【模拟测试】数学高考模拟卷（附答案解析）

高考模拟测试数学试题

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.定义集合运算：A*B={z\z=xy,x^A,yeB},设4={1,2},8={1,2,3},则集合A*3的所有元

素之和为（）

A.16B.18C.14D.8

2.复数z=々一（其中i为虚数单位），则z。=（）

A.1B.3C.5D.6

3.割补法在我国古代数学著作中称为“出人相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平

均思想在几何上的体现.如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在三角形ABC内任取一点，则该点

落在标记“盈”的区域的概率（）

1,1

4.己知々=2。b=10§52»c=l°gy，则。，b,。的大小关系为（）

-25

A.a>b>cB.a>C>b

C.c>a>bD.c>b>a

5.已知下列四个命题，其中真命题个数为（）

①空间三条互相平行的直线a,b,c,都与直线d相交，则。，h,c三条直线共面;

②若直线加_L平面a,直线〃〃平面cr,则〃?J_〃；

③平面ap|平面，=直线加，直线a〃平面a,直线a〃平面则a〃〃八

④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.

A.1B.2C.3D.4

22

6.双曲线C:鼻r一斗=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为Z、工，P是双曲线C上一点，月居，x轴,

ah~

3

tan/P耳鸟=],则双曲线的渐近线方程为（）

A.x±2y=0B.2x±y=0

C＞/3x±y=0D.x±\/3y=0

7.如图所示，流程图所给程序运行结果为S=840,那么判断框中所填入的关于Z的条件是（）

（结束）

A.左<5?B.Z<4?

C.k<3?D.k<2?

8.已知是定义域为R的奇函数，/(l+x)=/(l-x),当OWxWl时，f(x)=ex-l,则2Vx«3时,

/3)的解析式为()

A./(x)=1-ev~2B./(x)=ex~2-1

C./(x)=1-ex~'D./(x)=e'T—l

9.若函数/(x)=sin[yx+?}()</<3)的图象向右平移g个长度单位后关于点(],()]对称，则f(x)

71

在一/上的最小值为()

A.-lB.--C,-立D.戈血

224

10.已知直线x+y=a与圆V+y2=4交于A、B两点,。为坐标原点，|砺+丽|=6|方一砺I，则

实数。的值为（）

A.±2B.+y/2C.±6D.±V6

11.已知A、3是球。的球面上两点，AB=2,过A8作互相垂直的两个平面截球得到圆&和圆。2,若

ZAOlB=9Q°,NA。/=60。，则球的表面积为（）

A.57B.10〃C.15乃D.20万

1Y

12.已知函数/（x）=e*T,g（x）=-+lny,若/（机）=g（〃）成立，则〃一机的最小值为（）

A.l+ln2B.In2C.21n2D.In2-1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.

13.sin20cos10°-cos160°sin10=.

14.在一次跳绳比赛中，35名运动员在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如图所示，若将运动员按跳绳个数由

少到多编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，把7人跳绳个数由少到多排成一列，第一个人跳绳

个数是133,则第5个人跳绳个数是.

1300345668889

141112223344555678

150122333

15.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,C,已知△ABC的面积为厉，b-c=2,

cosA=-,则4的值为______.

4

44

16.在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程G:6+4=1；c2:x+y=1,老师问同学

们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答:

甲：曲线G关于丁=%对称;

乙：曲线G关于原点对称；

丙：曲线G与坐标轴在第一象限围成的图形面积&<；；

TT

T：曲线C?与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2<i；

四位同学回答正确的有（选填“甲、乙、丙、丁”）.

三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,

17.已知公比大于1的等比数列｛4｝的前6项和为126,且4/,3%,2%成等差数列.

(1)求数列｛。”｝的通项公式%;

(H)若数列也｝满足2=2_1+1。824(〃22且“€"*),且4=1,证明：数列的前八项和(,<2.

