在整个xOy面内都成立所以在整个xOy面内积分与路径无关讨论设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问是否一定成立？提示这里和在点(00)不连续因为当x2y20时所以如果(00)不在L所围成的区域内则结论成立而当(00)在L所围成的区域内时结论未必成立三、二元函数的全微分求积曲线积分在G内与路径无关表明曲线积分的值只与起点从点(x0y0)与终点(xy)有关如果与路径无关则把它记为即若起点(x0y0)为G内的一定点终点(xy)为G内的动点则u(xy)为G内的的函数二元函数u(xy)的全微分为du(xy)ux(xy)dxuy(xy)dy表达式P(xy)dxQ(xy)dy与函数的全微分有相同的结构但它未必就是某个函数的全微分那么在什么条件下表达式P(xy)dxQ(xy)dy是某个二元函数u(xy)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？定理3设开区域G是一个单连通域函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数则P(xy)dxQ(xy)dy在G内为某一函数u(xy)的全微分的充分必要条件是等式在G内恒成立简要证明必要性假设存在某一函数u(xy)使得duP(xy)dxQ(xy)dy则有因为、连续所以即充分性因为在G内所以积分在G内与路径无关在G内从点(x0y0)到点(xy)的曲线积分可表示为考虑函数u(xy)因为u(xy)所以类似地有从而duP(xy)dxQ(xy)dy即P(xy)dxQ(xy)dy是某一函数的全微分求原函数的公式例6验证在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分并求出一个这样的函数解这里因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数且有所以在右半平面内是某个函数的全微分取积分路线为从A(10)到B(x0)再到C(xy)的折线则所求函数为思考与练习1在单连通区域G内如果P(xy)和Q(xy)具有一阶连续偏导数且恒有那么(1)在G内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G内的闭曲线积分是否为零?(3)在G内P(xy)dxQ(xy)dy是否是某一函数u(xy)的全微分?2在区域G内除M0点外如果P(xy)和Q(xy)具有一阶连续偏导数且恒有G1是G内不含M0的单连通区域那么(1)在G1内的曲线积分是否与路径无关?(2)在G1内的闭曲线积分是否为零?(3)在G1内P(xy)dxQ(xy)dy是否是某一函数u(xy)的全微分?3在单连通区域G内如果P(xy)和Q(xy)具有一阶连续偏导数但非常简单那么(1)如何计算G内的闭曲线积分?(2)如何计算G内的非闭曲线积分?(3)计算其中L为逆时针方向的上半圆周(xa)2y2a2y0§114对面积的曲面积分教学内容：对面积分的曲面积分概念、性质与计算重点难点：对面积分的曲面积分概念、计算一、对面积的曲面积分的概念与性质物质曲面的质量问题设为面密度非均匀的物质曲面其面密度为(xyz)求其质量把曲面分成n个小块S1S2Sn(Si也代表曲面的面积)求质量的近似值((iii)是Si上任意一点)取极限求精确值(为各小块曲面直径的最大值)定义设曲面是光滑的函数f(xyz)在上有界把任意分成n小块S1S2Sn(Si也代表曲面的面积)在Si上任取一点(iii)如果当各小块曲面的直径的最大值0时极限总存在则称此极限为函数f(xyz)在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分记作即其中f(xyz)叫做被积函数叫做积分曲面对面积的曲面积分的存在性我们指出当f(xyz)在光滑曲面上连续时对面积的曲面积分是存在的今后总假定f(xyz)在上连续根据上述定义面密度为连续函数(xyz)的光滑曲面的质量M可表示为(xyz)在上对面积的曲面积分如果是分片光滑的我们规定函数在上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和例如设可分成两片光滑曲面1及2(记作12)就规定对面积的曲面积分的性质(1)设c1、c2为常数则(2)若曲面可分成两片光滑曲面1及2则(3)设在曲面上f(xyz)g(xyz)则(4)其中A为曲面的面积二、对面积的曲面积分的计算面密度为f(xyz)的物质曲面的质量为另一方面如果由方程zz(xy)给出在xOy面上的投影区域为D那么曲面的面积元素为质量元素为根据元素法曲面的质量为因此化曲面积分为二重积分设曲面由方程zz(xy)给出在xOy面上的投影区域为Dxy函数zz(xy)在Dxy上具有连续偏导数被积函数f(xyz)在上连续则如果积分曲面的方程为yy(zx)Dzx为在zOx面上的投影区域则函数f(xyz)在上对面积的曲面积分为如果积分曲面的方程为xx(yz)Dyz为在yOz面上的投影区域则函数f(xyz)在上对面积的曲面积分为例1计算曲面积分其中是球面x2y2z2a2被平面zh(0ha)截出的顶部解的方程为Dxyx2y2a2h2因为所以提示例2计算其中是由平面x0y0z0及xyz1所围成的四面体的整个边界曲面解整个边界曲面在平面x0、y0、z0及xyz1上的部分依次记为1、2、3及4于是提示4z1xy§115对坐标的曲面积分教学内容：对坐标的曲面积分的概念与性质及计算重点难点：对坐标的曲面积分的概念与计算一、对坐标的曲面积分的概念与性质有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的例如由方程zz(xy)表示的曲面分为上侧与下侧设n(coscoscos)为曲面上的法向量在曲面的上侧cos0在曲面的下侧cos0闭曲面有内侧与外侧之分类似地如果曲面的方程为yy(zx)则曲面分为左侧与右侧在曲面的右侧cos0在曲面的左侧cos0如果曲面的方程为xx(yz)则曲面分为前侧与后侧在曲面的前侧cos0在曲面的后侧cos0设是有向曲面在上取一小块曲面S把S投