人教A版高中数学必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (三)(含答案解析)

必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题(3)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.平面直角坐标系宜万中，4(1,0),8(0,1),C(2,5),。是AC上的动点，满足前=4万(2eR).

(1)求|2荏+於用勺值；

(2)求COSNB力C；

(3)若前，瓦5,求实数4的值.

2.已知|小=VIU,|b|=遍，a-b=-5>c=xa+(1—x)/?.

(1)当El力时,求实数x的值；

(2)当|c|取最小值时，求向量。与c的夹角的余弦值.

3.已知两个不共线的向量五，石夹角为。，且|©=3,|K|=1，为正实数.

(1)若方+2石与五一4片垂直，求cos。的值;

(2)若。=也求氏五一B|的最小值及对应的x的值，并指出此时向量。与％五-另的位置关系.

(3)若。为锐角，对于正实数相，关于x的方程|%五一至|=方|两个不同的正实数解，且工。m,

求m的取值范围.

4.已知向量五，至满足|24+E|=5且|=1，|石|=3.

(1)求(2万-K)-(3—2»)的值

(2)求|五十方|的值

5.如图，在△力BC中，已知1|襦|=1，|而|=2，/-ACB=60°.

⑴求|而「

(2)已知点。是边48上一点，满足而=4近，点E是边CB上一点，满足能=4能.

①当;1=；时，求荏.方；

②是否存在实数；1(4。0),使得裾1而・若存在，求出力若不存在，说明理由.

6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点4(1,0)和点8(-1,0),|元|=1,且N40C=X,其中。

为坐标原点.

(1)若X=97T,设点O为线段OA上的动点，求|死+成|的最小值;

(2)若xG[0,^-],向量沆—BC,n=(1—cosx,sinx—2cosx),求布•云的最小值及对应的x值.

7.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知向量五=(-1,2),且点4(8,0),C(ks"t),

ee(0,5

⑴若荏i亦且|而I=何耐I，求向量而；

(2)若向量而与向量五共线，当％>4,且ts讥。取最大值4时，求瓦？•无.

8.已知向量五=(1,2),方=(一3,k)，

(1)若五〃3，求同的值;

(2)若方,0+23),求实数k的值；

(3)若方与石的夹角是锐角，求实数A的取值范围.

9.已知向量五与B的夹角为120。，|方|=3,但|=2.

(1)求(2五+B)・①一2石)的值；

(2)求|2方+1|的值.

10.已知⑺=/,|方|=1，五与了的夹角为45。.

(1)求忖+23的值；

(2)若向量(2五一；1方)与(/I苍一33)的夹角是锐角，求实数4的取值范围.

11.已知平面上三个向量五,3兄的模均为1,它们相互之间的夹角均为120

(1)求证:(a-K)1c;

(2)若%五+7+才|>l(keR),求实数％的取值范围.

12.已知平面上三个向量优b，［的模均为1,它们相互之间的夹角均为120。.

(1)求证：(a-b)1c；

(2)若生辛+1+/>i(keR),求A的取值范围.

13.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点2(1,0)和点阮|=1,且zAOC=x,其中。

为坐标原点.

(1)若％=：兀，设点。为线段OA上的动点，求|玩+而|的最小值;

(2)若x6[0,^],向量记=BC,n=(1—cosx,sinx—2cosx),求记•记的最小值及对应的x值.

14.已知同=4,@=8,五与石的夹角为学

(1)求|)+司;(2)求我为何值时，(a+2fe)1(fca-6)

15.在平面直角坐标系xOy中，已知F(2,0),M(-2,3),动点尸满足g|碇•丽|=|再j.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点。(1,0)作直线AB交C于A,B两点,若△”口的面积是A8FD的面积的2倍，求|AB|.

16.如图，己知河水自西向东流速为|%|=lm/s,设某人在静水中游泳的速度为%,在流水中实际

速度为

(1)若此人朝正南方向游去，且|%|=Wm/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角a和艺的大

小；

(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|以|=V3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角A和巧

的大小.

