湖南省娄底市常林中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省娄底市常林中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中M为数字0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数依次为，则一定有(

)

A．

B．

C．

D．的大小不确定参考答案：B2.已知平面、，直线、，下面的四个命题①；②；③；④中，所有正确命题的序号是（

）（A）①②（B）②③（C）①④（D）②④参考答案：A略3.设集合A={－1,0,1}，B={x|x2=x}，则A∩B=（

）A．{1}

B．{－1}

C．{0,1}

D．{－1,0}参考答案：C，，，故选C.

4.已知集合，，则

A.

B．

C．

D．参考答案：C5.集合，，若，则实数的取值范围是（

）A．

参考答案：D6.若，则（

）A． B． C． D．参考答案：【知识点】数值大小的比较．

E1【答案解析】B

解析：∵a=30.5＞30=1，0＜ln1＜b=ln2＜lne=1，c=logπsin＜logπ1=0，∴a＞b＞c．故选：B．【思路点拨】利用对数函数和指数函数的单调性比较大小．7.若函数又，且的最小值为的正数为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B8.某商场有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有40种、30种和20种,现采用分层抽样的方法抽取样本进行安全检测，若果蔬类抽取8种，则奶制品类应抽取的种数为A.4

B.5

C.6

D.7参考答案：C9.设函数的定义域为，，对于任意的，，则不等式的解集为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B10.（5分）已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex﹣2，对于?a∈R，?b∈（0，+∞）使得g（a）=f（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．ln2B．﹣ln2C．D．e2﹣3参考答案：A【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】：不妨设g（a）=f（b）=m，从而可得b﹣a=2?﹣lnm﹣2，（m＞0）；再令h（m）=2?﹣lnm﹣2，从而由导数确定函数的单调性，再求最小值即可．解：不妨设g（a）=f（b）=m，∴ea﹣2=ln+=m，∴a﹣2=lnm，b=2?，故b﹣a=2?﹣lnm﹣2，（m＞0）令h（m）=2?﹣lnm﹣2，h′（m）=2?﹣，易知h′（m）在（0，+∞）上是增函数，且h′（）=0，故h（m）=2?﹣lnm﹣2在m=处有最小值，即b﹣a的最小值为ln2；故选：A．【点评】：本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果对于函数的定义域内任意两个自变量的值，当时，都有且存在两个不相等的自变量，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有________个．参考答案：9试题分析：由题意，若函数g（x）是三对一的对应，则有{1，2，3}对应1；{1，2，3}对应2；{1，2，3}对应3三种方式，故此类函数有三种，若函数是二对一的对应，则有{1，2}对1，3对2；；{1，2}对1，3对3，有两种；1对1，{2，3}对2；1对1，{2，3}对3，有两种；1对2，{2，3}对3，有一种；若函数是一对一的对应，则1对1，2对2，3对3，共一种；综上，这样的g（x）共有3+2+2+1+1=9种.考点：1.函数单调性的性质；2.分类讨论的思想方法12.在二项式的展开式中，若第项是常数项，则

参考答案：6试题分析：，，．考点：二项式定理的应用．【名师点睛】二项展开式的通项与数列的通项公式类似,它可以表示二项展开式的任意一项,只要n,r确定,该项也就随之确定.利用二项展开式的通项可以求出展开式中任意的指定项,如常数项、系数最大的项、次数为某一确定值的项、有理项等.13.在极坐标系中，极点到直线的距离是_____．参考答案：把极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出极点到直线的距离，，即普通方程为，则极点到直线的距离为.14.已知向量，实数满足则的最大值为

.参考答案：16略15.已知数列{an}满足,,若[x]表示不超过x的最大整数，则

．参考答案：116.已知函数的图像过A（3，7），则此函数的最小值是_______。参考答案：617.已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，，则方程在区间[－3,5]内的所有零点之和为

．参考答案：4因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称，把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点)对称，则，又因为，所以，从而，再用替换可得，所以，即函数的周期为2，且图象关于直线对称，如图所示，区间内有8个零点，所有零点之和为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数在区间上有最小值1和最大值4，设.（I）求的值；（II）若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围.参考答案：【知识点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系．B5B9（Ⅰ）（Ⅱ）

解析：（Ⅰ），因为，所以在区间上是增函数，故，解得．

…………6分（Ⅱ）由已知可得，所以,可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以的取值范围是.

……12分【思路点拨】（Ⅰ）由函数，，所以在区间上是增函数，故，由此解得a、b的值．（Ⅱ）不等式可化为，故有，，进而求出的最大值，从而求得k的取值范围．19.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，，且c=1．（Ⅰ）求tanA；（Ⅱ）求△ABC的面积．参考答案：考点：解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：综合题．分析：（Ⅰ）利用两角和的正切函数公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan（B+C）的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式得到tanA等于﹣tan（B+C），进而得到tanA的值；（Ⅱ）由（I）求出的tanA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，再由tanB和tanC的值，得到B和C的范围及大小关系，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinB和sinC的值，由c的值，sinB和sinC的值，利用正弦定理即可求出a的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把a，c和sinB的值代入即可求出面积．解答：解：（I）因为，，，（1分）代入得到，．（3分）因为A=180°﹣B﹣C，（4分）所以tanA=tan（180°﹣（B+C））=﹣tan（B+C）=﹣1．（5分）（II）因为0°＜A＜180°，由（I）结论可得：A=135°．（7分）因为，所以0°＜C＜B＜90°．（8分）所以sinB===，sinC===，（9分）由c=1及得：，（11分）所以△ABC的面积S==×1××=．（13分）点评：此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用正弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意利用tanB和tanC的值确定出B和C的范围及大小．20.已知有穷数列，，，，，若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列．对于数列，定义如下操作过程从中任取两项，，将的值添在的最后，然后删除，，这样得到一个项的新数列，记作（约定：一个数也视作数列）．若还是数列，可继续实施操作过程．得到的新数列记作，，如此经过次操作后得到的新数列记作．（Ⅰ）设，，，，请写出的所有可能的结果．（Ⅱ）求证：对数列实施操作过程后得到的数列仍是数列．（Ⅲ）设，，，，，，，，，，，求的所有可能的结果，并说明理由．参考答案：（）有如下种可知结果：，，；，，；，，；，，；，，；，，．（）证明：∵，，有：且，∴．故对数列实施操作后得到的数列仍是数列．（）由题意可知中仅有一项，对于满足，的实数，定义运算：，下面证明这种运算满足交换律和结合律．∵，且，∴，即该运算满足交换律．∵，．∴，即该运算满足结合律，∴中的项与实施的具体操作过程无关．选择