影到xOy面上得一投影区域这投影区域的面积记为()xy假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的)我们规定S在xOy面上的投影(S)xy为其中cos0也就是()xy0的情形类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投影(S)yz及(S)zx流向曲面一侧的流量设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))给出是速度场中的一片有向曲面函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)都在上连续求在单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v又设n为该平面的单位法向量那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体当(v^n)时这斜柱体的体积为A|v|cosAvn当(v^n)时显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量为零而Avn0,故Avn当(v^n)时Avn0这时我们仍把Avn称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量它表示流体通过闭区域A实际上流向n所指一侧且流向n所指一侧的流量为Avn因此不论(v^n)为何值流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为Avn把曲面分成n小块S1S2Sn(Si同时也代表第i小块曲面的面积)在是光滑的和v是连续的前提下只要Si的直径很小我们就可以用Si上任一点(i,i,i)处的流速viv(i,i,i)P(i,i,i)iQ(i,i,i)jR(i,i,i)k代替Si上其它各点处的流速以该点(i,i,i)处曲面的单位法向量nicosiicosijcosik代替Si上其它各点处的单位法向量从而得到通过Si流向指定侧的流量的近似值为viniSi(i1,2,,n)于是通过流向指定侧的流量但cosiSi(Si)yzcosiSi(Si)zxcosiSi(Si)xy因此上式可以写成令0取上述和的极限就得到流量的精确值这样的极限还会在其它问题中遇到抽去它们的具体意义就得出下列对坐标的曲面积分的概念提示把Si看成是一小块平面其法线向量为ni则通过Si流向指定侧的流量近似地等于一个斜柱体的体积此斜柱体的斜高为|vi|高为|vi|cos(vi^ni)vini体积为viniSi因为nicosiicosijcosikviv(i,i,i)P(i,i,i)iQ(i,i,i)jR(i,i,i)kviniSi[P(i,i,i)cosiQ(i,i,i)cosiR(i,i,i)cosi]Si而cosiSi(Si)yzcosiSi(Si)zxcosiSi(Si)xy所以viniSiP(i,i,i)(Si)yzQ(i,i,i)(Si)zxR(i,i,i)(Si)xy对于上的一个小块显然在t时间内流过的是一个弯曲的柱体它的体积近似于以为底而高为(|V|t)cos(V^n)Vnt的柱体的体积VntS这里n(coscoscos)是上的单位法向量S表示的面积所以单位时间内流向指定侧的流体的质量近似于VnS(P(xyz)cosQ(xyz)cosR(xyz)cos)S如果把曲面分成n小块i(i12···n)单位时间内流向指定侧的流体的质量近似于按对面积的曲面积分的定义舍去流体这个具体的物理内容我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念定义设为光滑的有向曲面函数R(xyz)在上有界把任意分成n块小曲面Si(Si同时也代表第i小块曲面的面积)在xOy面上的投影为(Si)xy(i,i,i)是Si上任意取定的一点如果当各小块曲面的直径的最大值0时总存在则称此极限为函数R(xyz)在有向曲面上对坐标x、y的曲面积分:记作即类似地有其中R(xyz)叫做被积函数叫做积分曲面定义设是空间内一个光滑的曲面n(coscoscos)是其上的单位法向量V(xyz)(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))是确在上的向量场如果下列各式右端的积分存在我们定义并称为P在曲面上对坐标y、z的曲面积分为Q在曲面上对坐标z、x的曲面积分为R在曲面上对坐标y、z的曲面积分其中P、Q、R叫做被积函数叫做积分曲面以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分对坐标的曲面积分的存在性对坐标的曲面积分的简记形式在应用上出现较多的是流向指定侧的流量可表示为一个规定如果是分片光滑的有向曲面我们规定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和对坐标的曲面积分的性质对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质例如(1)如果把分成1和2则(2)设是有向曲面表示与取相反侧的有向曲面则这是因为如果n(coscoscos)是的单位法向量则上的单位法向量是n(coscoscos)二、对坐标的曲面积分的计算法将曲面积分化为二重积分设积分曲面由方程zz(xy)给出的在xOy面上的投影区域为Dxy函数zz(xy)在Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数R(xyz)在上连续则有其中当取上侧时积分前取“”当取下侧时积分前取“”这是因为按对坐标的曲面积分的定义有当取上侧时cos0所以(Si)xy(i)xy又因(i,i,i)是上的一点故iz(i,i)从而有令0取上式两端的极限就得到同理当取下侧时有因为当取上侧时cos0(Si)xy(i)xy当(i,i,i)时iz(i,i)从而有同理当取下侧时有这是因为n(coscoscos)类似地如果由xx(yz)给出则有如果由yy(zx