17.已知向量0/=(/lsinl4°,；lcosl4°)，砺=(cos16°,sin16°)，其中O为原点.

(1)若4<0,求向量土彳与方的夹角；(2)若;1=2，求|而

18.已知|己=2,\b\=l>(2a-3h)-(2a+b)=17.

⑴求五与方的夹角和I五+9I的值;

(2)设不=机4+2方，d=2a-b＞若下与Z共线，求实数，”的值.

19.在@4BC中，CA=CB=2,记之=&,5=a，且|k^+b|=我日—kb|(k为正实数)，

(1)求证：@+b)1G-b)；

(2)将：与b的数量积表示为关于A的函数/(k)；

(3)求函数的最小值及此时角A的大小.

20.已知五=(2,-2),b=(-3,2).

⑴求|方一21|的值.

(2)当上为何值时，言+3与方一2方平行？

21.设瓦，石是两个不共线的非零向量，

(1)如果南=瓦(+石，布=2瓦+8瓯而=3®-五)，求证：A、B、。三点共线.

(2)欲使4百+石和宣+k弑共线，试确定实数上的值.

22.已知向量可，心满足:£4,b，5,且W与面的夹角为以求

(1)(2^-b)-(a+3b);

(2)|：$-r-2b.

23.设&,各是两不平行向量，求3否一4委与;1否+卜了2(尢卜€外平行的充要条件・

24.平面上有〃个向量，其中至少有两个向量不共线，且任意n-l个向量的和都与剩下的一个向量

平行，求证：这〃个向量的和是零向量.

25.设耳，,是不共线的非零向量,且。=ex-2e2,b=+3e2.

(1)若4e1—3e?=4a+ub,求心"的值.

(2)若可,右是互相垂直的单位向量，求五与b的夹角8.

26.已知|五|=2,|司=1，(2a-3b)-(2a+b)=17.

(1)求力与石的夹角和|a+B|的值;

(2)设3=ni五+2弓，d=2a-若不与Z共线，求实数，"的值.

27.已知点4(2,—1),B(x,3),C(2,x),。为坐标原点.

(1)若直线。A〃BC,求实数x的值.

(2)是否存在这样的实数x,使得荏与无的方向相反?

28.设/为实数，已知向量五=(1,2)范=(—1").

⑴若t=3,求|五+B|和|方一引的值；

(2)若向量苍+石与五一3方的夹角为135。，求r的值.

29.在AaBC中，sinB—sinC=sin(i4—C).

(1)求角A；

(2)若|四+前j=2近，\'BC\=2,求△ABC的面积.

30.在A/IBC中，AB=1,AC=近，/-BAC=45°,M为BC的中点.

(1)试用荏，就表示而?；

(2)求翁的长.

【答案与解析】

1.答案：解：(1)由题意，AB=(-1,1).AC=(1,5).

2AB+AC=2(-1,1)+(1,5)=(-1,7).

\2AB+AC\=J(-l)2+72=5V2.

⑵cos的C-超而=T+5一巫

⑷COSN8AC-由网V2XV26_13.

(3)AD=AAC&R).

.-.BD^AD-AB=AAC-AB=2(1,5)-(-1,1)=(4+1,5/1-1).

•••BD1~BA，•••(A+1)x1-(5A-1)=0.

解得：A=

解析：本题考查了向量的模，向量的夹角公式、向量垂直与数量积的关系以及向量的坐标运算，考

查了运算求解能力，属于基础题.

(1)由题意求得2南+南=(-1,7)，即可得出|2四+而

(2)利用COSNBAC=濡潟「求解即可.

(3)由而=XAC(A6R).可得丽=AD-AB=4而一荏.根据前1瓦?，可得1)x1-(51-

1)=0.求解即可.

2.答案：解：(1)b1

2

Ab-c=K•[xa+(1—x)K]=xfa-a+(1—x)b——5x+5(1—x)=0>

解得x=

(2)|c|2=[xa+(1—x)b]2=x2a2+2x(1—x)a-£>+(1—%)2b

=10x2-10x(1-x)+5(x-l)2=25x2-20%+5=25(x-|)2+1.

