新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：第5章函数的奇偶性

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5.4函数的奇偶性

第1课时函数奇偶性的概念

课程

结合具体函数.「解奇偶性的概念和几何意义

标准

》基础认知•自主学习《

概念认知

函数的奇偶性

⑴奇偶性:

奇偶性偶函数奇函数

条件设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于任意的xeA，都有-xeA

前提f(-x)=f(x)f(-X)=-f(x)

结论函数y=f(x)是偶函数函数y=f(x)是奇函数

图象特点关于谢对称关于原点对称

⑵本质：奇偶性是函数对称性的表示方法.

⑶应用：奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个X,

都有f(-X)=-f(x)(或f(-X)=f(x)),才能说f(x)是奇(偶)函数.

自我小测

1.(2021.南京高一检测)若f(x)是定义在区间[a-2,5]上的奇函数，

贝Ua二.

易知a-2+5=0,所以a=-3.

M口：空•_~Q

2.下列函数为奇函数的是()

A.y=|x|B.y=3-x

C.y=!D.y=-x2+14

X

选C.A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而

C项中函数为奇函数.

3.对于定义在R上的任何奇函数f(x)都有()

A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)<0

C.f(x).[-f(-x)]<0D.f(x).[-f(-x)]>0

选D.因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)-[-f(-x)]=

f2(x)>0.

4.设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)=f(x)-f(-x)在R

上一定()

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

选A.F(-x)=f(-x)-f(x)

=-[f(x)-f(-x)]=-F(x),符合奇函数的定义.

5.如图，给出奇函数y=f(x)的局部图象，则f(-2)+f(-1)的值为

A.1B.0C.-2D.2

-13

选C.由题图知f(l)=],f(2)=],

,31

又f(x)为奇函数，所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(l)=--2=-2.

6.下列函数为奇函数的是_______.(填序号)

(l)y=x；(2)y=2x2-3；(3)y=y/x；

(4)y=x3,xG[O,1].

⑴中函数是奇函数；(2)中函数是偶函数；(3)(4)中函数是非奇非偶函

数.

答案：(1)

7.已知奇函数y=f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象

如图所示.

⑴画出在区间［-5,0］上的图象.

⑵写出使f(x)<0的x的取值范围.

⑴因为函数f(x)是奇函数，所以y=f(x)在［-5,5］上的图象关于原点

对称.

由y=f(x)在［0,5］上的图象，可知它在［-5,0］上的图象，如图所示.

(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值范围为(-2,0)U(2,5).

为学情诊断•课时测评《

基础全面练

一、选择题

1.(2021.淮安高一检测)函数f(x)的图象关于()

A.

A.x轴对称B.原点对称

C.y轴对称D.直线y=x对称

选B.易证明此函数为奇函数，故图象关于原点对称.

2.下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是(

选B.A,D不是函数；C是偶函数.

3.已知心)=*5+2*3+6*-8，且f(-2)=10,贝Uf(2)等于()

A.-26B.-18C.-10D.10

选A.令g(x)=x5+ax3+bx,

函数f(x)的定义域为R.

因为对于任意xGR,都有-x£R,且g(-x)=-g(x),所以g(x)为

奇函数.

又因为f(x)=g(x)-8,所以f(-2)=g(-2)-8=10今g(-2)=18.所以

g(2)=-18.

所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.

4.若f(x)=(ax+l)(x-a)为偶函数,且函数y=f(x)在xe(0,+oo)

上是增函数，则实数a的值为()

A.±1B.-1C.1D.0

选C.因为f(x)=(ax+l)(x-a)=ax2+(l-a2)x-a为偶函数，所以1-

a2=0.所以a=±1.当a=1时，f(x)=x?-1,在(0,+8)上是增函数，

满足条件；当a=-1时，f(x)=-x2+1,在(0,+8)上单调递减，不

满足条件.

5.函数f(x)=|x+1|-|x-1|为()

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数也是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

选A.f(x)的定义域为R,

对于任意x£R,f(-x)=|-x+1|-|-x-1|

=|x-1|-|x+1|=-f(x),

所以f(x)为奇函数.又f(-1)=-2,f⑴=2,

f(-l)#f(l),所以f(x)不是偶函数.

6.已知f(x)=ax2+bx是定义在区间［aT,2a］上的偶函数,那么a

1111

A-B-cD

-332--2-

选B.依题目b=0,且2a=-(a-1),

所以b=0且a=；，所以a+b=；.

7.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函

数，则下列结论中正确的是()

A.f(x)g(x)是彳禺函数

B.|f(x)|g(x)是奇函数

c.f(x)|g(x)|是奇函数

D.|f(x)g(x)|是奇函数

选C.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，

故f(x)g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|

为偶函数.

8.(多选)下列说法正确的是()

A.f(x)=|x+1|+|x-1是奇函数

B.g(x)=।—1------既不是奇函数也不是偶函数

|x+2|-2

C.F(x)二f(x)f(-x)(x£R)是偶函数

D.h(x)=yjx2-1+\jl-x2既是奇函数,又是偶函数

选CD.对于A项,因为f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x+1|+|x-1|=

f(x),所以f(x)是偶函数，A错误；

对于B项，由1-，得-IgxSl,关于原点对称.

满足g(-x)=-g(x),故g(x)是奇函数,B项错误；

对于C项,因为F(x)=f(x)f(-x),

所以F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)(xeR),

所以F(x)=f(x)f(-x)是偶函数，C项正确；

X2-1>0,

对于D项，由解得x=±I.