)给出则有注意的问题符号的确定例1计算曲面积分其中是长方体的整个表面的外侧((xyz)|0xa0yb0zc)解把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和61zc(0xa0yb)的上侧2z0(0xa0yb)的下侧3xa(0yb0zc)的前侧4x0(0yb0zc)的后侧5y0(0xa0zc)的左侧6yb(0xa0zc)的右侧除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此a2bc类似地可得于是所求曲面积分为(abc)abc例2计算曲面积分其中是球面x2y2z21外侧在x0y0的部分解把有向曲面分成以下两部分(x0y0)的上侧(x0y0)的下侧1和2在xOy面上的投影区域都是Dxyx2y21(x0y0)于是三、两类曲面积分之间的联系设积分曲面由方程zz(xy)给出的在xOy面上的投影区域为Dxy函数zz(xy)在Dxy上具有一阶连续偏导数被积函数R(xyz)在上连续如果取上侧则有另一方面因上述有向曲面的法向量的方向余弦为故由对面积的曲面积分计算公式有由此可见有如果取下侧则有但这时因此仍有类似地可推得综合起来有其中cos、cos、cos是有向曲面上点(xyz)处的法向量的方向余弦两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式或其中A(PQR)n(coscoscos)是有向曲面上点(xyz)处的单位法向量dSndS(dydzdzdxdxdy)称为有向曲面元An为向量A在向量n上的投影例3计算曲面积分其中是曲面介于平面z0及z2之间的部分的下侧解由两类曲面积分之间的关系可得在曲面上提示曲面上向下的法向量为(xy1))故8解由两类曲面积分之间的关系可得8提示§116高斯公式通量与散度教学内容：高斯公式、通量与散度重点难点：高斯公式一、高斯公式定理1设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数则有或简要证明设是一柱体上边界曲面为1zz2(x,y)下边界曲面为2zz1(x,y)侧面为柱面31取下侧2取上侧3取外侧根据三重积分的计算法有另一方面有以上三式相加得所以类似地有把以上三式两端分别相加即得高斯公式例1利用高斯公式计算曲面积分其中为柱面x2y21及平面z0z3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧解这里P(yz)xQ0Rxy由高斯公式有例2计算曲面积分其中为锥面x2y2z2介于平面z0及zh(h>0)之间的部分的下侧cos、cos、cos是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦解设1为zh(x2y2h2)的上侧则与1一起构成一个闭曲面记它们围成的空间闭区域为由高斯公式得提示而因此提示根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性例3设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数证明其中是闭区域的整个边界曲面为函数v(x,y,z)沿的外法线方向的方向导数符号称为拉普拉斯算子这个公式叫做格林第一公式证因为方向导数其中cos、cos、cos是在点(xyz)处的外法线向量的方向余弦于是曲面积分利用高斯公式即得将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式二、通量与散度高斯公式的物理意义将高斯公式改写成其中vnvnPcosQcosRcosn{coscoscos}是在点(xyz)处的单位法向量公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量散度设的体积为V由高斯公式得其左端表示内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值由积分中值定理得令缩向一点M(xyz)得上式左端称为v在点M的散度记为divv即其左端表示单位时间单位体积分内所产生的流体质量一般地设某向量场由A(xyz)P(xyz)iQ(xyz)jR(xyz)k给出其中PQR具有一阶连续偏导数是场内的一片有向曲面n是上点(xyz)处的单位法向量则叫做向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量)而叫做向量场A的散度记作divA即高斯公式的另一形式或其中是空间闭区域的边界曲面而AnAnPcosQcosRcos是向量A在曲面的外侧法向量上的投影§117斯托克斯公式环流量与旋度教学内容：斯托克斯公式环流量与旋度重点难点：斯托克斯公式一、斯托克斯公式定理1设为分段光滑的空间有向闭曲线是以为边界的分片光滑的有向曲面的正向与的侧符合右手规则函数P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在曲面(连同边界)上具有一阶连续偏导数则有记忆方式或其中n(coscoscos)为有向曲面的单位法向量讨论如果是xOy面上的一块平面闭区域斯托克斯公式将变成什么?例1利用斯托克斯公式计算曲线积分其中为平面xyz1被三个坐标面所截成的三角形的整个边界它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则解按斯托克斯公式有由于的法向量的三个方向余弦都为正又由于对称性上式右端等于其中Dxy为xOy面上由直线xy1及两条坐标轴围成的三角形闭区域因此解设为闭曲线所围成的三角形平面在yOz面、zOx面和xOy面上的投影区域分别为Dyz、Dzx和Dxy按斯托克斯公式有例2利用斯托克斯公式计算曲线积分其中是用平面截立方体0x10y10z1的表面所得的截痕若从x轴的正向看去取逆时针方向解取为平面的上侧被所围成的部分的单位法向量即按斯托克斯公式有其中Dxy为在xOy平面上的投影区域于是提示二、环流量与旋度旋度向量场A(P(xyz)Q(xyz)R(xyz))所确定的向量场称为向