18.新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足,

设计了一份调查问卷，满分100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：

100位男性居民评分频数分布表

分组频数

[50,60)3

[60,70)12

[70,80)72

[80,90)8

[90,100J5

合计100

100位女性居民评分频数分布表

分组频数

[50,60)5

[60,70)15

[70,80)64

[80,90)7

[90,10019

合计100

(I)求这100位男性居民评分的均值最和方差§2;

(H)已知男性居民评分X服从正态分布N(〃,b2),〃用7表示，a2用S2表示，求P(67.8<X<89.4)；

(III)若规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有99%的把握认为居民是否满意与

性别有关？

附：^/52«7.21P(〃-cr<X<〃+cr)a0.6827,P(/j-2(j<X<ju+2cr)«0.9545,

尸(〃一3cr<X<〃+3b)®0.9973.

n(ad-bc)2

参考公式K?n-a+b+c+d-

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)

而滔)0.100.050.0250.0100.0050001

%02.7063.8415.2046.6357.87910.828

19.已知等腰直角A&R,S4=A8=4,点C,。分别为边SB,SA的中点，沿CO将ASCD折起，得

到四棱锥S-MCG,平面SC。，平面ABCD

(I)过点。的平面a〃平面SBC,平面a与棱锥s-ABCD的面相交，在图中画出交线；设平面a与棱SA

交于点M，写出型的值(不必说出画法和求值理由);

MA

(H)求证：平面S84_L平面S8C.

20.已知点"(一1，一£|，直线PM，PN的斜率乘积为一：，P点的轨迹为曲线C.

(I)求曲线。的方程;

(H)设斜率为左的直线交x轴于T，交曲线C于A,B两点，是否存在攵使得|ATF+|BTF为定值，若

存在，求出的后值；若不存在，请说明理由.

2

21.已知函数/(的="+"*-号(〃6/?).

(1)当。=2时，求函数/(X)的单调区间

(II)若/(X)在(0,+8)上有且仅有一个极小值点，求。的取值范围.

[x=?)t

22.在直角坐标系xOy中，直线/参数方程为1),_6(t为参数)，曲线G的参数方程为

x=2+2cos。

\.八(。为参数)，以该直角坐标系的原点。为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲

y=2sm，

线C2的极坐标方程为p=2\/3cos^-2sin0.

(1)分别求曲线G的极坐标方程和曲线G的直角坐标方程；

⑵设直线/交曲线G于。，A两点，交曲线G于。，B两点,求|A8|的长.

23.已知/(x)=|x+2|-|x-1|

(I)解不等式

21

(H)设/。)的最大值为人如果正实数加，〃满足m+2〃="求一+一的最小值.

mn

答案与解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.定义集合运算：A*B={z|z=xy,xe,设A={1,2},B={1,2,3},则集合A*3的所有元

素之和为()

A.16B.18C.14D.8

［答案］A

［解析］

［分析］由题设，列举法写出集合A*B，根据所得集合，加总所有元素即可.

［详解］由题设知：A*8={1,2,3,4,6},

二所有元素之和1+2+3+4+6=16.

故选：A.

2.复数z=/-(其中i为虚数单位)，则zX=()

2-i

A.1B.3C.5D.6

［答案］C

［解析］

［分析］由复数的相等，结合复数的除法运算求复数，进而求z。

55(2+0

［详解］由2==2+i,

2^7-(2-Z)(2+Z)

z-z=(2+i)(2-z)=5.

故选：C.

3.割补法在我国古代数学著作中称为“出人相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平

均思想在几何上的体现.如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在三角形ABC内任取一点，则该点

落在标记“盈''的区域的概率()

A

［答案］A

［解析］

分析］

易知，“盈”的面积等于“虚''的面积，从而三角形面积等于矩形面积，而“虚''占矩形面积的百分数即“盈''占三

角形的百分数.

［详解］易知，“盈”的面积等于“虚''的面积，从而三角形面积等于矩形面积，而“虚”占矩形面积的百分数即“盈”

占三角形的百分数.“盈"与"虚''的交界点在三角形腰的中点上，易知，"虚'’占矩形面积的四分之一，故‘‘盈"

占三角形面积的四分之一.

故选：A.

