高三数学二轮复习 第一部分 基础送分题 题型专题（四）不等式用书 理-人教高三数学试题

题型专题(四)不等式(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．[题组练透]1．(2016·河北五校联考)如图，已知R是实数集，集合A＝{x|logeq\s\do9(\f(1,2))(x－1)>0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(2x－3,x)<0))，则阴影部分表示的集合是()A．[0，1]B．[0，1)C．(0，1)D．(0，1]解析：选D由题意可知A＝{x|1<x<2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(3,2)))，且图中阴影部分表示的是B∩(∁RA)＝{x|0<x≤1}，故选D.2．已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f(x)>0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)<0的解集是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))解析：选A由f(x)>0，得ax2＋(ab－1)x－b>0，又其解集是(－1，3)，∴a<0，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1－ab,a)＝2，,－\f(b,a)＝－3，))解得a＝－1或eq\f(1,3)(舍去)，∴a＝－1，b＝－3，∴f(x)＝－x2＋2x＋3，∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，解得x>eq\f(1,2)或x<－eq\f(3,2)，故选A.3．(2016·泉州质检)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg（x＋1），x≥0，,－x3，x<0，))则使得f(x)≤1成立的x的取值范围是________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,lg（x＋1）≤1))得0≤x≤9，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－x3≤1))得－1≤x＜0，故f(x)≤1的解集为[－1，9]．答案：[－1，9][技法融会]1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.基本不等式：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[题组练透]1．已知关于x的不等式2x＋eq\f(2,x－a)≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为()A．1B.eq\f(3,2)C．2D.eq\f(5,2)解析：选B2x＋eq\f(2,x－a)＝2(x－a)＋eq\f(2,x－a)＋2a≥2eq\r(2（x－a）·\f(2,x－a))＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，解得a≥eq\f(3,2)，即实数a的最小值为eq\f(3,2)，故选B.2．(2016·湖北七市联考)已知直线ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2eq\r(5)，则ab的最大值是()A．9B.eq\f(9,2)C．4D.eq\f(5,2)解析：选B将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r＝eq\r(5)，故直线过圆心，即a＋2b＝6，∴a＋2b＝6≥2eq\r(a·2b)，可得ab≤eq\f(9,2)，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是eq\f(9,2)，故选B.3．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，A．80元B．120元C．160元D．240元解析：选C设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长为xm，因为无盖长方体的容积为4m3，高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为eq\f(4,x)m，依题意，得y＝20×4＋10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2×4,x)))＝80＋20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥80＋20×2eq\r(x·\f(4,x))＝160eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝\f(4,x)，即x＝2时取等号)).所以该容器的最低总造价为160元．4．(2016·江西两市联考)已知x，y∈R＋，且x＋y＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝5，则x＋y的最大值是()A．3B.eq\f(7,2)C．4D.eq\f(9,2)解析：选C由x＋y＋eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝5，得5＝x＋y＋eq\f(x＋y,xy)，∵x>0，y>0，∴5≥x＋y＋eq\f(x＋y,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))\s\up12(2))＝x＋y＋eq\f(4,x＋y)，∴(x＋y)2－5(x＋y)＋4≤0，解得1≤x＋y≤4，∴x＋y的最大值是4.[技法融会]1．利用不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.解决线性规划问题的一般步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.(2)平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l和可行域边界的斜率的大小进行比较．(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．[题组练透]1．(2016·河南六市联考)已知实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1，,x＋y≤m，))如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝()A．6B．5C．4D．3解析：选B画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：y＝x，平移l可知，当直线l经过A时，z＝x－y取得最小值－1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x－y＝－1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))即A(2，3)，又A(2，3)在直线x＋y＝m上，∴m＝5，故选B.2．(2016·福建质检)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,y＋2≥0，,x＋y＋2≥0，))则(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为()A．1B.eq\f(9,2)C．5D．