天津李家深中学高三数学理知识点试题含解析

天津李家深中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为的导函数，则的图象大致是

(

)参考答案：A略2.下图所示茎叶图中数据的平均数为89，则x的值为(

)A.6 B.7 C.8 D.9参考答案：B【分析】根据茎叶图中的数据及平均数的定义得到关于的方程，解方程可得所求．【详解】茎叶图中的数据为：，由数据平均数为89得，解得．故选B．【点睛】解答本题时首先要由茎叶图得到相关数据，解题的关键是要明确茎叶图中茎中的数字表示十位数字，叶中的数字表示各位数字，属于基础题．3.里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．参考答案：6，100004.命题“对任意的”，的否定是

A．不存在

B．存在

C．存在

D．对任意的参考答案：B5.已知点A，B，C在球O的表面上且A=，b=1，c=3．三菱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A．16π B．32π C．20π D．5π参考答案：C【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】利用解三角形得出截面圆的半径r，利用d2+r2=R2，求解R，计算球的表面积．【解答】解：在△ABC中，由a2=b2+c2﹣2bccosA得a=设△ABC的外接圆的圆心为r，则2r=，即r=∵三菱锥O﹣ABC的体积为，∴×h=∴O到平面ABC的距离h=∴球O的半径为R==．∴则球O的表面积为4πR2=20π故选：C6.对于函数，有如下三个命题：①是偶函数；②在区间上是减函数，在区间上是增函数；③在区间上是增函数．其中正确命题的序号是（A）①②

（B）①③

（C）②③

（D）①②③参考答案：A7.2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点，第二棵树在点，第三棵树在点，第四棵树在点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一颗树，那么，第2014棵树所在的点的坐标是（

）

A.(9,44)

B.(10,44)

C.(10.43)

D.(11,43)参考答案：B8.已知集合，，定义函数，点、、，点E为AC的中点，若△ABC的内切圆的圆心为D，且满足（），则满足条件的函数个数是（A）16个

（B）12个

（C）10个

（D）6个参考答案：B9.在平面直角坐标系中，若两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q两点关于直线y=x对称，则称点对P，Q是函数y=f（x）的一对“和谐点对”（注：点对{P，Q}与{Q，P}看作同一对“和谐点对”）已知函数f（x）=，则此函数的“和谐点对”有(

)A．0对 B．1对 C．2对 D．3对参考答案：C【考点】进行简单的合情推理；奇偶函数图象的对称性；反函数．【专题】新定义．【分析】作出f（x）=log2x（x＞0）关于直线y=x对称的图象C，判断C与函数f（x）=x2+3x+2（x≤0）的图象交点个数，可得答案．【解答】解：作出函数f（x）的图象，然后作出f（x）=log2x（x＞0）关于直线y=x对称的图象C，如下图所示：由C与函数f（x）=x2+3x+2（x≤0）的图象有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对．故选C【点评】本题考查的知识点是函数零点个数及判断，数形结合思想是解答本题的关键，而解答的核心在于将问题转化为函数图象的交点个数问题．10.设，则“”是“为偶函数”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，是夹角为的单位向量，则向量与向量的夹角是

．参考答案：12.在等比数列{an}中，如果a3·a4=5，那么a1·a2·a5·a6等于

。参考答案：2513.已知向量与方向相同，，，则___________。参考答案：2.【分析】根据题干得到，进而得到.【详解】∵，∴，∵与方向相同，且，∴，∴.故答案：2.【点睛】这个题目考查了向量的模长的计算，以及向量共线的应用，属于基础题.14.已知，，则

．参考答案：试题分析：因为，所以，可得，故答案为.15.已知，则的值为________．参考答案：略16.根据如图所示的伪代码，输出S的值为

．

S←1I←1While

I≤8S←S+II←I+2EndWhilePrintS

参考答案：17【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=9时不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I≤8，S=2，I=3满足条件I≤8，S=5，I=5满足条件I≤8，S=10，I=7满足条件I≤8，S=17，I=9不满足条件I≤8，退出循环，输出S的值为17．故答案为．17.设函数cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．（1）求证：AB2=DE?BC；（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．参考答案：考点：相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；证明题．分析：对于（1）求证：AB2=DE?BC，根据题目可以判断出梯形为等腰梯形，故AB=CD，然后根据角的相等证△CDE相似于△BCD，根据相似的性质即可得到答案．对于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．根据弦切公式可得PC2=PD?PB，然后根据相似三角形边成比例的性质求出PD和PB代入即可求得答案．解答： 解：（1）∵AD∥BC∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC，∴△CDE∽△BCD，∴，∴CD2=DE?BC，即AB2=DE?BC．（2）由（1）知，，∵△PDE∽△PBC，∴．又∵PB﹣PD=9，∴．∴．∴．点评：此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题，其中应用到弦切公式，题目属于平面几何的问题，涵盖的知识点比较多，有一定的技巧性，属于中档题目．19.(本小题满分12分)已知数列的前项和为,且满足().(Ⅰ)求证:数列为等比数列；(Ⅱ)若,求的前项和.参考答案：(Ⅰ)当时,,解得；……1分当时,,,两式相减得,…3分化简得,所以数列是首项为,公比为的等比数列.…5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,所以,下提供三种求和方法供参考:………6分[错位相减法]

