奥数-二次根式-2师

第二讲二次根式2

一、基础知识

(一)二次根式的定义

式子&(a20)叫做二次根式，这里“可以是数，也可以是代数式，但。必须是非负的.&(a»0)的

运算结果也是非负的.

(二)二次根式的性质

(1)(GT=a(a>0)

a(a〉0)

(2)=同=<0(a=0)

-a(a<0)

(三)二次根式的化简与运算

(1)4ab=y[a-y/b(«>Q,b>0)

la_4a

(2)(a>0,b>Q)

b4b

(3)若aNbN。,则

(4)最简二次根式

(5)同类二次根式与根式的加减法：a&+b&=(a+b)&(c>0)

(四)共转因式

例如G与&-4b就是一对共朝因式，又叫互为有理化因式.

(五)复合二次根式的化简

我们把二次根式中套叠着二次根式的式子叫做复合二次根式.如而而，4a+'b-五都是复合

二次根式，把复合二次根式化简需要灵活运用二次根式的性质和运算法则.

复合二次根式Ja土斯可以简化为两个简单根式的代数和的条件是：

(1)a>Q,b>0j

(2)a?—人=左2(左为正数).

复合二次根式化简的方法有以下三种：

(1)配方法

比如，若Ja+2新中的a+27K能配成(/+6)2(%>0,y>0,x>y),这样就可以把原复合二

次根式化为6+亦，这就要求找到x,y(x>y),使得x+y-a,xy—b

(2)待定系数法

(3)公式法

由待定系数法设=6±6,即可推出公式

（4）化简二次根式的常用方法有因式分解法、公式法、换元法、利用非负数的性质等

二、经典例题

（一）二次根式的概念与性质

例1.（2005年锦州市中考题）已知-g＜x＜；,化简J（3尤+2）2—,1—4%++网.

12

解答：若OV九〈上，则原式二10x+l；若—则原式=1

23

h丫2+4_/i.4

例2.（全国初中数学联赛试题）若XWO,求^------------------的最大值.

x

解析:在分数中当分子一定时,分母越小则分数值越大,但在原题中,直接观察不出结果,想到将分子进行有

理化,再进行观察,从而求出最大值.

原式=+=X此时分母大于分子

xV1+x2+x4+A/1+x4

xwO,它的值可正，可负。显然在x＞。的范围内取得最大值

X11

■,Vi+x2/7i77Ji^±L±

++XV++%2+v+X2

而—+与=(x—L)2+2当％-工=0时最小，最小值为2,此时X2+4+1也达到最小值3

XXXX"

1

1+X2+J_+X2+J_最小值为石+无，故原分式的最大值是=73-72

VX2Vx2V3+V2

（二）二次根式的化简与运算

例3.（南昌市数学竞赛试题）计算J3633x3635x3639*3641+36-3636x3638

解析：此题是较麻烦得数字计算，直接计算运算量太大，想到用字母来代数，以达到简化计算的目的。

令3637=a

原式

=7（«-4）（a-2）（«+2）（a+4）+36-（a-l）（a+1）

=7（«2-10）2+l-a2

=a2-10+l-a2=-9

例4.（美国竞赛试题）化简厂2%

V2+V3+V5

解析:原式=

_(2+27273+3)-5

一立+6+亚

_(也+也寸一(退)。

—V2+V3+75

(V2++75)(72+V3-V5)

—V2+V3+V5

=yfo,+,\/3—,^5

例5.(2006年“希望杯”培训题)已知c>l,x=无—J=，y=4c+l~4c,z=Vc+2-Vc+l,

比较X、y、z的大小.

解答:x>y>z

（1992年华罗庚金杯邀请赛）若」^的整数部分是a,小数部分是b,求的值.

例6.

3-V7

分母有理化，。=2/=五」，故原式=10

解答:

2

111

例7.（2001年全美竞赛题）P=求P的值.

271+72+372+2^+",+100799+99A^00'

11■Jn+1-4n11

解答:

(n+D&+m/"+1+1)(J九+1+5)\n(n+1)&J〃+l

故原式='9

10

（三）复合二次根式的化简

例8.（“希望杯”培训题）已知a+Z?=J”演+a-b771992-71991，求

J1991

解答：将已知条件中两个式子分别平方，可得加丁

例9.（北京市8年级数学竞赛试题）化简

，3-20+75-276+77-2^/12+也-2画+411-2A+J13-2疝+J15-2廊

_________解答：这

+717-2772

是一道多个复合二次根式的化简题,只须将每个复合二次根式迅速.正确化简就可

达到目的.

原式=J（0-1）2+J（6-3）2+-6）2+A/（A/5-V4）2

（娓一书）2+J（近一#）2+N（温一币）2+J（血一指）2

=（A/2—1）+（6-+（A/4—^）+（6-

+（述-6++（近-倔

+（次-"+（"而）=-1+3=2

3+2叵-6-屈3+行®痴

例10.（2000年徐州市竞赛题）（1）化简;（2）化简

1+V2-V31+V2-V3

1+后-百

解答：（1）原式=1+0；（2）原式=

2

（四）根式运算中的一些解题方法和技巧

根式运算中涉及的方法是较多的，但关键还在于掌握基本概念，灵活运用.

例11.（1999年全国竞赛）如果a+Z?—2ja—l-4jb-2=3jc—3—£一5,求a,4c的值.

2

解答：配方法.原式可变形为（J^二1—1）2+（55—2）2+g（G^—3）2=0,

故解得a=21=6,c=12

例12.（1991年日本奥林匹克竞赛题）化简M=业+6+函+〔8-,40+8君

解答：M2=16+2也4-8后=16+4,6-2岔=12+46,由于河＞0,

故M=712+475=V10+V2

例13.（1981年罗马尼亚竞赛题）求根式J2+J2+72+C的值.

解答：设原式=x,=x,平方，得2+X=%2,由于1>0,故X=2

x

例14.（第19届全苏奥林匹克）解方程=1（该方程中有2006个2）

x

2+---------二

2+———

2+v

2+——,=

1+Vl+x

解答：分母有理化，原方程很容易化成：WZT-1=1,所以而1=2,x=3

例15（全国初中数学联赛）设1995%3=1996/=1997Z3,A^Z>0,且有

#1995d+1996/+1997z?=+加997,试求J_+L+工的值。

xyz

解答：设1995d=1996V=1997Z3=F,则有册砺.%=左,；2=边至，同理

xk

1^/19961^/1997

.-.-+-+-=-（^1995+^/1996+^1997）⑴

yzkxyzk

由已知式：41995/+1996万+1997z?=5砺+观丽+班研，结合（D式可得

k3k3k3

3,

xyzLxLy3z

k,3（—I----1—

\xyzxyz

111

.­.3（1+1+1）=1+14（2）,—I----1—W。,_ELxyz〉0,

Vxyzxyzxyz

由（2）式得'+'+'=1

xyz

三、练习

1.（第5届“希望杯”试题）已知Ja—Z?—2石+（“+/?—2应甘=0,求2的值.

a

解答：〃=血+百力=行—6,故2=26—5

a

2.（全国初中数学竞赛试题）已知«=蚯_」，求x+2+或三*的值

蚯x+2-6+4x

解答：由已知得

x—*\/2H--^=-■-2,x+2—H—1=

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