9解析：选B不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P(－2，－3)到直线x＋y＋2＝0的距离为eq\f(|－2－3＋2|,\r(2))＝eq\f(3,\r(2))，所以(x＋2)2＋(y＋3)2的最小值为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(2))))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,2)，故选B.3．(2016·全国甲卷)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0，))则z＝x－2y的最小值为________．解析：不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－3≥0，,x－3≤0))表示的可行域如图中阴影部分所示．由z＝x－2y得y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)z.平移直线y＝eq\f(1,2)x，易知经过点A(3，4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.答案：－54．(2016·山西质检)设实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－2≤0，,x－y＋1≥0，,x－2y－1≤0，))则eq\f(y－1,x－1)的最小值是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图所示，而eq\f(y－1,x－1)表示区域内一点(x，y)与点D(1，1)连线的斜率，∴当x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(4,3)时，eq\f(y－1,x－1)有最小值为－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)5．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下解析：设生产产品Ax件，产品By件，由已知可得约束条件为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x∈N，y∈N，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋y≤300，,10x＋3y≤900，,5x＋3y≤600，,x∈N，y∈N.))目标函数为z＝2100x＋900y，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0，当直线经过点B时，z取得最大值，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10x＋3y＝900，,5x＋3y＝600，))解得B(60，100)．则zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．答案：216000[技法融会]1．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(z,b)，可知eq\f(z,b)是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．1．不等式的可乘性(1)a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(2)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注．[题组练透]1．(2016·河南六市联考)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论不正确的是()A．a2<b2B．ab<b2C．a＋b<0D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：选D由题可知b<a<0，所以A，B，C正确，而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D错误，选D.2．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若eq\f(a,c)>eq\f(b,c)，则a>bC．若a3>b3且ab<0，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)D．若a2>b2且ab>0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)解析：选C当c＝0时，可知A不正确；当c<0时，可知B不正确；对于C，由a3>b3且ab<0知a>0且b<0，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)成立，C正确；当a<0且b<0时，可知D不正确．[技法融会]1．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．2．利用不等式性质解决问题的注意事项(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．一、选择题1．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，则a＝()A．2B．－2C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)解析：选B根据不等式与对应方程的关系知－1，－eq\f(1,2)是一元二次方程ax2＋x(a－1)－1＝0的两个根，所以－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,a)，所以a＝－2，故选B.2．(2016·北京高考)已知A(2，5)，B(4，1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为()A．－1B．3C．7D．8解析：选C作出线段AB，如图所示．作直线2x－y＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x－y取最大值为2×4－1＝7.3．(2016·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(3,2)C．1D．2解析：选C由题意可得a>0，①当x>0时，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≥2eq\r(a)＋2，当且仅当x＝eq\r(a)时取等号；②当x<0时，f(x)＝x＋eq\f(a,x)＋2≤－2eq\r(a)＋2，当且仅当x＝－eq\r(a)时取等号．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－2\r(a)＝0，,2\r(a)＋2＝4，))解得a＝1，故选C.4．已知函数f(x)＝(x－2)(ax＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f(2－x)>0的解集为()A．{x|x>2或x<－2}B．{x|－2<x<2}C．{x|x<0或x>4}D．{x|0<x<4}解析：选C由题意可知f(－x)＝f(x)，即(－x－2)·(－ax＋b)＝(x－2)(ax＋b)，(2a－b)x＝0恒成立，故2a－b＝0，即b＝2a，则f(x)＝a(x又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a>0.f(2－x)>0即ax(x－4)>0，解得x<0或x>4.故选C.5．(2016·赣中南五校联考)对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：①若ac2>bc2，且c≠0，则a>b；②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b).