4.已知a=2：，h=2,c=l°g］；，则a，b,C的大小关系为（）

一53

A.a>h>cB.a>c>h

C.c>a>hD.c>b>a

［答案］C

［解析］

［分析］利用指对数的性质，比较指对数式的大小.

1-

5

［详解］C=log］-=log25>2>a=2>\>b=log52,

25

c>a>b.

故选：c.

5.已知下列四个命题，其中真命题的个数为（）

①空间三条互相平行的直线a,b,C,都与直线d相交，则a,b,c三条直线共面；

②若直线加，平面a,直线〃〃平面a,则〃?J_”；

③平面an平面夕=直线m，直线a〃平面a，直线a〃平面/，则a〃加；

④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.

A.1B.2C.3D.4

［答案］C

［解析］

［分析］①应用反证法，假设b,。三条直线不共面证明矛盾结论即可；②利用线面垂直的性质及平行的

推论证明结论；③利用平面的基本性质，结合线面平行的性质、平行的推论证明结论；④根据平面基本性

质判断正误即可.

［详解］①若a，b,c三条直线不共面，由平行的直线a,b与直线4相交，即b、。共面，而力，。平

行，则。、。不可能相交，与题设矛盾，正确；

②〃〃面a,若/u面a且〃/〃，又〃?_1_面0即/J_加，则〃_!_〃?，正确；

③过直线a作面/，若面///面/，面71面。=/,而a〃面a,则有〃/面夕，a/〃，又面aD面夕=加，

即〃/加，所以H/加，正确；

④垂直于同一平面的两个平面不一定平行，错误；

故选：C.

fv2

6.双曲线C:j-与=l(a>0/>0)的左、右焦点分别为耳、F2,P是双曲线。上一点，PE,_Lx轴，

ab~

3

tanZPF}F2=-t则双曲线的渐近线方程为()

A.x±2y=0B.2x±y=0

C.\［3x±y=0D.x±\［3y=0

［答案］C

［解析］

扇PF

［分析］由题设可得P(c,±£>),由tan/尸片乙=而皆结合已知，得到齐次方程求服。的数量关系，写出渐

a"2

近线方程即可.

b2

［详解］由题设，K(c,0),由轴，知P(c,±L),

a

•“an仍尸2=康*=；，又"cf

***2c2—3ac—2a2=0»得(2c+a)(c-2。)=0,又C>Q>0,得c=2a,

:.b=®,又渐近线方程y=±-x,即y=±JIr等价于JL;±y=0.

a

故选：C.

7.如图所示，流程图所给的程序运行结果为S=840,那么判断框中所填入的关于2的条件是()

A.k<51B.k<4?

C.Z<3?D.k<22

［答案］B

［解析］

［分析］根据程序输出结果，列出执行步骤及各步的结果，直到出现S=840时，由k的值确定判断框的条件

即可.

［详解］由程序流程的输出结果，知：

1、S=l,k=7：执行循环，5=7,攵=6；

2、5=7,z=6：执行循环，S=42,Z=5；

3、5=42,%=5：执行循环，S=210,Z=4；

4、S=210J=4：执行循环，S=840,Z=3；

由题设输出结果为S=840,故第5步输出结果，此时女=3<4.

故选：B.

8.已知f(x)是定义域为R的奇函数，f(i+x)=f(\-x),当时，/(x)=e'-1,则2WxW3时,

/(X)的解析式为()

A.f(x)=1-ex~2B.f(x)=ex~2-1

C./(x)=l—e'TD.J(x)=e'-'-1

［答案］A

［解析］

［分析］由/(I+X)=/(I-X),得,f(x)对称轴方程为X=1,根据奇偶性得—1WXW0时，f(x)=l-e-x,

再设2WxW3时，/(2-x)=l-/-2可得答案.

［详解］.f(x)是定义域为R的，所以/(一幻=一/(幻，

因为/(l+x)=/(l-x),所以.f(x)的一条对称轴方程为x=1一*，+'=1,

当OWxWl时，f(x)=ex-l,

所以当一IWXWO时，0<—f(-x)=ex-1=-f(x)

所以/(x)=l-

则2«xW3时，—1W2—xWO,

所以/(2—x)=1—/—)=1-e*-2,

即f(x)=1-e-2.

