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精品试卷·第2页(共2页)数学八下专题课堂(六)构造三角形的中位线一、已知两边中点,连接构造三角形中位线【例1】如图,在四边形ABCD中,E,F分别是边AB,AD的中点,BC=15,CD=9,EF=6,∠AFE=50°,求∠ADC的度数.分析:连接BD,根据勾股定理逆定理可求出∠BDC=90°,由三角形的中位线定理可求出∠BDA=∠AFE=50°,从而可得出∠ADC的度数.【对应训练】1.如图,在边长为4的等边△ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF⊥AC于点F,G为EF的中点,连接DG.(1)求EF的长;(2)求DG的长.2.如图,四边形ABCD中,AB=10,CD=8,∠ABD=30°,∠BDC=120°,E,F分别是AD,BC的中点,求EF的长.二、已知一边中点,取另一边中点构造三角形中位线【例2】如图,M,P分别为△ABC的边AB,AC上的点,且AM=BM,AP=2CP,BP与CM相交于N.已知PN=1,求PB的长.分析:取AP的中点,利用三角形的中位线定理即可求解.【对应训练】3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,E,F分别是AB,CD的中点.若AC=4cm,BD=6cm,求EF的长度.4.如图,在△ABC中,AB=7,M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,作MF∥AD交AC于点F,CF=11.求AC的长.三、已知一边中点,延长另一边构造三角形中位线【例3】如图,在△ABC中,点M为BC的中点,AD为△ABC的外角平分线,且AD⊥BD.若AB=12,AC=18,求DM的长.【对应训练】5.如图,在△ABC中,AB=9cm,AC=5cm,E是BC的中点.若AD平分∠BAC,CD⊥AD,求DE的长.6.如图,在△ABC中,CE是中线,CD是角平分线,AF⊥CD交CD延长线于点F,AC=7,BC=4,求EF的长.四、已知四边形对边的中点,取对角线中点构造三角形中位线【例4】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点D,E分别在边AB,BC上,且AD=CE=3,M,N分别为线段DE,AC的中点,求线段MN的长.【对应训练】7.如图,在四边形ABCD中,AB与CD不平行,M,N分别是AD,BC的中点,AB=6,CD=3,求MN的取值范围.参考答案一、已知两边中点,连接构造三角形中位线【例1】如图,在四边形ABCD中,E,F分别是边AB,AD的中点,BC=15,CD=9,EF=6,∠AFE=50°,求∠ADC的度数.分析:连接BD,根据勾股定理逆定理可求出∠BDC=90°,由三角形的中位线定理可求出∠BDA=∠AFE=50°,从而可得出∠ADC的度数.解:连接BD,∵点E,F分别是边AB,AD的中点,EF=6,∴EF∥BD,BD=2EF=12,∴∠ADB=∠AFE=50°,在△BDC中,BD2+CD2=122+92=225,BC2=225,∴BD2+CD2=BC2,∴∠BDC=90°,∴∠ADC=90°+50°=140°【对应训练】1.如图,在边长为4的等边△ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF⊥AC于点F,G为EF的中点,连接DG.(1)求EF的长;(2)求DG的长.解:(1)EF=3.(2)连接DE.∵在边长为4的等边△ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,∴DE=2且DE∥AC.∵EF⊥AC,∴DE⊥EF,即∠DEF=90°.∵G为EF的中点,∴EG=12∴DG=DE2.如图,四边形ABCD中,AB=10,CD=8,∠ABD=30°,∠BDC=120°,E,F分别是AD,BC的中点,求EF的长.解:如图,取BD的中点P,连接EP,FP.∵E,F分别是AD,BC的中点,AB=10,CD=8,∴PE∥AB,且PE=eq\f(1,2)AB=5,PF∥CD且PF=eq\f(1,2)CD=4.又∵∠ABD=30°,∠BDC=120°,∴∠EPD=∠ABD=30°,∠DPF=180°-∠BDC=60°,∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°,∴在直角△EPF中,由勾股定理得到:EF=eq\r(EP2+PF2)=eq\r(52+42)=eq\r(41)二、已知一边中点,取另一边中点构造三角形中位线【例2】如图,M,P分别为△ABC的边AB,AC上的点,且AM=BM,AP=2CP,BP与CM相交于N.已知PN=1,求PB的长.分析:取AP的中点,利用三角形的中位线定理即可求解.解:如图所示,取AP的中点D,连接MD,∵AP=2CP,∴AD=DP=CP,∵AM=BM,∴DM是△ABP的中位线,∴DM∥BP,BP=2DM,∴PN是△CDM的中位线,∴DM=2PN=2,∴BP=2DM=2×2=4【对应训练】3.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,E,F分别是AB,CD的中点.若AC=4cm,BD=6cm,求EF的长度.解:取BC的中点H,连接EH,FH.∵E,F分别是AB,CD的中点,∴EH=12AC=2cm,FH=12BD=3cm,EH∥AC,∵AC⊥BD,∴EH⊥FH,即∠EHF=90°,∴EF=EH4.如图,在△ABC中,AB=7,M是BC的中点,AD是∠BAC的平分线,作MF∥AD交AC于点F,CF=11.求AC的长.解:取AC的中点N,连接MN.∵M,N分别是BC,AC的中点,∴MN=12AB=72,MN∥AB易得∠MNC=2∠DAC.∵MF∥AD,∴∠MFN=∠DAC,∴∠MFN=∠FMN,∴FN=MN=72∵CF=11,∴NC=CF-FN=152∴AC=2NC=15.三、已知一边中点,延长另一边构造三角形中位线【例3】如图,在△ABC中,点M为BC的中点,AD为△ABC的外角平分线,且AD⊥BD.若AB=12,AC=18,求DM的长.解:延长BD交CA的延长线交于点E,∵AD为△ABC的外角平分线,∴∠EAD=∠BAD,在△EAD和△BAD中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAD=∠BAD,,AD=AD,,∠ADE=∠ADB,))∴△EAD≌△BAD(ASA),∴AE=AB=12,BD=DE,∴EC=AE+AC=30,∵BM=MC,BD=DE,∴DM是△EBC的中位线,∴DM=eq\f(1,2)EC=15【对应训练】5.如图,在△ABC中,AB=9cm,AC=5cm,E是BC的中点.若AD平分∠BAC,CD⊥AD,求DE的长.解:延长CD交AB于点F.易证△ADF≌△ADC(ASA),∴AF=AC=5,CD=FD,∴BF=AB-AF=4.∵CD=FD,E为BC的中点,∴DE=12BF6.如图,在△ABC中,CE是中线,CD是角平分线,AF⊥CD交CD延长线于点F,AC=7,BC=4,求EF的长.解:延长AF,CB交于点G.易证△ACF≌△GCF(ASA),∴CG=AC=7,AF=GF,∴BG=CG-BC=3.∵AE=BE,AF=GF,∴EF=12BG四、已知四边形对边的中点,取对角线中点构造三角形中位线【例4】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点D,E分别在边AB,BC上,且AD=CE=3,M,N分别为线段DE,AC的中点,求线段MN的长.解:连接CD,取CD的中点H,连接MH,NH.∵M,H分别为DE,CD的中点,∴MH=12CE=32同理可得NH=12AD=32∵∠ABC=90°,即CE⊥AD,∴MH⊥NH,即∠MHN=90°,∴M
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