当x=|时，花|2有最小值1,即|现有最小值I.

此时，c=|a+|h.

a-c=a-(-a+-K)=-a2+-a-K=-x10+-X(-5)=1,

555555

设向量正笠的夹角为氏

则858=器=高y/10

10

解析：本题主要考查平面向量的模及数量积的运算、平面向量夹角的运算等，属于中档题.

(1)把向量垂直转化为数量积，解方程即可得解；

(2)先求©2取最小值时X的值，进一步求出的数量积，最后求出夹角的余弦值即可.

3.答案：解：(1)由五+2万与丘一4石垂直，则0+2石)•0-4万)=0，

2L,1—4]

即位+21)•@一41)=2-2ab-8b2=t3-2a-b-8=0,故。=天

故方•K=|a|-|K|cosQ=3cos0=-,故cos。=

26

(2)|%五—b\2=%2a24-Z?-2xa-b=9x2—3V504-1=9(%—^)2+

当％=一时，—方」最小为故氏五—b|的最小值为5

此时五•(?五一尤)=?£一万不=竽一竽=0,故向量方与x五一另垂直.

(3)|xa-K|=|map即氏五一加『=|小五『，展开整理得到9M-6cos。％+1-9症=0,

A=36cos2。—36(1—9m2)>0

管>。,且m>0,解得学vm*

0

{9

取x=m得到97n2-6cos0m+1—9/^h0,即m丰高,

当高制，即cos。即。e[/)时，me(等

当等<焉<9,即8sO>pLsin29<l，即。e(0W)U(%9时，

当月即sin2021,即6=彳时，

6cos834\63/

综上所述：。G将5）时，meG詈湛）,8=即寸,TH6f9,

ee（0,-）uU，E）时，me（£i2_£_2_）（-J—,1）.

J0J

\4/\437'36COSe^6COS63

解析：本题考查向量的数量积公式，考查方程根的研究，考查学生分析解决问题的能力，属于中档

题.

(1)利用五+23与五一4区垂直，(a+2fe)-(a-4b)=0>可得，化简，即可求出cos。；

(2)将模平方，结合二次函数的性质，可求既日-牛的最小值及对应的x的值，利用数量积公式，可

确定向量弓与久五—b的位置关系；

(3)方程|x五一方|=|m五等价于9/-3COS8Y+1-97n2=0,利用关于x的方程一方|=|ma|

有两个不同的正实数解，建立不等式，即可确定结论.

4.答案：解：(1)向量五,另满足|己|=1,|E|=3，|2方+1|=5;

(2a+匕>=4a2+4a-b+b=4+4a-b+32=52>

a-b=3<

(2a-b)-(a-2b)=2a2-5a-h+262

=2-5x3+2x32=5

(2)v(a+b)2=a2+2a-b+K2=1+2x3+32=16

•••|a+6|=4-

解析：本题考查了平面向量数量积与模长公式的应用问题，属于中档题.

(1)根据平面向量的数量积与模长公式，求出砂石，再计算(2五一3)•0—2W；

(2)根据平面向量数量积公式，求出模长|方+石

5.答案：解：(1)△力BC中，CA=1,CB=2,/LACB=60",

因为而=下一襦，

所以荏2=而2+不2_2用.不，

即脉=CA2+CB2-2CA-CB-COSZ.ACB

=12+22-2X1X2XCOS60°=3,

：.AB=V3.即|荏|=V3;

(2)①当/I=3时，AD=^AB,BE=l'BC,

:.D、E分别是48,BC的中点，

.-.AE=AC+CE=AC+-2CB,

CD=^(CA+CB),

.•■AE-CD=(AC+^CBy^(CA+CB)

1—>—>1―>―，1―»―•1—»2

=-AC•CA+-AC-CB+-CB-CA+-CB

2244

1111

=--xl2o4--xlx2xCOS1200+-X2X1XCOS6004--x22

2244

——i.