故选：A.

［点睛］本题考查了函数的奇偶性和对称性的应用，关键点是根据奇偶性和对称性求出相应段函数的解析式,

考查了学生分析问题、解决问题的能力.

9.若函数/(x)=sin^x+|j(O<0<3)的图象向右平移葛个长度单位后关于点对称，则f(x)

71

在一万，万上的最小值为()

A1B-C石D瓜-也

224

［答案］C

［解析］

［分析］利用三角函数的平移变换原则以及正弦函数的中心对称点求出①，再由正弦函数的单调性即可求解.

(7T］5

［详解］f(x)=sin(ox+-(0</<3)的图象向右平移二卫个长度单位可得

)

.「(7t~\.(5〃万、

y=sin\co\x----+—=sincox-----a)+—,

LI6j3jI63j

因为(1,0］是此函数的对称中心点，

(2)

-7C57rTC..—

则1一0)----co-\—=kjl>%EZ,

263

解得口=一3%+1,keZ,

又因为0VG<3,

所以当％=0时，69=1,

所以/(x)=sin［

jrTTjr47r

因为---WxS兀，则WxH—W—,

2633

所以—Wsin(x+C41,

213j

所以/(X)在-1，万上的最小值为-3.

L2J2

故选：C

10.已知直线x+y=。与圆X?+y2=4交于A、3两点,。为坐标原点，的+而|=G砺—砺则

实数。的值为()

A.±2B.+>J2C.±6D.土瓜

［答案］D

［解析］

Ul*UUUr-

［分析］根据向量关系可得QA.08=2,即AAOB为等边三角形，由此可得圆心到直线距离为g，建立方

程求得结果.

［详解］由曲+画=6必-得得：｛OA+OB^=3（OA-OB^,

cc-UllUUU

又。为圆Y+y2=4的圆心，则Q4=QB=2,所以Q4.OB=2，

所以|砺，砺|<05/408=2,即cos/AOB=g,所以N408=。，所以AAaB为等边三角形，

则0到直线x+y=a的距离为：d=6

\-a\I-L

即d=~7、，=,3=a=土瓜，

Vl2+12

故选：D.

［点睛］关键点点睛：本题考查直线与圆的相关问题，关键是能够利用向量的关系得到向量间的夹角，从而能

将问题转化为点到直线的距离问题.

11.已知A、3是球。的球面上两点，A6=2,过A3作互相垂直的两个平面截球得到圆。|和圆。2,若

乙40田=90。，ZAO2B=60°,则球的表面积为（）

A.5万B.104C.15万D.20万

［答案］D

［解析］

［分析］令圆Q、圆。2半径分别为由已知条件求4,G，根据圆。|和圆。2的垂直关系求球。的半径，

进而求球体的表面积.

［详解］令圆。I、圆。2半径分别为小。由NAO产=90。，ZAO2B=60°,AB=2,

AB

：—=6.，4=2,且。i到圆。2的距离d=OQ=《-=1，

，若球。的半径为R,则若="2+,2,即球的表面积S=47R2=207.

1y

12.已知函数/(x)=ei,g(x)=-+ln-,若/(利)=g(〃)成立，则〃一团的最小值为()

A.l+ln2B.In2C.2In2D.In2-1

［答案］D

［解析］

［分析］令，=/(，〃)=g(〃)，得到7小〃关于，的函数式，进而可得"一机关于，的函数式，构造函数利用导数

研究单调性并确定最值，即可求〃一机的最小值.

1〃

［详解］令，=/(利)=g(〃)，则e""3='，一+］n-=r,

22

m=3+ln乙〃=2/*即〃—m=2e'；—3—ln「

11

若/i⑺=2e《-3-Inf，则力'«)=2e2--(r>0)，

••〃Q)=0，有，=5，

当0<，<；时，〃(。单调递减；当时，"Q)>0,力。)单调递增；

••"”)min=〃(g)=ln2-l,即〃一团的最小值为ln2—1.

故选：D.

