行列式的性质

行列式的性质第一章行列式和线性方程组的求解§1.2n阶行列式的概念

设D=称DT为D的转置行列式.a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11

a21…an1

a12

a22

…an2…………a1n

a2n

…ann,DT==D.

定义令DT

=|bij|

n×n,则bij=aji,则DT一.行列式的基本性质性质1.(转置)行列互换值不变,即DT=D.证第2页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.2n阶行列式的概念

设D=称DT为D的转置行列式.a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11

a21…an1

a12

a22

…an2…………a1n

a2n

…ann,DT=

定义一.行列式的基本性质性质1.(转置)行列互换值不变,即DT=D.注：性质1表明关于行的性质对列也成立.第3页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

性质2.(换法)两行(列)互换，行列式的值变号.第4页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

推论.两行(列)相同，行列式值为零,即第5页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

性质3.(倍法)把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k,等于用数k乘以这个行列式,即

推论.如果行列式有两行(列)成比例，则该

行列式为零．第6页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

性质4.(分拆)如果行列式某行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式为两个行列式之和,即

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性质5.(消法)将行列式的某一行(列)的各元素乘以常数加到另一行(列)的对应元素上去,则行列式的值不变,即

第8页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

行列式性质小结性质2(换法)换行(列)变号.推论两行(列)同，值为零.性质3(倍法)某行(列)乘数k,值变为kD.推论两行(列)成比例,值为零.性质4(分拆)D可按某行(列)分拆成两行列式之和.性质5(消法)D的某行(列)乘数

k

加至另行

(列),行列式值不变.性质1(转置)

DT=D.第9页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

例1.计算解

通过行变换将D化为上三角行列式第10页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

小结任一行列式总可以通过行（或列）的“换法”、“倍法”、“消法”化成上（或下）三角形行列式.“三角形法”第11页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

例2.设D=a11…a1m

am1…amm

D1

=……,证明:D=D1D2.b11…

b1nbn1…

bnnD2

=,……a11…

a1m

c11…

c1n

……………………,am1

…ammcm1…

cmn0…0b11…

b1n0…0bn1…

bnn第12页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

a11…a1n

an1…ann

D1

=……,b11…

b1nbn1…

bnnD2

=,……问题c11…

c1ncn1…

cnnD3=,……d11…

d1ndn1…

dnnD4=,……a11…

a1n

c11…

c1n

……………………=an1

…anncn1…

cnn

d11…

d1nb11…

b1n

d11…

dnnbn1…

bnnD1D2

D3D4？×第13页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

讨论将n阶行列式转化为n-1阶行列式计算的问题,即“降阶”.二.行列式按行(列)展开定理定义：在n阶行列式D=|aij|n×n

中,把元素aij所在的第i行和第j列的元素划去,剩余元素构成的n1阶行列式称为元素aij的余子式,记作Mij

.令Aij=(1)i+jMij,称Aij为元素aij的代数余子式.第14页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

第15页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

例3.在行列式中第16页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

定理1.2.n阶行列式D=|aij|n×n等于它的任意一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和,即注2.可作为行列式的等价定义注1.将行列式“降阶”Laplace行列式按行(列)展开定理第17页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

证第18页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

推论.n阶行列式D=|aij|n×n中，有第19页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

证由降阶法,将G

按第j

行展开有第

i行第j行设第20页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

(未写出的元素都是0).例4.计算2n阶行列式D2n=a

ba

bc

dc

d…………第21页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

解:D2n==a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b............a00aabcdd00d

...…0bb00cc0….........……第22页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

=a............aabb0cc0dd00d

...…............0aabbc0cc0dd0...…+(1)2n+1b=adD2(n1)

bcD2(n1)=(ad

bc)D2(n1)=(ad

bc)2D2(n2)=(ad

bc)3D2(n3)=…=(ad

bc)n1

D2=(ad

bc)n.小结当行列式的某一行(或列)含有较多的零，可考虑使用行列式的按行(列)展开定理，

达到“降阶”的目的.第23页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

1.定义法—利用n阶行列式的定义计算;2.三角形法—利用性质化为三角形行列式来

计算；3.降阶法—利用行列式的按行(列)展开定理

对行列式进行降阶计算；4.递推公式法；5.析因法；6.归纳法；7.加边法(升阶法)；n阶行列式的计算方法总结第24页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

例5.计算

n

阶行列式(行和为常数)第25页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

解第26页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

第27页,共31页，2024年2月25日，星期天第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

例6.计算n阶行列式Dn=

a111…