4,

②假设存在非零实数;l，使得荏1方，

由而=，荏，得而=/1(而一刀)，••.而=刀+而=刀+；1(方一刀)=4方+(1-4)刀;

又屁=4阮，

.■.AE=AB+'BE=(CB-CA')+A(-Cfi)

=(1-A)CS-C\4s

>-->2--»-->--->-->-->2

・•・AE-CD=A(1-A)CB-4CB•CA+(1-A)2CB•。4一(1-A)

=42(1—A)—A+(1—A)2—(1—A)

=-3A2+24=0,

解得；1=1或;l=0(不合题意，舍去).

即存在非零实数4=|,使得荏1CD.

解析：本题考查向量的模，向量的运算，向量的数量积，向量垂直，属于中档题.

(1)由荏=方-不，两边分别平方，结合条件求出A8,即得|布|；

(2)①当”泄，分别表示出荏，而，再用向量的数量积求解荏.而；

②假设存在非零实数人使得前J.而，分别表示出荏，而，由向量垂直的充要条件得荏•前=0,

求解即可得到答案.

6.答案：解:⑴设D(t,0)(04t<l),

又争,

所以元+而=(_孝+心曰)，

所以I元+说|2=i-V2t+t2+|=t2-V2t+1=(t-y)2+1(0<t<1),

所以当t=净寸，I元+而I最小值为争

(2)由题意得(Kdsiiur),TilB«=(ccw+l.sinz),

贝！JTH•77—l一+siirx—

=1—sin2x—cos2x

1-0sin(21+,),

4

因为xe[0,J

所以942x+3《千，

444

所以当2x+弓=£即x=g时，疝(2,+：)取得最大值1,

428

所以X=g时，示•讨一、公皿2/+：•)取得最小值1一V2，

y4

所以沆•记的最小值为1一企，此时X=g.

O

解析：本题考查平面向量的模、数量积的坐标运算和三角函数的恒等变换，最值等，属于基础题.

(1)设n(t,o)(o《t(1),则灵+瓦i=(一日+t,日)，得至ij|小+加产=1-&t+t2+点配方即

可求I元+而।的最小值；

(2)由平面向量的数量积的坐标运算和三角恒等变换得：万・记1-、公皿2『+；,结合xe[0,=]

易求得最小值.

7.答案：解：(1)由题意知四=(九—8,£).

•・.AB1五，

A8—n+2t=0.

又•:V5|oX|=1^1，

・•・5x64=(n-8)2+t2=5t2.

解得£=±8.

当t=8时，n=24;当£=—8时，n=-8,

・・・OB=(24,8)或证=(-8,-8).

(2)由题意知就=(ksinfl-8,t).

・・・万与五共线，

/.t=-2/csinb+16,

tsind=(-2/csin0+16)sin0=-2fc(sin0—软十牛

4

vk>4,-0<-<1,

k

・•・当sin。=［时，tsin。取得最大值此

kk

由票=4,得k=8,此时。=弓，OC=(4,8).

：.OAOC=(8,0)-(4,8)=32.

解析：本题考查向量共线的充要条件，向量的模的计算，向量的坐标运算，向量的数量积运算等知

识.

(1)由题意知荏=(n-8,t)，根据向量的数量积及向量的模的计算列出方程，即可求出〃、r的值，

从而得出向量方房

(2)由题意知正=(ksin6>-8,t)，根据向量共线的条件可得tsin。=-2/c(sin6-J)2+^,由题意中=

4,求出鼠从而求出小，根据向量的数量积运算即可.

8.答案：解：⑴,响量五=(1,2遥=(-3,k)，且五〃石，

•••1xk-2x(-3)=0,解得k=-6,

\b\=J(-3)2+(-6)2=3V5.

(2)va+2b=(-5,2+2/c)，且五1值+2区)，

1x(-5)+2x(2+2k)=0,解得k=

(3):3与五的夹角是锐角，

则4不>0且2与坏共线，

即1x(-3)+2xk>0且k丰-6,

k>~.