［点睛］关键点点睛：令，=/(m)=g(〃)确定n-m关于r的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上.

13.sin20°cos10°-cos1600sin10=.

［答案《

［解析］

［分析］利用诱导公式，将cos160'转化为-cos20°，然后利用两角和的正弦公式化简求出结果.

［详解］解：sin20°cos100-cos160°sin10°=sin20°cos100+cos20°sin10°

=sin（20+10）=g,

故答案为4.

［点睛］本小题主要考查三角函数诱导公式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.

14.在一次跳绳比赛中，35名运动员在一分钟内跳绳个数的茎叶图，如图所示，若将运动员按跳绳个数由

少到多编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，把7人跳绳个数由少到多排成一列，第一个人跳绳

个数是133,则第5个人跳绳个数是.

1300345668889

141122233445556678

150122333

［答案1145

［解析］

［分析］首先确定抽样间距和第一个人的编号，由等距抽样原则可确定第5个人的编号，由茎叶图可确定结果.

［详解］:35+7=5,二抽样间距为5,又第一个人跳绳个数是133,二第一个人的编号为3号，

,第5个人的编号为3+5x4=23,由茎叶图可知，23号跳绳个数是145.

故答案为：145.

15.在△A8C中，内角A,B,C所对的边分别为h,c,已知AAHC的面积为厉，h-c=2,

cosA=-,则a的值为.

4

［答案］4

［解析］

［分析］根据面积求得8c的值，结合余弦定理解出。的值.

［详解］由cosA='nsinA=—，

44

又S-ABC=g6csina=,解得力c=8.

a-yjb1+c'-2bccosA=-c/+；Z?c

由余弦定理知,

故答案为：4.

44

16.在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程q：、/G+6=l；C2:x+y=1,老师问同学

们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答：

甲：曲线G关于对称；

乙：曲线关于原点对称；

丙：曲线G与坐标轴在第一象限围成的图形面积s<g；

TT

T：曲线。2与坐标轴在第一象限围成的图形面积S2<1；

四位同学回答正确的有（选填“甲、乙、丙、丁”）.

［答案］甲、乙、丙

［解析］

［分析］在曲线G上任取一点（。，0），验证点（仇。）也在曲线G上，可判断甲的正误；在曲线。2上任取一点

（a,b）,验证点（一。,一3也在曲线G上，可判断乙的正误；比较曲线G与直线x+y=i与坐标轴在第一象

限围成的图形面积的大小，可判断丙的正误：曲线C2与圆f+：/=1与坐标轴在第一象限围成的图形面积

的大小，可判断丁的正误.

［详解］对于甲的回答，在曲线G上任取一点（。力），则&+扬=1，

点关于直线y=x的对称点为（仇。），且〃+6=1，

所以，曲线G关于y=x对称，甲的回答正确；

对于乙的回答，在曲线。2上任取一点（。功），则/+/=1，

点（a/）关于原点的对称点为（一一。），则（一a7+（—3"=/+/=1,

所以，曲线C?关于原点对称，乙的回答正确；

对于丙的回答，对于等式«+亦=1,0<y［y<\,可得同理可得OWxWl,

当0<a<l时，a<a，当0<。<1时，b〈加,

在曲线五+石=1（0cx<l,0<y<1）上任取一点（。力），则l=G+〃>a+b，

即点（a,。）在直线x+y=l的下方，如下图所示：

2

直线x+y=l交x轴于点A(1,O),交>轴于点3(0,1),所以，S,<SAOAfi=^xl=l,

丙的回答正确；

对于丁的回答，在曲线x4+y4=i(()<x<l,()<y<l)上任取一点(。力)，

因为0<a<l,0cb<1,则。2>“4,『>b&，

则1="+。4</+廿，即点(",0)在圆f+y2=l外，如下图所示：

圆/+>2=1在第一象限内与两坐标轴围成的区域的面积为2xf=2,所以，S,>-,丁的回答错误.

444

故答案为：甲、乙、丙.