其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B①ac2>bc2，且c≠0，则a>b，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a，b，c，d均为正数才成立；④错误，比如：令a＝－1，b＝－2，满足－1>－2，但eq\f(1,－1)<eq\f(1,－2).故选B.6．(2016·安徽江南十校联考)若x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－y≥0，,x＋y－4≤0，,y≥\f(1,2)x2，))则z＝y－x的取值范围为()A．[－2，2]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))C．[－1，2]D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))解析：选B作出可行域(图略)，设直线l：y＝x＋z，平移直线l，易知当l过直线3x－y＝0与x＋y－4＝0的交点(1，3)时，z取得最大值2；当l与抛物线y＝eq\f(1,2)x2相切时，z取得最小值，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(z＝y－x，,y＝\f(1,2)x2，))消去y得x2－2x－2z＝0，由Δ＝4＋8z＝0，得z＝－eq\f(1,2)，故－eq\f(1,2)≤z≤2，故选B.7．(2016·河北五校联考)若对任意正实数x，不等式eq\f(1,x2＋1)≤eq\f(a,x)恒成立，则实数a的最小值为()A．1B.eq\r(2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(2),2)解析：选C因为eq\f(1,x2＋1)≤eq\f(a,x)，即a≥eq\f(x,x2＋1)，而eq\f(x,x2＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))≤eq\f(1,2)(当且仅当x＝1时取等号)，所以a≥eq\f(1,2).故选C.8．(2016·河南八市联考)已知a>0，x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥a（x－3），))若z＝3x＋2y的最小值为1，则a＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D．1解析：选B根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z＝3x＋2y变形为y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)，得到斜率为－eq\f(3,2)，在y轴上的截距为eq\f(z,2)，随z变化的一族平行直线，当直线z＝3x＋2y经过点B时，截距eq\f(z,2)最小，即z最小，又B点坐标为(1，－2a)，代入3x＋2y＝1，得3－4a＝1，得a＝eq\f(1,2)，故选B.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元解析：选D设该企业每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，每天获得的利润为z万元，则有z＝3x＋4y，由题意得x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，,x≥0，,y≥0，))作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x＋4y－z＝0过点B(2，3)时，z取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.10．(2016·湖北七市联考)设向量a＝(1，k)，b＝(x，y)，记a与b的夹角为θ.若对所有满足不等式|x－2|≤y≤1的x，y，都有θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则实数k的取值范围是()A．(－1，＋∞)B．(－1，0)∪(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：选D首先画出不等式|x－2|≤y≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令z＝a·b＝x＋ky，∴问题等价于当可行域为△ABC时，z>0恒成立，且a与b方向不相同，将△ABC的三个端点值代入，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋1>0，,k＋3>0，,2＋0·k>0，))解得k>－1，当a与b方向相同时，1·y＝x·k，则k＝eq\f(y,x)∈[0，1]，∴实数k的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D.11．若两个正实数x，y满足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，且不等式x＋eq\f(y,4)<m2－3m有解，则实数m的取值范围是()A．(－1，4)B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4，1)D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B由题可知，1＝eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥2eq\r(\f(4,xy))＝eq\f(4,\r(xy))，即eq\r(xy)≥4，于是有m2－3m>x＋eq\f(y,4)≥eq\r(xy)≥4，故m2－3m>4，化简得(m＋1)(m－4)>0，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导函数为f′(x)．若∀x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，则eq\f(b2,a2＋2c2)的最大值为()A.eq\r(6)＋2B.eq\r(6)－2C．2eq\r(2)＋2D．2eq\r(2)－2解析：选B由题意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立，得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，则a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，则eq\f(b2,a2＋2c2)≤eq\f(4ac－4a2,a2＋2c2)＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)－1)),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))\s\up12(2)＋1)，又4ac－4a2≥0，∴4·eq\f(c,a)－4≥0，∴eq\f(c,a)－1≥0，令t＝eq\f(c,a)－1，则t≥0.当t>0时，eq\f(b2,a2＋2c2)≤eq\f(4t,2t2＋4t＋3)＝eq\f(4,2t＋\f(3,t)＋4)≤eq\f(4,2\r(6)＋4)＝eq\r(6)－2(当且仅当t＝eq\f(\r(6),2)时等号成立)，当t＝0时，eq\f(b2,a2＋2c2)＝0，故eq\f(b2,a2＋2c2)的最大值为eq\r(6)－2，故选B.二、填空题13．(2016·湖北华师一附中联考)若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．解析：因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2eq\r(2x×22y)＝2eq\r(2x＋2y)，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，x＋2y取得最大值2.答案：214．