2

解析：本题考查的是平面向量的坐标运算，平面向量平行和垂直的性质，平面向量的数量积，平面

向量的模.

(1)由五〃3，可得1xk-2x(—3)=0,即可解得我,从而得出方的模；

(2)因为五+2乃=(―5,2+2k)，J3.a1(3+26),所以1x(—5)+2x(2+2k)=0,即可得出A；

(3)因为B与五的夹角是锐角，则小3>0且五与石不共线，由平面向量数量积运算即可得出答案.

9.答案：解:(1)•••|a|=3,\b\=2,且区石的夹角为120。,

.—»——»1

a-&=|a|­|6|•cosl200=3x2x(--)=-3,

(2a+K).(a-26)=2|a|2-3a-K-2|b|2=2x9-3x(-3)-2x4=19;

(2)|2a+K|2=4|a|2+4a-K+|fe|2=36-12+4=28-

-.\2a+b\=2夕.

解析：本题考查向量的数量积的运算，向量的夹角公式，向量的模，考查计算能力，属于基础题.

(1)先求出为小=-3,再根据向量的数量积计算即可，

(2)先平方，再根据向量的数量积运算即可.

10.答案：解：(1)­..\a+2b\=J(a+2b)2

=J|a|2+4|a||K|cos450+4|K|2

V2+4+4=V10,

\a+2b\=V10;

（2）（23一tK）与（4五一31）的夹角是锐角,

（2a-Ab）-（Aa-3b）>0，且（2五一；1队与（4五一3石）不能同向共线，

由（2五一4万）•Q为一3］）>0得2川a|2-（A2+6）a-K+3A|K|2>0.即；I?-72+6<0,

解得：1<4<6；

若（2五一立）与（4五一3队同向共线，则存在实数k>0,使得2五一百=做/1五一3尤），

所以f?=/Cn,-解得：4=遍；

I一4=—3k

又（2三一;iK）与q五一3万）不能同向共线，所以4力逐，

因此，1<%<乃或<4<6.

解析：本题考查了向量的数量积，向量的夹角以及向量的模，属中档题.

（1）根据向量的模的平方等于向量的平方求解即可；

⑵向量（2为一高）与口五一3励的夹角是锐角，则（21一;1石）.（•一38）>0且Q；-应卢画

3小不能同向共线，列出不等式组则答案可得.

11.答案：解:（1）证明T0—I）•口=。•下一3•下

=|a|­|c|-cosl20°—|b|•|c|-cosl20°=0,

（a-K）1c.

（2）解+1>1o（ka+b+c）2>1，

即1片22

+b+^+2ka-b+2ka-c+2b-c>l-

v|a|=|b|=|c|=1，且W,方,不相互之间的夹角均为120。，

=K2=c2=1>a-b=b-c=a-c=

k2+l-2k>1,即1-2卜>0,

k>2或k<0.

解析：(1)利用向量的分配律及向量的数量积公式求出位-母•A利用向量的数量积为0向量垂直

得证.

(2)利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式将已知等式平方得到关于上的不等式求出

女的范围.

本题考查向量垂直的充要条件、向量模的平方等于向量的平方、向量的数量积公式.

12.答案：解：(1)证明0—方)•mm—方々

=|a|­|c|•cosl20°—||­|c|-cosl20°-0>

(a-b)1c;

(2)解：代年+石+列>1o(k方+3+2)2>i，

22

即1五2+b+S+2ka-b+2ka-c+2b-c>l-

|a|=|b|=|c|=1>且五，石片相互之间的夹角均为120。，

=K2=c2=1>a-b=b-c=a-c=-^,

fc2+1-2/c>1,即k2-2k>0,

•••k.>2或k<0.

则k的取值范围为(一8,0)u(2,+oo).

解析：本题考查向量垂直的充要条件、向量的数量积公式，属于基础题.

(1)利用向量的数量积公式求出(五-5)］，利用向量的数量积为0,则向量垂直得证；

(2)利用向量模的平方等于向量的平方及向量的数量积公式，将已知等式平方得到关于k的不等式,

求出”的范围.