［点睛］关键点点睛：本题考查利用曲线方程研究曲线的几何性质，在判断曲线G、G的对称性时，充分利

用对称性的定义取点加以验证，在判断曲线与坐标轴围成的区域面积时，要注意找一些特殊的图形，观察

图形与图形的位置关系，数形结合加以判断.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，

17.已知公比大于1的等比数列｛4｝的前6项和为126,且4%,3%,2a4成等差数列.

(1)求数列｛叫通项公式见；

(H)若数列也｝满足a=乙1+臃24(〃22且〃eN*),且4=1,证明：数列前〃项和7；<2.

［答案］(I)a“=2"(〃eM)；(H)证明见解析.

［解析］

［分析］(1)利用基本量代换，列方程组求出q和公比(7,得到通项公式；

(2)用累加法求出力，再用裂项相消法求和.

［详解］解：(1)设等比数列｛%｝的公比为4(。>1),前〃项和为S”.

贝ij6%=4a2+2%，整理得q2—3q+2=0,

解得：q=\(舍)或。=2,

解得：4=2.

.,.4=2"(〃eN*)

(II)“22时,bn=bn_x+log2an.

即包一=〃,

b”_i一*=〃一L

b2—bx=2

累加得：么一伪=("2)(二二1)=〃-+”-2,

"122

2

；伪=1,:.b=-----(n>2)

2

2

经检验，当〃=1时，4=1符合上式，.•."=七上

2

」=*^=2仕，〕，

bnn(n+1)\n〃+1人

即证.

［点睛］(1)数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法：③由S.求凡；④由递推公式求通项公式；

(2)数列求和常用方法：

①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法.

18.新冠疫情爆发以来，在党和政府的领导下，社区工作人员做了大量的工作，为总结工作中的经验和不足,

设计了一份调查问卷，满分100分，随机发给100名男性居民和100名女性居民，分数统计如下：

100位男性居民评分频数分布表

分组频数

[50,60)3

[60,70)12

[70,80)72

[80,90)8

[90,10015

合计100

100位女性居民评分频数分布表

分组频数

150,60)5

[60,70)15

[70,80)64

[80,90)7

[90,100]9

合计100

(I)求这100位男性居民评分的均值提和方差$2;

(11)已知男性居民评分乂服从正态分布％(〃,〃)，〃用捻表示，，用S2表示，求P(67.8<X<89.4)；

(HD若规定评分小于70分为不满意，评分大于等于70分为满意，能否有99%的把握认为居民是否满意与

性别有关？

附：\［52«7,2，P(〃—cr<X<〃+cr)aO.6827,P(//-2(j<X</J+2a)*0.9545,

P(4—3cr<X<〃+3b)。0.9973.

n(ad-hc)2

参考公式K2n-a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)

P(K』。)0.100.050.0250.0100.0050.001

*2.7063.8415.2046.6357.87910.828

［答案］(I)75,52；(11)0.8186；(HI)没有.

［解析］

［分析］(I)根据频率分布表数据，直接计算求均值7和方差S?即可;

(JI)由(I)知X~N(75,52),即可求<7,又P(67.8<X<89.4)=P(〃—b<X<4+2cr),结合正态分

布的对称性及已知信息求值即可；

(III)根据频率分布表得到列联表，应用卡方检验公式求左值，比照参考值确定是否有99%的把握认为居民

是否满意与性别有关.

[详解](I)由频率分布表可知：

-55x3+65x12+75x72+85x8+95x57500.

X,——=75,

100100

(55-75)2x3+(65-75)2xl2+(75-75)2x72+(85-75)2x8+(95-75)2x5

、=--------------------------------------------------------------------------

(H)由(I)知：X~N(75,52),则(j=G=江=反句2,

P(67.8<X<89.4)=P(R-cr<X<〃+2cr)=；P(〃一cr<X<〃+b)

+；P(〃—2。<X<〃+2。)=；x0.6827+1x0.9545=0.8186.

/.P(67.8<X<89.4)为为8186

(HI)由已知条件可得：2x2列联表如下:

满意不满意合计

男性8515100

女性8020100

合计16535200

,200x(85x20—80x15)2200

:.k=--------:----------------------=——=0.866，

100x100x165x35231

;%a0.866<6.635,

二没有99%的把握认为是否满意与性别有关.

