山西省太原市同心外国语学校高三数学理联考试题含解析

山西省太原市同心外国语学校高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，，若当时，恒成立，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.若纯虚数满足,则实数等于

（

）（A）-2

（B）2

（C）-8

（D）8

参考答案：D略3.下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是(

) A．y=3x B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=参考答案：B考点：函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数和单调性的定义分别进行判断即可．解答： 解：A．y=3x在（0，+∞）单调递增，但为非奇非偶函数，不成立．B．y=|x|+1为偶函数，当x＞0时，y=|x|+1=x+1，为增函数，满足条件．C．y=﹣x2+1为偶函数，当x＞0时，函数为减函数，不满足条件．D．y=在（0，+∞）单调递增，但为非奇非偶函数，不成立．故选：B．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性和奇偶性的性质．4.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为

（

）

A．

B.

C．

D．参考答案：B5.若,则“的图象关于成中心对称”是“”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B6.已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为A．

B．

C．2

D．参考答案：D设，渐近线方程，对称点，，，解得：，，代入到双曲线方程得:,化简得：，选.

7.将函数的图象按向量平移后所得的图象关于对称，则向量的坐标可能为：A．

B．C．

D．

参考答案：B略8.的渐近线方程为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C9.设向量，，且，则等于Ａ．

B．

Ｃ．

D．参考答案：D10.已知向量满足，若对于每一确定的的最大值和最小值分别为,则对任意的最小值是（▲）A. B. C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，若，则实数的值为____________．参考答案：6略12.已知，，与的夹角为，与的夹角为锐角，求的取值范围________参考答案：且试题分析：，由于与的夹角为锐角，因此且，与不共线同向，，解得，当与共线时，，即，，得，由于不共线，所以的取值范围且考点：向量夹角的应用．13.不等式组表示的平面区域内的整点（横坐标、纵坐标均为整数）坐标是

.参考答案：答案：

14.已知中，若为的重心，则

．参考答案：415.已知向量满足且、则与

的夹角为

参考答案：16.已知数列满足，则数列的通项_______________.参考答案：

17.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）．则点到曲线上的点的距离的最小值为

．

参考答案：4：由点的极坐标为，得点的直角坐标即M（4，4），由曲线的参数方程（为参数），消去参数得普通方程为：，∴圆心为A（1，0），半径r=1，由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex，其中e是白然对数的底数，e=2.71828…（I）若函数φ（x）=f（x）﹣求函数φ（x）的单调区间；（Ⅱ）设直线l为函数f（x）的图象上一点A（x0，f（x0）处的切线，证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；转化思想；分析法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导函数，确定导数恒大于0，从而可得求函数φ（x）的单调区间；（Ⅱ）先求直线l为函数的图象上一点A（x0，f（x0））处的切线方程，再设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，），进而可得lnx0=，再证明在区间（1，+∞）上x0存在且唯一即可．【解答】（Ⅰ）解：φ（x）=f（x）﹣=lnx﹣，φ′（x）=+，∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0，∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）；（Ⅱ）证明：∵f′（x）=，∴f′（x0）=，∴切线l的方程为y﹣lnx0=（x﹣x0），即y=?x+lnx0﹣1，①设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，），∵g'（x）=ex，∴=，∴x1=﹣lnx0．∴直线l也为y﹣=（x+lnx0），即y=?x++，②由①②得lnx0﹣1=+，∴lnx0=．下证：在区间（1，+∞）上x0存在且唯一．由（Ⅰ）可知，φ（x）=lnx﹣在区间（1，+∞）上递增．又φ（e）=lne﹣=＜0，φ（e2）=lne2﹣=＞0，结合零点存在性定理，说明方程φ（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0．故结论成立．【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，函数的单调性，考查曲线的切线，同时考查零点存在性定理，综合性比较强．19.(本小题满分15分)

已知函数（Ⅰ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，设函数，若，求证参考答案：（Ⅰ）………………1分，即在上恒成立设，时，单调减，单调增，所以时，有最大值………………3分，所以………………5分（Ⅱ）当时，,,所以在上是增函数，上是减函数……………6分因为，所以即同理………………8分所以又因为当且仅当“”时，取等号………………10分又，………………12分所以所以所以：………………15分20.（本小题满分12分）已知中，所对的边分别是a,b,c,且，(1)求的值；(2)若，，求b的值。参考答案：（1）；（2）【知识点】余弦定理；正弦定理．解析：（1）由余弦定理得，则．

…………………4分(Ⅱ)由A+B+C=π有C=π-(A+B)，于是由已知sinB+sinC=得，即，将，代入整理得．①………7分根据，可得．代入①中，整理得8sin2B-4sinB+5=0，解得．

……………10分∴由正弦定理有．

………………12分【思路点拨】（1）利用余弦定理求出cosA，再利用平方关系，求sinA的值；（2）运用三角形的内角和定理和两角和的正弦公式及同角公式，即可求得sinB，再由正弦定理，即可得到b．21.已知梯形ABCD顶点B，C在以AD为直径的圆上，AD＝4米．（1）如图1，若电热丝由三线段AB，BC，CD组成，在AB，CD上每米可辐射1单位热量，在BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最大值；（2）如图2，若电热丝由弧，和弦BC这三部分组成，在弧，上每米可辐射1单位热量，在弦BC上每米可辐射2单位热量，请设计BC的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．图1

图2

参考答案：

解：设，

-------1分（1），------2分，----------3分总热量单位--------5分当时，取最大值，

此时米，总热量最大9（单位）.-----6分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.-----7分（2）总热量单位，，----10分

-----11分令，即，因，所以，-------12分当时，，为增函数，当时，，为减函数，----14分当时，取最大值，此时米.-----15分答：应设计长为米，电热丝辐射的总热量最大.----16分22.正项数列中，，其前项和满足：.

（Ⅰ）求与；