13.答案：解：⑴设。(t,0)(04t(l),

又。(-当净,

所以历+而=(-y+t,y)，

所以|元+而『—或t+t2+：

=t2-\/2t+1=(t-g(04t41)，

所以当£=号时，|旅+说|最小值为日.

(2)由题意得('("NT.sin/),Tnlid■(cot^z4-l.siiu)，

贝lj汀•”=1—CO«2T+siirx—2sin/co«jT

=1—sin2x—cos2x

=1—0sin(2工+7),

I

因为％E[o,g,

所以gC2%4-<尹，

444

所以当2x+£=*即时，sin(2_r+9取得最大值1,

428

所以x=g时，777-7/1-、欠siu(2工+：)取得最小值1一版,

84

所以沆•元的最小值为1一世，此时x=F

O

解析：本题考查平面向量的模、数量积的坐标运算和三角函数的恒等变换，最值等，属于中档题.

(1)设。(t,0)(04t《l),则元+丽=(一立+t,返)，得至1」|走+而产=；一鱼t+t2+3配方即

22NN

可求|走+而I的最小值；

(2)由平面向量的数量积的坐标运算和三角恒等变换得：万•”1一、e3"(2]+彳)，因为xe[0,§,

4乙

则乂2丫+彳《手，易得当x=轲，示•k1一vaiu(21+取得最小值.

444o

14.答案：解：⑴因为同=4,|方|=8,五与棘角是拳

所以五不=|a||K|cosy=4x8x(-|)=-16,

22;

因此+了I=,婆2+12+2"石=V/4+8+2X(-16)=4\/3

(2)因为(N+27)1^0*-1)，

所以(Z+2力)"•才-T)=fea>2-21>2+(2k-1)H.了=0，

整理得16*：-128+(24-l)x(-16)=0,解得k=—7.

即当k=-7值时，(N+27)，(点示-了).

解析：本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能

力，属于基础题.

(1)利用数量积定义及其运算性质即可得出；

(2)由于0+2至)，(卜社一石)，(a+2b)-(fca-K)=0.展开即可得出.

15.答案：解：(1)设P(x,y),则而=(x+2,y-3),而=(2,0),冏=(2-x,-y)，

由支苏•而|=|而|,得|x+2|=，(2—x)2+y2,

化简，得y2=8x,

即动点P的轨迹C的方程为y2=8x；

(2)设A(x“i),B(X2，y2)，

由题意知，SAAFD=l\FD\-\yi\,SABFD=\\FD\-\y2\,

因为△4FD的面积是小BFD的面积的2倍，

所以1%1=21y21，①

设直线AB的方程为x=my+l,

联立,2=8x消去x,得y2_8my_8:0,

(%=my+1

则4=64瓶2+32>0,

71+y2=8m②，y,2=-8③，

由①②③联立，解得m=±%

2

所以|AB|=Vl+m^—y2\

=Vl+m2\24m\—Jl+]x6=彳

解析：【试题解析】

本题考查圆锥曲线中的轨迹问题、直线与抛物线的位置关系、平面向量的数量积和模长，属于中档

题.

⑴设P(无,y),得出而，而，丽的坐标，利用而•而|=|而|,即可求出结果；

(2)设4(与,％),8(X2,丫2)，由题意得出Wil=2仅21，设直线A8的方程为x=my+l,与抛物线方程

联立，结合根与系数的关系，即可求出结果.

16.答案：解：设族=/，丽=五,元=记，

则由题意知可=诟+诟，|次|=1，

根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形.

(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且|而|=4C=B，如下图所示:

则在直角△Q4C中，|五|=0C=4。矣+4c2=2奶，

tan/40C=^=百，又a=Z40C6(0潦)，所以a=%

14J

所以他实际前进方向与水流方向的夹角a为全方的大小为2zn/s；

(2)由题意知乙4。。=今且|五|=|OC|=B，BC=1,如下图所示,

则在直角^OBC中，|五|=。8=7OC2+BC2=2m/s，

tan/BOC=4==—>

V33

又乙8。。6(05)，所以NBOC=g

4O

则”*=等

所以他游泳的方向与水流方向的夹角，为与，女的大小为2m/s.