19.已知等腰直角A9LB,S4=AB=4,点C,。分别为边S3,54的中点，沿CO将ASCO折起，得

到四棱锥S—钻8,平面平面ABCO.

(I)过点。的平面a〃平面S8C,平面a与棱锥S-A8CD的面相交，在图中画出交线；设平面a与棱弘

交于点M，写出型的值(不必说出画法和求值理由)；

MA

(H)求证：平面SE4_L平面SBC.

［答案］(I)图形见解析，1；(H)证明见解析.

［解析］

［分析］(I)过。作DE〃8c交于E，由中位线性质证8COE为平行四边形即可知E为AB的中点，由

SM

平面a〃平面SBC,过E作£M//S3交SA于M，即知M为SA的中点，即可得二.

MA

(II)由题设易证D4，DC，OS两两互相垂直，构建以。为原点，分别以射线ZM，DC、OS的方向

Uli

为X,y,Z轴正方向，建立空间直角坐标系，并确定SB，AB'CB)进而求面S48,面S8C的法向量,

根据法向量的夹角即可证面SBA，面SBC.

［详解］(I)过。作DE〃3c交AB于E，由C，。分别为边SB,SA的中点，即C0//A6,

BCDE为平行四边形，则E为AB的中点，再过E作EW//SB交助于“，

.•.在中，为中位线，即加为54的中点，所得平面a即为平面如下图示，

(II)由题设知：CDHAB,CD1SD

••面SC0J•面ABCO,面SC£>n面ABCD=C£>,SD1CD,SDu面SCD,

.•.SO,面A3GD,又CD,ADu面ABC。，

：.SD工CD,SD1AD,又CDJ.AD,

:.DA，DC，DS三条棱两两互相垂直.

以。为原点，分别以射线ZM,DC、DS的方向为8,>,z轴正方向，建立空间直角坐标系。一孙z,

则A(2,0,0),C(0,2,0),5(0,0,2),5(2,4,0),

.•.丽=(2,4,-2),A6=(0,4,0),CB=(2,2,0),

设平面5A3,平面SBC的法向量分别为〃=(X］，x，zJ,v=(x2,y2,z2),

u-AB=Qy=0,

_，即《取2,则…⑼)，

ii-SB=Q

v-5B=0x2+2y2-z2=0

即＜取々=1，则3=(1,—1,—1),

v-CB=0x2+y2=0

U-Vlxl+lx(-l)

=LILI=/=/==0,

在百

H|M||v|

•••平面S84_L平面SBC.

［点睛］关键点点睛：第二问，根据面面垂直的性质证线面垂直，进而确定线线垂直，进而构建空间直角坐标

系，求出所证平面的法向量，根据法向量的夹角判断平面的关系.

20.已知点可［-1,—g),直线PM，PN的斜率乘积为—:，尸点的轨迹为曲线C.

(1)求曲线(7的方程；

(］］)设斜率为％的直线交x轴于T，交曲线。于A,B两点，是否存在％使得|ATF+|BT『为定值，若

存在，求出的左值；若不存在，请说明理由.

［答案］(I)=+£=l(xw±l)；(H)存在，±走.

［解析］

22

［分析］(I)设设p点坐标为(x,y),根据题意得计算斜率之积即可得：土+匕=l(x#±l)

43V)

(H)设A(x,y),设直线AB为》=g'+〃，与曲线C联立方程并结合弦长公式得:

\AT\2+\BT|2=(加+1)(/+义)="+1)[(必+为y-2yly2

=6/("+)[(3加-4)/+4(3加+4)],再令3加一4=0即可得答案.

(3m+4)

3

[详解](I)设P点坐标为(x,y),则上加土取=一^

33

,7-2y+2_3

x-\x+]4

4(y一|Yy+|j+3(x-l)(x+1)=0

2222

土+21=1,.♦.曲线C的方程为土+21=1（尤*±1）

4343v7

（H）设A（x,y）,B（w，%），设直线