…8分两式相减得…9分…10分,…11分所以数列的前项和.…12分[并项求和法]当为偶数时,,；…9分当为奇数时,为偶数,；………………11分综上,数列的前项和.…12分[裂项相消法]因为……………9分所以所以数列的前项和.…12分20.（本小题满分15分）已知函数，若在上的最小值记为.（1）求；（2）证明：当时，恒有.参考答案：（1）因为，①当时，若，则，，故在上是减函数；若，则，，故在上是增函数；所以，.②当，则，，，故在上是减函数，所以，综上所述，.（2）令，①当时，，若，得，所以在上是增函数，所以在上的最大值是，且，所以，故.若，，则，所以在上是减函数，所以在上的最大值是，令，则，所以在上是增函数，所以即，故，②当时，，所以，得，此时在上是减函数，因此在上的最大值是，故，综上所述，当时恒有.

21.一投掷飞碟的游戏中，飞碟投入红袋记2分，投入蓝袋记1分，未投入袋记0分．经过多次试验，某人投掷100个飞碟有50个入红袋，25个入蓝袋，其余不能入袋．（1）求该人在4次投掷中恰有三次投入红袋的概率；（2）求该人两次投掷后得分的数学期望．参考答案：（1）“飞碟投入红袋”，“飞碟投入蓝袋”，“飞碟不入袋”分别记为事件A，B，C．则

因每次投掷飞碟为相互独立事件，故4次投掷中恰有三次投入红袋的概率为-（2）两次投掷得分的得分可取值为0，1，2，3，4则：

；22.已知函数f（x）=x3+x2﹣ax（a∈R）．（1）当a=0时，求与直线x﹣y﹣10=0平行，且与曲线y=f（x）相切的直线的方程；（2）求函数g（x）=﹣alnx（x＞1）的单调递增区间；（3）如果存在a∈[3，9]，使函数h（x）=f（x）+f′（x）（x∈[﹣3，b]）在x=﹣3处取得最大值，试求b的最大值．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）根据导数与函数切线斜率的关系，求得斜率，由点斜式写出切线方程；（2）利用导数判断函数的单调性求得函数的单调递增区间即可；（3）利用导数求函数的最值的方法，通过分类讨论得出b的最大值．解答：解：（1）设切点为T（x0，x03+x02），由f′（x）=3x2+2x及题意得3x02+2x0=1．

…（2分）解得x0=﹣1，或x0=．所以T（﹣1，0）或T（，）．所以切线方程为x﹣y+1=0或27x﹣27y﹣5=0．

…（4分）（2）因为g（x）=x2+x﹣a﹣alnx（x＞1），所以由g′（x）=2x+1﹣＞0，得2x2+x﹣a＞0．

…（6分）令φ（x）=2x2+x﹣a（x＞1），因为φ（x）在（1，+∞）递增，所以φ（x）＞φ（1）=3﹣a．当3﹣a≥0即a≤3时，g（x）的增区间为（1，+∞）；

…（8分）当3﹣a＜0即a＞3时，因为φ（1）=3﹣a＜0，所以φ（x）的一个零点小于1、另一个零点大于1．由φ（x）=0得零点x1=＜1，x2=＞1，从而φ（x）＞0（x＞1）的解集为（，+∞），即g（x）的增区间为（，+∞）．

…（10分）（3）方法一：h（x）=x3+4x2+（2﹣a）x﹣a，h′（x）=3x2+8x+（2﹣a）．因为存在a∈[3，9]，令h′（x）=0，得x1=，x2=．当x＜x1或x＞x2时，h′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，h′（x）＜0．所以要使h（x）（x∈[﹣3，b]）在x=﹣3处取得最大值，必有解得a≥5，即a∈[5，9]．

…（13分）所以存在a∈[5，9]使h（x）（x∈[﹣3，b]）在x=﹣3处取得最大值的充要条件为h（﹣3）≥h（b），即存在a∈[5，9]使（b+3）a﹣（b3+4b2+2b﹣3）≥0成立．因为b+3＞0，所以9（b+3）﹣（b3+4b2+2b﹣3）≥0，即（b+3）（b2+b﹣10）≤0．解得≤b≤，所以b的最大值为．…（16分）方法二：h（x）=x3+4x2+（2﹣a）x﹣a，据题意知，h（x）≤h（﹣3）在区间[﹣3，b]上恒成立．即（x3+27）+4（x2﹣9）+（2﹣a）（x+3）≤0，（x+3）（x2+x﹣1﹣a）≤0

①．若x=﹣3时，不等式①成立；若﹣3＜x≤b时，不等式①可化为x2+x﹣1﹣a≤0，即x2+x≤1+a

②．…（13分）令ψ（x）=x2+