江西省吉安市万安第二中学高三数学理联考试题含解析

江西省吉安市万安第二中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.分别为双曲线的左、右焦点，抛物线的焦点为，点P为双曲线M与抛物线N的一个交点，若线段的中点在y轴上，则该双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=(

) A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．3.已知偶函数满足，当时，；若函数有3个零点，则k的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先根据奇偶性确定周期性，再根据图象确定有3个零点的条件，解得结果.【详解】为偶函数，所以周期为4，根据偶函数以及当时，作出图象，结合图象要使图象确定有3个零点，需解得故选A【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性以及函数零点，考查综合分析求解能力，属基础题.4.已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=﹣f（x+1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（） A．3 B． 4 C． 5 D． 6参考答案：B略5.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值可以为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C6.阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的值为

A．

B．

C．

D．参考答案：A7.为了得到函数的图像，只需把函数的图像（A）向左平移个长度单位

（B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位

（D）向右平移个长度单位参考答案：B8.若变量x,y满足约束条件则的最大值为A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：A略9.若关于x的方程（x﹣2）2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|（e为自然对数的底数）有且仅有6个不等的实数解，则实数a的取值范围是（）A．（，+∞） B．（e，+∞） C．（1，e） D．（1，）参考答案：D【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令g（x）=|x﹣2|ex，则方程有6解等价于g2（x）﹣2ag（x）+a=0有6解，判断g（x）的单调性得出g（x）=t的根的分布情况，得出方程t2﹣2at+a=0的根的分布情况，利用二次函数的性质列不等式组解出a的范围．【解答】解：∵（x﹣2）2ex+ae﹣x=2a|x﹣2|，∴（x﹣2）2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0，令g（x）=|x﹣2|ex=，则g′（x）=，∴当x≥2或x＜1时，g′（x）＞0，当1＜x＜2时，g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴当x=1时，g（x）取得极大值t（1）=e，又x→﹣∞时，g（x）→0，g（2）=0，x→+∞时，g（x）→+∞，作出g（x）的函数图象如图所示：令g（x）=t，由图象可知：当0＜t＜e时，方程g（x）=t＜有3解；当t=0或t＞e时，方程g（x）=t有1解；当t=e时，方程g（x）=t有2解；当t＜0时，方程g（x）=t无解．∵方程（x﹣2）2e2x﹣2a|x﹣2|ex+a=0有6解，即g2（x）﹣2ag（x）+a=0有6解，∴关于t的方程t2﹣2at+a=0在（0，e）上有2解，∴，解得1＜a＜．故选D．10.已知集合A={x|x+2＞0}，B={x|x2+2x﹣3≤0}，则A∩B=（）A．[﹣3，﹣2） B．[﹣3，﹣1] C．（﹣2，1] D．[﹣2，1]参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，B={x|x2+2x﹣3≤0}={x|﹣3≤x≤1}，则A∩B={x|﹣2＜x≤1}=（﹣2，1]．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，AA1=3，E是线段A1B1上一点，若二面角A﹣BD﹣E的正切值为3，则三棱锥A﹣A1D1E外接球的表面积为．参考答案：35π【考点】球的体积和表面积．【分析】如图所示，求出三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为，问题得以解决．【解答】解：过点E作EF∥AA1交AB于F，过F作FG⊥BD于G，连接EG，则∠EGF为二面角A﹣BD﹣E的平面角，∵tan∠EGF=3，∴=3，∵EF=AA1=3，∴FG=1，则BF==B1E，∴A1E=2，则三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为=，则其表面积为35π，故答案为：35π12.在△中，，，，则__

__；参考答案：13.中，角的对边分别为，当最大时，

．参考答案：14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为

.参考答案：15.以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆x2+y2﹣2x+6y+9=0圆心的抛物线方程是．参考答案：y2=9x或x2=y【分析】首先将圆方程化成标准形式，求出圆心为（1，﹣3），当抛物线焦点在y轴上时，设x2=2py，将圆心代入，求出方程；当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，将圆心代入，求出方程．【解答】解：圆方程x2+y2﹣2x+6y+9=0化为（x﹣1）2+（y+3）2=1，可得圆心坐标为（1，﹣3），（1）当抛物线焦点在y轴上时，设x2=2py，p=﹣，∴x2=﹣y；（2）当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，p=，∴y2=9x．故答案为：y2=9x或x2=y．【点评】本题考查了抛物线和圆的标准方程，但要注意抛物线的位置有在x轴和y轴两种情况，属于基础题．16.已知实数x，y，z满足则xyz的最小值为

