一道高考题的探索历程

一道高考题的探索历程一道高考题的探索历程：探究数学题目的解法引言：高考作为全国范围内的一项重要考试，对考生的数学能力提出了较高的要求。因此，考试中的试题往往需要运用一定的数学方法和思路来解答。本文将以一道高考数学题为例，探讨其解题思路和解法，旨在帮助考生深入理解数学，提高解题技巧。一、题目背景和分析题目：已知函数f(x)=2x^3-9x^2+12x-7，若方程f(x)=k有六个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(-∞,-7)B.(-7,-3)C.(-3,4)D.(4,8)首先，我们了解到题目涉及函数的根，即方程的解。再进一步分析题目中给出的函数f(x)是一个三次函数，其次方项系数为正数，这意味着它的图像是一个开口向上的抛物线，而三次函数一般会有一个或者三个实数根。因此，我们猜测答案应该是A.(-∞,-7)或D.(4,8)。二、解题思路的拓展针对此题，我们可以尝试用数学的方法来解答。首先，我们需要确定函数f(x)和实数k之间的关系。由于函数f(x)是一个三次函数，对应的方程f(x)=k也是一个三次方程。因此，我们可以考虑找到k对应的三次方程的判别式，并据此判断k的取值范围。三、解题过程的展开步骤1：求出方程f(x)=k的判别式首先，我们需要将函数f(x)与实数k相等，得到方程f(x)=k。根据已知条件，我们有2x^3-9x^2+12x-7=k，可将其整理为2x^3-9x^2+12x-(k+7)=0。此时，我们的目标是确定三次方程的判别式。根据判别式公式，对于一元三次方程Ax^3+Bx^2+Cx+D=0，判别式为Δ=B^2C^2-4AC^3-4B^3D-27A^2D^2+18ABCD。根据这个公式，我们可以得到方程2x^3-9x^2+12x-(k+7)=0的判别式为Δ=(-9)^2(12)^2-4(2)(12)^3-4(-9)^3(k+7)-27(2)^2(k+7)^2+18(-9)(2)(k+7)(k+7)。步骤2：通过判别式确定实数k的取值范围根据步骤1中得到的判别式Δ=(-9)^2(12)^2-4(2)(12)^3-4(-9)^3(k+7)-27(2)^2(k+7)^2+18(-9)(2)(k+7)(k+7)，我们可以将判别式化简为Δ=81(144)-4(2)(12)^3-4(-9)^3(k+7)-27(2)^2(k+7)^2+18(-9)(2)(k+7)(k+7)。进一步化简，得到Δ=11664-4608(12)^2-4(-9)^3(k+7)-108(2)^2(k+7)^2+36(-9)(k+7)(k+7)。继续化简，得到Δ=11664-4608(12)^2-4(-9)^3(k+7)-108(2)^2(k+7)^2-36(9)(k+7)(k+7)。根据判别式Δ的表达式，我们可以尝试从中推导出实数k的取值范围。具体来说，我们需要找到Δ的不等式条件，以确定k的取值范围。第一步，我们观察Δ=11664-4608(12)^2-4(-9)^3(k+7)-108(2)^2(k+7)^2-36(9)(k+7)(k+7)的各项。我们发现，其中第二项4608(12)^2非常大，远远超过其他项，因此我们可以将其略去。第二步，我们需要确定剩下项的符号。考虑到方程f(x)=k的六个实数根，我们可以将其表示为三对相异因子的乘积，即(x-a)(x-b)(x-c)=0。根据二次根与系数的关系，我们可以推导出三次根与系数的关系。具体来说，若方程Ax^3+Bx^2+Cx+D=0的根为a、b、c，则a+b+c=-B/A，ab+ac+bc=C/A，abc=-D/A。综上所述，我们可以将函数f(x)=2x^3-9x^2+12x-7的三次根与系数的关系表示为-(-9)/2=a+b+c，-(12)/2=ab+ac+bc，-(7)/2=abc。进一步化简，得到9/2=a+b+c，-6=ab+ac+bc，-7/2=abc。那么，我们可以将(k+7)/2替换abc的位置，得到的是三个关于a、b、c和k的关系式为9/2=a+b+c，-6=ab+ac+bc，(k+7)/2=abc。第三步，我们将这些关系式代入判别式Δ=11664-4(-9)^3(k+7)-108(2)^2(k+7)^2-36(9)(k+7)(k+7)中。进一步化简，我们可以得到Δ=11664+5832(k+7)-108(2)^2(k+7)^2-36(9)(k+7)(k+7)=11664+5832k+40824-432(k+7)^2-36(k+7)^2=5832k+52512-592k^2-252k-1764-36k^2-252k-1764。对Δ进行整理，得到Δ=-628k^2+13152k-4056。我们可以将Δ写为关于k的标准形式，即Δ=-628k^2+13152k-4056>0。考虑到三次根与系数的关系，我们可以得到关系a+b+c=9/2，ab+ac+bc=-6和abc=(k+7)/2。对这些关系式进行整理，我们可以得到a^2+b^2+c^2=(9/2)^2-2(-6)=81/4+12=(117/2)^2，(a+b+c)^2=(9/2)^2=(81/4)。将这些关系式代入ab+ac+bc=-6，得到-(a+b+c)^2+3(a^2+b^2+c^2)=-(81/4)+3*(117/4)=108/4=27。根据以上推理，我们可以得出结论，即当Δ>0时，方程有六个不同的实数根。而根据Δ=-628k^2+13152k-4056>0可得k的取值范围。我们将Δ的标准形式转化为二次不等式的标准形式，即-628k^2+13152k-4056>0，在数学上以图像法解决这个不等式问题。这是一个二次函数关于k的开口向下的抛物线，可以通过求解二次方程的判别式和计算开口方向来判断k的取值范围。四、结论与启示通过以上的推导与计算，我们可以得出如下结论：当-628k^2+13152k-4056>0时，方程f(x)=k有六个不同的实数根。而，-628k^2+13152k-4056的解为33<k<72/157，对应于D.(4,8)。因此，实数k的取值范围是(4,8)。