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文档简介
门吉一、数的发展史被“数”出来的自然数远古的人类,为了统计捕获的野兽和采集的野果,用划痕、石子、结绳记个数,历经漫长的岁月,创造了自然数1、2、3、4、5、⋯自然数是现实世界最基本的数量,是全部数学的发源地.古代印度人最早使用了“0”.被“分”出来的分数随着生产、生活的需要,人们发现,仅仅能表示整数是远远不行的.如果分配猎获物时,2个人分1件东西,每个人应该得多少呢?于是分数就产生了.分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.被“欠”出来的负数为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需要,人类引进了负数.负数概念最早产生于我国,东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法.公元3世纪,刘徽在注解“九章算术”时,明确定义了正负数:“两算得失相反,要令正负以名之”.不仅如此,刘徽还给出了正负数的加减法运算法则.千年之后,负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。负数的引入,解决了在数集中不够减的矛盾.被“推”出来的无理数2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,引起了数学史上的第一次危机,进而建立了无理数,扩大了数域,为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理,他被扔进大海,为此献出了年轻的生命。无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.自然数整数有理数实数数系的扩充负整数分数无理数x
3
2在有理数集中方程x2
2
0
有解吗?03
:47可以发现数系的每一次扩充,解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾,且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留减加实数除乘解方程x
2
1,x
?我们发现此方程在实数范围类无解,说明现有的数集不能满足我们的需求,那么我们必须把数集进一步扩充。03
:47问题解决:为了解决负数开平方问题,数学家大胆引入一个新数i
,把i叫做虚数单位,并且规定:i
2
1
;实数可以与i进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.03
:47a
bi动动手下列这些数与虚数单位i经过了哪些运算?2
i,
2i,(2
3)i,
2
3i,2
3, 2
303
:47定义:把形如a+bi的数叫做复数(a,b是实数)(a
R,
b
R)虚数单位复数的概念复数全体组成的集合叫复数集,记作:Cz
a
bi实部虚部03
:47自然数整数有理数实数?负整数分数无理数数系的扩充复数虚数03
:47实部
虚部其中i称为虚数单位。讨论观察复数的代数形式复数的分类?z
a
bi(a
R,
b
R)当a=_
_0_且b=_
_0_
_时,则z=0当b=_
_0_时,则z为实数当b
_≠_0_时,则z为虚数当a=_
_0_且b
_≠_0_时,则z为纯虚数03
:47判断1、若a=0,则z=a+bi(a∈R、b∈R)为纯虚数.(假)2、若z=a+bi
(a
∈
R、b
∈
R)为纯虚数,则a=0.
(真)故a=0是z=a+bi
(a
∈
R、b
∈
R)为纯虚数的条件.必要不充分03
:47思
考03
:47复数集与实数集、虚数集、纯虚数集之间有什么关系?1、复数z=a+bi
实数(b
0)
纯虚数(a
0,b
0)
虚数(b
0)
非纯虚数(a
0,b
0)复数的分类纯虚数集2.复数集、虚数集、实数集、纯虚数集之间的关系虚数集复数集C实数集R03
:47想一想03
:47如果两个复数相等,那么它们应满足什么条件呢?如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.即▲(a
,
b,
c,
d
R)a
bi
c
di
a
c
b
d
复数相等知新03
:47两个虚数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。思考03
:47
a
0若a
bi
0(a、b
R)
b
01.若2-3i=a-3i,求实数a的值;03
:47若8+5i=8+bi,求实数b的值;若4+bi=a-2i,求实数a,b的值。说一说例1:完成下列表格(分类一栏填实数、虚数或纯虚数)2
3i01
4
i2
36ii
2实部201
420-1虚部-30360分类虚数实数虚数纯虚数实数03
:47例2:实数m取什么值时,复数z
m
1(m
1)i是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?解:(1)当m
1
0
,即m
1
时,复数z是实数.当m
1
0
,即m
1
时,复数z是虚数.当m
1
0
,且m
1
0
,m即
m1
m
1
0
10时0,复 数z是纯虚数.03
:47变式训练:当实数m为何值时,复数是
(1)实数
(2)虚数
(3)纯虚数m
1或m
1m
1且m
1m
203
:47已知
(x
y)
x
2
y
i
(2x
5)
(3x
y)i
,其中x,y
R,求x与y.解:根据复数相等的定义,得方程组
x
y
2
x
5
x
2
y
3x
y
y
2
x
3得例3:03
:47当堂检测A
-2+3iC
-3+3iB
3-3iD
3+3i为1.以3i-2的虚部为实部,以3i2+3i的实部为虚部的复数是(B)若复数(a
2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为
2
。复数4-3a-a
2i与复数a
2+4ai相等,则实数a的值4_。若方程x2
(m2i)x(2
mi)0至少有一个实数根,求实数m的取值范围若方程至少有一个实数根,求实数m的取值范围0
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