解析：本题主要考查向量在物理中的应用.

(1)设诃，OB=而=好根据向量加法的运算法则进行求解.

(2)根据向量加法的运算法则以及向量模长的公式进行求解.

17.答案：解：(1)OAOB=Asinl4°cosl60+Acosl4osinl6°=|/l,

网=V(Asinl4°)2+(Acosl40)2=\A\=-A(2<0)，\OB\=1

3(显布>=磊=心，

(0X05)€[0,7r]

所以夹角为I”.

⑵|荏|2=\0B-0A\2=|明2一2次南+|西2

=A2-2(2sinl40cosl6°+Acosl40sinl6°)+1

=A2—A+1

当4=2时，|AB|=V3.

解析：本题考查了向量的夹角、向量的数量积、向量的模，是基础题

(1)由向量的夹角公式可求得答案

(2)由|荏产=|诟一万/2="一4+1,代入％的值可得答案

18.答案：解：(1)|答|=2,|K|=1，(2五一3»)•(2五+石)=”，

4a2-3b2-4a-K=17-

16-3-4a-K=17.

a-b=—1<

所以cos(落==

又ow位，b)<n，

所以充与石的夹角为拳

\a+b\=Ja2+b2+2a-b^^

(2)由(1)可得：苍与B不共线，

c=ma+2d=2为一6,若芸与d共线，

则必存在非零实数4使得：c=Ad»即7n为+2石=4(2方一石)，

所以?n=2尢2=—九

得m=-4.

解析：本题考查了向量的数量积和模的计算，向量的运算法则，向量的夹角和向量共线的充要条件,

属于中档题.

(1)根据(2方一3石),(2方+3)=17求出17=—1，根据数量积关系求出夹角，|有+另|=

孱W求出模长；

(2)根据共线定理必存在4使得：c=Ad>ma+2^=A(2a—K)>求解参数.

19.答案:解：(1)证明：因为同=|司,

所以0+K)-(a-K)=a2-K2=|a|2-|K|2=4-4=0>

所以0+3)1(a-b\

(2)因为％五+1|=>/3\a-kb\>

所以|k五+If=3\a-kb\2>

即H方2+2卜五不+,=3(a2-2ka-b+k2b2)<

8ka-b=(.3-k2>)a2+(3k2-=4(3-fc2)4-4(3/-1)=8+8H，

所以f(k)=E-b=k+?

(3)f®=a-b=k+^>2Jk*=2.

当且仅当卜=机寸，即k=l时，等号成立，

所以外幻的最小值为2,即2b=2，

此时c°sC=]Si=：=£

c7T

•••0<C<71,­,•C=-,

又C4=CB,所以△ABC为等边三角形,

所以4=*

解析：本题考查向量的应用，向量的数量积以及对勾函数性质的应用，考查计算能力.

(1)利用已知条件，结合向量的数量积转化证明：(a+K)1(a-b)；

(2)通过向量的数量积的运算法则，化简向量的模关系，即可将日与石的数量积表示为关于々的函数/"(k)；

(3)利用对勾函数性质求函数/(k)的最小值，求出C的值，判断三角形ABC为正三角形，即可得到

角A的大小.

20.答案:解:(1)因为五一23=(2,-2)-2(-3,2)=(8,-6),

所以2至|=,82+(-6)2=10;

(2)因为k方+石=fc(2,-2)+(-3,2)=(2k-3,-2k+2).

由k4+E与3-2方平行，则8(-2k+2)=-6(2fc-3),

解得k=-p

故当k=W时，kZ+E与日一2方平行.

解析：(1)求出向量五-2万的坐标，即可求解；

(2)求出向量上1+石的坐标，利用向量共线定理即可求解.

本题考查了向量的坐标运算以及向量共线定理，考查了学生的运算能力，属于基础题.

