安徽省合肥市锦弘中学高三数学文上学期期末试卷含解析

安徽省合肥市锦弘中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数

若关于x的方程f（x）=x+a有且只有两个实根，则实数a的范围是

A

(2,4)

B

[3,4]

C

D

参考答案：B2.将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1所示，则原工件材料的利用率为（材料的利用率=）A、

B、

C、

D、

参考答案：C如图1，不妨设正方体的棱长为1，则切削部分为三棱锥，其体积为，又正方体的体积为1，则剩余部分（新工件）的体积为，故选C．3.（5分）（2013?兰州一模）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3}，N={1，4}，则集合N∩（?UM）等于（）A．{1，2，3，4}B．{1，4，5，6}C．{1，4，5}D．{1，4}参考答案：D略4.设有下面四个命题:若满足，则;:若虚数是方程的根，则也是方程的根::已知复数则的充要条件是:;若复数,则.其中真命题的个数为(

)A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C5.设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：答案：B解析：因为是可导偶函数，所以的图象关于y轴对称，所以在x=0处取得极值，即，又的周期为5，所以，即曲线在处的切线的斜率0，选B6.关于的一元二次方程对任意无实根，求实数的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D7.设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则（+）?（﹣）的值是(

)A．x B．1 C．0 D．﹣1参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用．【分析】根据⊥求出x，代入计算．【解答】解：∵⊥，∴=x﹣2=0，x=2，∴2=5，2=5，∴（+）?（﹣）=2﹣2=0．故选C．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，是基础题．8.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．9 B．10 C．11 D．参考答案：C考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．解答：解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥==1，所以V=4×3﹣1=11．故选：C点评：本题考查了空间几何体的性质，求解体积，属于计算题，关键是求解底面积，高，运用体积公式．9.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别在线段上.以为顶点

的三棱锥的俯视图不可能是（

）参考答案：C10.定义在上的奇函数满足：当时，，则方程的实根的个数为（

）A．1

B.2

C.3

D.5参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线上的三点，向量满足，则函数的表达式为

．参考答案：试题分析：由于是直线上三点，因此，求导得，得，得，得，即考点：1、平面向量的应用；2、导数的计算12.过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________；参考答案：；13.如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，，已知，，则当最大时，三棱锥P-ABC的体积为__________．参考答案：4设，则，，，，当且仅当，即时，等号成立.,故答案为：4

14.已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是．参考答案：4略15.已知为奇函数，当时，，则当时，=_________．参考答案：【分析】当时，，求得；根据奇函数可求得结果.【详解】当时，，为奇函数

本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题.16.已知椭圆是该椭圆的左、右焦点，点，P是椭圆上的一个动点，当的周长取最大值时，的面积为

．参考答案：

17.下列命题：①函数在上是减函数；②点A（1，1）、B（2，7）在直线两侧；③；④数列为递减的等差数列，，设数列的前n项和为，则当时，取得最大值；⑤定义运算则函数的图象在点处的切线方程是其中正确命题的序号是_________（把所有正确命题的序号都写上）.参考答案：②③⑤三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）如图，在三棱锥中，，，设顶点在底面上的射影为．（1）求证:；（2）设点在棱上，且，试求二面角的余弦值．参考答案：解：（1）由平面得，又，则平面，故，…………2分同理可得，则为矩形，又，则为正方形，故．…5分

（2）由（1）的证明过程知为正方形，如图建立坐标系，则，可得，………………8分则，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则由得，…………10分则，即二面角的余弦值为．………………12分19.（本小题满分13分）已知函数（1）求的极值；（2）若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围；（3）设各项为正的数列满足：，求证：．参考答案：解：（1），令，

…………2分当是增函数；当是减函数；∴，无极小值…4分（2）①当时，即，由（1）知上是增函数，在上是减函数，

又当

时，，∴的图象在上有公共点，解得

………7分②当时，上是增函数，∴所以原问题等价于又∴无解

综上，实数a的取值范围是．

…………9分（3）令=1，由（1）知，，假设当时，，则，故

…………11分从而即．

…………13分20.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，BC=CC1，D是A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅱ）当三棱锥C﹣B1C1D体积最大时，求点B到平面B1CD的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连结BC1，交B1C于O，连DO．推导出DO∥A1B，由此能证明A1B∥平面B1CD．（Ⅱ）先求出点C到平面A1B1C1的距离CC1=4，B到平面B1CD的距离与C1到平面B1CD的距离相等．由，能求出点B到平面B1CD的距离．【解答】（本小题满分12分）．证明：（Ⅰ）连结BC1，交B1C于O，连DO．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BB1C1C为平行四边形，则BO=OC1，又D是A1C1的中点，∴DO∥A1B，而DO?平面B1CD，A1B?平面B1CD，∴A1B∥平面B1CD．…（4分）解：（Ⅱ）设点C到平面A1B1C1的距离是h，则=，而h≤CC1=4，故当三棱锥C﹣B1C1D体积最大时，h=CC1=4，即CC1⊥平面A1B1C1．…（6分）由（Ⅰ）知：BO=OC1，∴B到平面B1CD的距离与C1到平面B1CD的距离相等．∵CC1⊥平面A1B1C1，B1D?平面A1B1C1，∴CC1⊥B1D，∵△ABC是等边三角形，D是A1C1中点，∴A1C1⊥B1D，又CC1⊥A1C1=C1，CC1?平面AA1C1C，A1C1?平面AA1C1C，∴B1D⊥平面AA1C1C，∴B1D⊥CD，由计算得：B1D=2，CD=2，∴=2，…（9分）设C1到平面B1CD的距离为h′，由，得：，解得，∴点B到平面B1CD的距离是．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21.已知函数f（x）=|2x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≤2的解集为M．（1）求M；

（2）记集合M的最大元素为m，若正数a，b，c满足abc=m，求证：．参考答案：【考点】不等式的证明；绝对值三角不等式．【分析】（1）由零点分段法，分类讨论，即可求M；

（2）abc=1，利用基本