安徽省安庆市石牌中学高三数学理摸底试卷含解析

安徽省安庆市石牌中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是定义在R上的偶函数,对任意,都有,且,则等于()A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：【知识点】函数的周期性；函数的奇偶性.B4【答案解析】B

解析：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x+4）=f（x）+2f（2），

∴当x=-2时，有f（2）=f（2）+2f（2），即f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，∴f（2015）=f（503×4+3）=f（3），∵f（-3）=2，∴f（-3）=f（3）=2，即f（2015）=2，

故答案为：2【思路点拨】我们通过令特殊值求出的值，然后得到函数的周期，结合奇偶性即可求值.2.设f(x)是(－∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，当时，，则f(x)在处的切线方程为（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】求得在时的导函数，根据偶函数的定义可求得在处的导函数；根据点斜式即可求得切线方程。【详解】当时，，则由是偶函数可得，结合图象特征可知，所以在处的切线方程为，即，故选D.【点睛】本题考查了偶函数的性质，过曲线上一点切线方程的求法，属于基础题。3.已知数列…，则是该数列的

A.第项

B.第项

C.第项

D.第项参考答案：C4.如图，菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为A.

B.

C.

D.9参考答案：D以A点为坐标原点，建立直角坐标系，因为,菱形的边长为2，所以D点坐标为，,因为是中点，所以,设，则点的活动区域为四边形OBCM内（含边界），则，令，得，由线性规划可知，当直线经过点C时，直线的截距最大，此时最大，所以此时最大值为，选D.5.(7)函数的零点个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4参考答案：B6.等差数列{a}中，如果，，数列{a}前9项的和为A.297

B.144C.99

D.66参考答案：C由，得。由，德。所以，选C.7.曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为(

)A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1参考答案：D【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．【解答】解：y′=（）′=，∴k=y′|x=1=﹣2．l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1．故选：D【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则，本题属于基础题．8.已知且,函数在区间上既是奇函数又是增函数,则函数的图象是（

）

参考答案：A略9.定义在上的函数满足且时，，则

（

）A.1

B.

C.

D.参考答案：C10.”a<0”是”函数在区间上单调递增”的

A.必要不充分条件

B.充要条件

C．既不充分也不必要条件

D．充分不必要条件参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则的取值范围为．参考答案：（0，]【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设∠APC=2θ，用θ表示出，求出θ的范围即可得出的范围．【解答】解：设∠APB=2θ，则PA=PB=，当OP取得最小值时，θ取得最大值．圆心C（2，1）到直线x+2y﹣9=0的距离为=，圆的半径为r=1，∴sinθ的最大值为=，∴≤cosθ＜1．∵≤2cos2θ﹣1＜1，即≤cos2θ＜1．=cos2θ=?cos2θ．设cos2θ=t，f（t）==，则f′（t）=，令f′（t）=0得t=﹣1+或t=﹣1﹣，∴f（t）在[，1）上单调递增，∴f（t）的最大值为f（）=，又f（1）=0，∴0＜f（t）≤．故答案为（0，]．12.已知，函数在区间上的最大值是2，则

．参考答案：3或13.已知袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概为

参考答案：14.在区间内随机地取出一个数，使得的概率为

．参考答案：15.已知边长为的空间四边形ABCD的顶点都在同一个球面上，若，平面平面，则该球的球面面积为

.参考答案：20π16.已知直线的极坐标方程为，则点（0,0）到这条直线的距离是

.参考答案：17.（文）已知向量则的最大值为_________．参考答案：3，所以当时，有最大值，所以的最大值为3.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在上单调递减且满足.（1）求的取值范围.（2）设，求在上的最大值和最小值.参考答案：略19.如图1，已知在菱形ABCD中，∠B=120°，E为AB的中点，现将四边形EBCD沿DE折起至EBHD，如图2．（1）求证：DE⊥面ABE；（2）若二面角A﹣DE﹣H的大小为，求平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知可得△ABD为正三角形，再由E为AB的中点，得DE⊥AE，DE⊥BE，利用线面垂直的判定可得DE⊥面ABE；（2）以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系．由二面角A﹣DE﹣H的平面角为，再设AE=1，可得E，A，B，D的坐标，然后分别求出平面ABH与平面ADE的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值求得平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，且∠B=120°，∴△ABD为正三角形，∵E为AB的中点，∴DE⊥AE，DE⊥BE，∴DE⊥面ABE；（2）解：以点E为坐标原点，分别以线段ED，EA所在直线为x，y轴，再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．∵DE⊥面ABE，∴∠AEB为二面角A﹣DE﹣H的一个平面角，则，设AE=1，则E（0，0，0），A（0，1，0），B（0，，），D（，0，0），由，得H（），∴，，设平面ABH的法向量为，则，令y=，得．而平面ADE的一个法向量为，设平面ABH与平面ADE所成锐二面角的大小为θ，则cosθ=||=||=．∴平面ABH与平面ADE所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．20.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．参考答案：(Ⅰ)，，．

…………

6分(Ⅱ)，，又，，，，．…………

12分21.如图，某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．（1）若围墙AP、AQ总长度为200米，如何可使得三角形地块APQ面积最大？（2）已知竹篱笆长为50米，AP段围墙高1米，AQ段围墙高2米，造价均为每平方米100元，若AP≥AQ，求围墙总造价的取值范围．参考答案：【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）设AP=x米，则AQ=200﹣x，△APQ的面积S=x（200﹣x）sin120°，利用基本不等式，可得结论；（2）围墙总造价y=100（AP+2AQ）=10000（sin∠AQP+2sin∠APQ）=10000cos∠AQP，即可得出结论．【解答】解：（1）设AP=x（米），则AQ=200﹣x，所以三角形地块APQ面积S=x（200﹣x）sin120°≤2500（米2）当且仅当x=200﹣x时，取等号．即AP=AQ=100（米），三角形地块APQ面积最大为2500（米2）（2）由正弦定理AP=100sin∠AQP，AQ=100sin∠APQ．故围墙总造价y=100（AP+2AQ）=10000（sin∠AQP+2sin∠APQ）=10000cos∠AQP因为AP≥AQ，所以≤∠AQP＜，∴＜cos∠AQP≤所以围墙总造价的取值范围为（5000，15000]（元）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，正弦定理的运用，属于中档题．22.已知函数，其中为实常数.（1）若在上恒成立，求的取值范围；（2）已知，是函数图象上两点，若在点处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；（3）设定义在区间上的函数在点处的切线方程为，当时，若在上恒成立，则称点为函数的“好点”．试问函数是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．参考答案：解：（1）方法一：在上恒成立，即为在上恒成立，①时，结论成立；②时，函数图象的对称轴为，所以函数在单调递增，依题意，即，所以；③不合要求，综上可得，实数的取值范围是． 4分方法二：在上恒成立等价