．参考答案：由xy+2z=1，可得z==．可得5=x2+y2+，≥±2xy+，化为：x2y2+6xy﹣19≤0，或：x2y2﹣10xy﹣19≤0．解出经过比较利于二次函数的单调性可得．解：由xy+2z=1，可得z==．∴5=x2+y2+≥2|xy|+，化为：x2y2+6xy﹣19≤0，或：x2y2﹣10xy﹣19≤0．由x2y2+6xy﹣19≤0，解得：0≤xy≤﹣3+2．由x2y2﹣10xy﹣19≤0，解得：5≤xy≤0．∴xyz=xy×=+，可得：经过比较利于二次函数的单调性可得：xy=5时，xyz取得最小值为．故答案为：．17.已知，若，则的取值范围是

▲

；参考答案：[2，+￥

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某科考试题中有甲、乙两道不同类型的选做题，且每道题满分为10分，每位考生需从中任选一题作答．（1）A同学将自己在该考试中历次的选题及得分情况统计如下：选甲题8次，得分分别为：6，10，10，6，6，10，6，10选乙题10次，得分分别为：5，10，9，8，9，8，10，8，5，8某次考试中，A同学的剩余时间仅够阅读并解答出甲、乙两题中的某一道题，他应该选择甲题还是乙题？（2）某次考试中，某班40名同学中选择甲、乙两题的人数相等，在16名该选做题获得满分的同学中有10人选的是甲题，则在犯错误概率不超过1%的情况下，判断该选做题得满分是否与选题有关？参考公式：K2=参考数据：P（K2≥k0）0.10.010.001k02.7066.63510.828参考答案：【考点】BO：独立性检验的应用；BC：极差、方差与标准差．【分析】（1）计算甲、乙两题得分的平均数与方差，比较即可；（2）根据题意，填写2×2列联表，计算K2的观测值k，对照临界值表即可得出结论．【解答】解：（1）计算甲、乙两题得分的平均数分别为=×（6+10+10+6+6+10+6+10）=8，=×（5+10+9+8+9+8+10+8+5+8）=8，甲、乙两题得分的方差为=×[（6﹣8）2+…+（10﹣8）2]=4，=×[（5﹣8）2+…+（8﹣8）2]=2.8，因此选择乙题更加稳妥；（2）根据题意，填写2×2列联表如下；

甲乙总计满分10616非满分101424总计202040因此K2的观测值k==≈1.667＜6.635，则在犯错误概率不超过1%的情况下，判断该选做题得满分是否与选题无关．19.(本题满分12分)已知的顶点，顶点在直线上；(Ⅰ).若求点的坐标；(Ⅱ).设，且，求角.参考答案：（I）(II).(Ⅰ).设，……2分即

……5分

……6分(Ⅱ).设，

…8分

……10分再根据余弦定理的

……12分20.△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2﹣a2+bc=0，（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC面积S△ABC的最大值．参考答案：解：（1）∵△ABC中，b2+c2﹣a2+bc=0，∴b2+c2﹣a2=﹣bc因此cosA===﹣∵A为三角形的内角，∴A=；（2）∵b2+c2﹣a2+bc=0，∴a2=b2+c2+bc=3，得b2+c2=﹣bc+3≥2bc解之得bc≤1，当且仅当b=c=1时等号成立∵△ABC面积S△ABC=bcsinA=bc∴当且仅当b=c=1时，△ABC面积S△ABC的最大值为．略21.（12分）已知函数，其中。（1）当a=3，b=-1时，求函数的最小值；（2）当a>0，且a为常数时，若函数对任意的，总有成立，试用a表示出b的取值范围。参考答案：（1）当时，∴∵，∴时，；时，即在上单调递减，在上单调递增∴在处取得最小值，即。（2）由题意，对任意的，总有成立。令，，则函数在上单调递增∴在上恒成立，∴在上恒成立。构造函数则∴F（x）在上单调递减，在上单调递增（i）当，即时，F（x）在上单调递减，在上单调递增∴∴，从而（ii）当，即时，在上单调递增，从而综上，当时，，时，22.已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c∈R，且=m，求证：a+2b+3c≥9．参考答案：【考点】带绝对值的函数；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）由条件可得f（x+2）=m﹣|x|，故有m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，即|x|≤m