21.答案：解：(1)・.•前=阮+而=2可+8孩+3(前一或)=5®+葭)=5荏，

RD//AB，又就，荏有共同点8，

.•"、B、。三点共线.

(2)设ke1+e2=A(ej*+ke；),化为(k—A)ej*+(1—Afc)Q=0,

•••”一忆'解得k=±l.

解析：(1)利用向量共线定理证明向量前与超共线即可；

(2)利用向量共线定理即可求出.

充分理解向量共线定理是解题的关键.

22.答案：解：(1)IM^,=2a2+5a-b-3b2=2x16+5x4x5cos^-3x25=7;

(2)原式=Jg片—]2日i+4■92=^9x16-12x4x5cos^+4x25=2VH-

解析：本题考查了向量的数量积及向量的模，属于基础题.

(1)根据向量的数量积运算即可求得；

(2)根据公式|五|2=/即可求得.

23.答案:解：若3再一4委与;I瓦+k&(4与6R)平行,

设3若1—4e2=久(A前+k6=xAe^+xk瓦,

・・,我/2是两不平行向量，

・♦•啰:]即—落

当;I=-|k时，4百+k行=百+k孩=一((3再一4杳)，

则；I司t+k£与3&-4&平行，

即3再一4委与;+ke2{k,kGR)平行的充要条件是；I=-|fc.

解析：根据充要条件的定义进行求解即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的证明，利用定义分别证明充分性和必要性是解决本题的关键,

是基础题.

24.答案：证明：不妨设右，记不平行，

由题意得，尻+/H---1■4=4匹，且而+/■!---1■乐=〃局，

所以+U2+的+…+Q九=ASj*+%，且+^3+…+&n=(〃+1)^2，

从而(1+4)瑞=(/1+1)口,

因为说，石不平行，

根据向量共线定理得，1+4=4+1=0,

所以4=〃=—1,石+/H---F诟=2布=一西，

则宣+诙+•••+猊=1

解析：不妨设码，记不平行，由题意得，石+运+…+布=2近，且而+尻+…+或=〃布，变

形可得(1+4)码=(〃+1)石，从而可求4,”，可证.

本题主要考查了平面向量共线定理的应用，还考查了考生分析，解决问题的能力，逻辑推理的核心

素养.

25.答案：解：(1乂方+“石=4®—2硝+"回+3硝=(；1++5+(3〃-2用司，

：4瓦—3筱=4Z+〃b，

,0+〃=4,

"(3M-2A=-3,

・•・a=3,〃=1.

(2)五不=(可-2或)•回+3或=蛾+区运-6行2=-5,

lai=J(瓦一2匹尸=卜2-4部.可+4可2=75)

而I=J(药+3的2=J^2+6可.可+9用2=同,

八a,b-5yJ2

..・8$9=丽=；^=一万'

又•・,0E[0,n],

0=—

4

解析：本题主要考查了平面向量共线的充要条件，向量垂直的性质，向量的数量积，向量的模及向

量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

(1)根据平面向量共线的充要条件可得_3由此可求出入〃的值；

(2)由向量垂直与向量数量积的关系，从而可求出五•],进而利用向量的夹角公式求解即可.

26.答案:解：(l)|a|=2,|K|=1，(2a-3fe)-(2a+K)=17，

4a2-3b2-4a-b=17>

16—3—4五.b=17>

a-b=-1，

所以cos®b)=^=~l，

又0<(万，b)<江，

所以五与方的夹角为半，

|a+b|=Ja2+K2+2a-K=V3!

(2)由(1)可得：五与石不共线，

c=ma+2h»d=2a-b^若不与Z共线，

则必存在2使得：c=Ad»ma+2b=A(2a—b),

所以zn=24,2=—A,

得m=-4.

解析：本题考查了向量的数量积和模的计算，向量的运算法则，向量的夹角和向量共线的充要条件,

属于中档题.

(1)根据(2方一3母•(2元+方)=17求出—1，根据数量积关系求出夹角，|有+方|=

出+黄+2小萨出模长;

(2)根据共线定理必存在4使得：c=Xd，ma+2