河南省南阳市内乡县高中2024年高考数学四模试卷含解析

河南省南阳市内乡县高中2024年高考数学四模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在的展开式中，含的项的系数是（）A．74 B．121 C． D．2．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（）A． B． C． D．3．给出下列四个命题：①若“且”为假命题，则﹑均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题，，则命题，；④设集合，，则“”是“”的必要条件；其中正确命题的个数是（）A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于()A． B． C． D．5．在区间上随机取一个实数，使直线与圆相交的概率为（）A． B． C． D．6．设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为（）A． B． C． D．7．抛物线的准线方程是，则实数（）A． B． C． D．8．，则与位置关系是()A．平行 B．异面C．相交 D．平行或异面或相交9．已知，，，则的最小值为（）A． B． C． D．10．设i为虚数单位，若复数，则复数z等于()A． B． C． D．011．从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则A． B． C． D．12．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知均为非负实数，且，则的取值范围为______．14．在中，内角的对边分别为，已知，则的面积为___________．15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则__________．16．已知，则展开式的系数为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面四边形(图①)中，与均为直角三角形且有公共斜边，设，∠，∠，将沿折起，构成如图②所示的三棱锥，且使=.（1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）在四棱锥中，底面是平行四边形，底面．（1）证明：；（2）求二面角的正弦值．19．（12分）联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表：年份20102012201420162018需求量（万吨）236246257276286（1）由所给数据可知，年需求量与年份之间具有线性相关关系，我们以“年份—2014”为横坐标，“需求量”为纵坐标，请完成如下数据处理表格：年份—20140需求量—2570（2）根据回归直线方程分析，2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨，问是否能够满足该地区的粮食需求？参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.20．（12分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线与直线的直角坐标方程；（2）若曲线与直线交于两点，求的值.21．（12分）在中，角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．22．（10分）已知为各项均为整数的等差数列，为的前项和，若为和的等比中项，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求最大的正整数，使得.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，2、B【解析】

根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解.【详解】从八卦中任取两卦基本事件的总数种，这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.故选：B【点睛】本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3、B【解析】

①利用真假表来判断，②考虑内角为，③利用特称命题的否定是全称命题判断，④利用集合间的包含关系判断.【详解】若“且”为假命题，则﹑中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为时，不是象限角，故②错误；由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为，所以，所以“”是“”的必要条件，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题.4、B【解析】由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.5、D【解析】

利用直线与圆相交求出实数的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由于直线与圆相交，则，解得.因此，所求概率为.故选：D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，同时也考查了利用直线与圆相交求参数，考查计算能力，属于基础题.6、C【解析】

根据已知条件求得等差数列的通项公式，判断出最小时的值，由此求得的最小值.【详解】依题意，解得，所以.由解得，所以前项和中，前项的和最小，且.故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计算，考查等差数列前项和最值的求法，属于基础题.7、C【解析】

根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.【详解】因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.故选：C【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.8、D【解析】结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交．选D．9、B【解析】,选B10、B【解析】

根据复数除法的运算法则，即可求解.【详解】.故选:B.【点睛】本题考查复数的代数运算，属于基础题.11、B【解析】

由题意知，，由，知，由此能求出．【详解】由题意知，，，解得，，．故选：B．【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．12、A【解析】

化简为，求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式，利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得，问题得解。【详解】函数可化为：，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，又所得到的图象关于轴对称，所以，解得：，即：，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设,可得的取值范围,分别利用基本不等式和，把用代换,结合的取值范围求关于的二次函数的最值即可求解.【详解】因为,，令，则,因为,当且仅当时等号成立,所以,,即,令则函数的对称轴为,所以当时函数有最大值为,即．当且，即，或，时取等号；因为,当且仅当时等号成立,所以,令,则函数的对称轴为,所以当时,函数有最小值为,即，当,且时取等号，所以.故答案为:【点睛】本题考查基本不等式与二次函数求最值相结合求代数式的取值范围;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;基本不等式:和的灵活运用是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.14、【解析】

由余弦定理先算出c，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得，即，解得，故的面积.故答案为：【点睛】本题考查利用余弦定理求解三角形的面积，考查学生的计算能力，是一道基础题.15、【解析】

该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出．【详解】四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，，，侧棱底面，且底面为正方形，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，内切球半径为，故．故答案为．【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.16、【解析】

先根据定积分求出的值，再用二项展开式公式即可求解.【详解】因为所以的通项公式为当时，当时，故展开式中的系数为故答案为：【点睛】此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）取AB的中点O，连接，证得，从而证得C′O⊥平面ABD，再结合面面垂直的判定定理，即可证得平面⊥平面；（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)取AB的中点O，连接，，在Rt△和Rt△ADB中，AB=2，则=DO=1，又C′D=，所以，即⊥OD，又⊥AB，且AB∩OD=O，平面ABD，所以⊥平面ABD，又C′O⊂平面，所以平面⊥平面DAB（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，，所以，，，设平面的法向量为=()，则，即，代入坐标得，令，得，，所以，设平面的法向量为=（），则，即，代入坐标得，令，得，，所以，所以，所以二面角A-C′D-B的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18、（1）见解析（2）【解析】

（1）利用正弦定理求得，由此得到，结合证得平面，由此证得.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，再转化为正弦值.【详解】（1）在中，由正弦定理可得：，，底面，平面，；（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，，设平面的法向量为，由可得：，令，则，设平面的法向量为，由可得:，令，则，设二面角的平面角为，由图可知为钝角，则，，故二面角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19、（1）见解析；（2）能够满足.【解析】

（1）根据表中数据，结合以“年份—2014”为横坐标，“需求量”为纵坐标的要求即可完成表格；（2）根据表中及所给公式可求得线性回归方程，由线性回归方程预测2020年的粮食需求量，即可作出判断.【详解】（1）由所给数据和已知条件，对数据处理表格如下：年份—2014024需求量—25701929（2）由题意可知，变量与之间具有线性相关关系，由（1）中表格可得，，，，.由上述计算结果可知，所求回归直线方程为，利用回归直线方程，可预测2020年的粮食需求量为：（万吨），因为，故能够满足该地区的粮食需求.【点睛】本题考查了线性回归直线的求法及预测应用，属于基础题.20、（1）曲线的直角坐标方程为；直线的直角坐标方程为（2）【解析】

（1）由公式可化极坐标方程为直角坐标方程，消参法可化参数方程为普通方程；（2）联立两曲线方程，解方程组得两交点坐标，从而得两点间距离．【详解】解：（1）曲线的直角坐标方程为直线的直角坐标方程为（2）据解，得或【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题．21、（1）；（2）【解析】

(1)利用正弦定理边化角,再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可.(2)由(1)有,根据正弦定理可得,进而求得的值,再根据三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）由,得,得,由正弦定理得,显然,同时除以,得