1-x2>0,

故函数h(x)的定义域为{-1,1},且h(x)=O,

所以h(x)既是奇函数，又是偶函数，D项正确.

二、填空题

9.已知函数f(x)=yjx2-2+3^2-x2,贝Uf(x)的奇偶性为

要使函数有意义，需满足x2-2>0,2-x2>0,所以x=地,此时y

=0，因此函数图象为点(地,0),既关于原点对称又关于y轴对称,

因此函数既是奇函数又是偶函数.

答案：既是奇函数又是偶函数

F=FF-=-(1+A/2'

1-V2(1-^2)(1+^2)，

因为f(x)是奇函数，

所以=f[-(l+V2)]=-f(l+V2).

所以f(l+也)+flJ=0.

答案：0

三、解答题

11.判断下列函数的奇偶性.

(l)f(x)=|2x+l|-|2x-1|；

fx(X-2),x>0,

(2)f(x)=]

[-x(x+2),x<0.

(D奇函数.定义域为R.

因为f(-x)=|-2x+1|-|-2x-1|=|2x-1|-|2x+1|=-f(x)所以f(x)

为奇函数.

⑵奇函数.画出其图象如图，可见f(x)的定义域为R,且图象关于原

点对称，所以f(x)为奇函数.

12.设函数f(x)=x2-4|x|+3,(x£[-4,4]).

⑴求证：f(x)是偶函数；

⑵画出函数y=|f(x]的图象，指出函数f(x)的单调区间；(不需要证明)

(3)求函数|f(x)的值域.

⑴函数的定义域关于原点对称，

f(-x)=(-x)2-4|-x|+3=x2-4|x|+3

=f(x),则f(x)是偶函数.

(2)由f(x)=x2-4|x|+3>0得|x|>3或|x|<1,

x2-4|x|+3,|x|<l或3<|x|<4,

即y=|f(x)|二j

[-X2+4|X|-3,1<|X|<3,

则对应的图象如图：

由图象知函数的增区间为[-3,-2],[-1,0],[1,2],[3,4],减

区间为[-4,-3),(-2,-1),(0,1),(2,3).

⑶当x=0或*=4或*=-4时，函数|f(x)|取得最大值为|f(0)|=3,函

数的最小值为0,即函数|f(x)的值域为[0,3].

综合突破练

一、选择题

1.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)

=x3+x?+x,则f(l)+g(l)=()

A.1B.3C.-3D.-1

选D.由f(x)-g(x)=x3+x2+X,将X替换成-X,得f(-x)-g(-x)=

-X3+X2-X.

因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f(x)=f(-x),

g(-X)=-g(x),

所以f(x)+g(x)=-X3+X2-X,再令x=1,计算可得f(l)+g(l)=

-1.

2<2021•武汉高一检测)函数f(x)=x3+x+S-8(a£R)在区间［m,n］

X

上的最大值为10，则函数f(x)在区间［-n,-m］上的最小值为()

A.-10B.-8C.-26D.与a有关

选设3，贝,即,故

C.g(x)=x+x+A.Qf(x)=g(x)-8g(x)=f(x)+8g(x)

在区I旬［m,n］上的最大值为g(x)max=f(x)max+8=18,

又易见g(-x)=-g(x),即g(X)是奇函数,图象关于原点中心对称,

故g(x)在区间［-n,-m］上的最小值为g(X)min=-18=f(X)min+8,

故f(x)在区间［-n,-m］上的最小值为f(x)min=-26.

3.若函数f(x)为奇函数，且在(0,+8)内是增函数，又f(2)=0,则

f(x)-f(-x)

的解集为（

X<0)

A.(-2,0)U(0,2)B.(-oo,-2)U(0,2)

C.(-oo,-2)U(2,+oo)D.(-2,0)U(2,+00)

选A.结合函数图象，因为函数f(x)为奇函数，且在(0,+8)内是增函

数，f(2)=0,

所以x>2或-2<x<0时，f(x)>0；x<-2或0<x<2时，f(x)<0；

f(X)-f(-X)f(X)

；即---,可知-或

----------X-----------<--0-X,<02<x<00<x<2.

4.（多选）（2021.重庆高一检测）已知定义在R上的函数h（x）的图象是

连续不断的，且满足以下条件：①VxGR,h(-x)=h(x)；②Vxi,

h(X2)-h(xi)

X2£(0,+8),当X1#X2时，者口有>0；③h(-3)=

X2-Xl

0.则下列选项成立的是()

A.h(5)>h(-6)

h(x-1)zx

B.若----;----〉0,贝」X£(-8,-2)U(0,1JU(4,+8)

X

C.若h(2a-l)<h(2),则

D.Vx£R,aMGR，使得h(x)NM

选CD.定义在R上函数h(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：

①VxGR,h(-x)=h(x),说明函数是偶函数,满足h(x)=h(|x|);

一h(X2)-h(xi)

②VXl,X2W(0,+8),当X1#X2时，者口有>0,说

X2-Xl

明函数在x40,+8)上是增函数；

③h(-3)=0=h(3),所以h(5)<h(6)=h(-6),则选项A不正确；

h(x-1)

若；>0,又h(x)=h(|x|),

,h(|x-1|)〉0或]h(|x-l|)<0

_x>0[x<0

rmX-1>3TX-1<3

则।।或I1

x>0[x<0

解得x£(-2,0)U(4,+oo),选项B不正确;

13

得-

若h(2a-l)<h(2),即12a2-2,故选项C正确；

因为定义在R上的函数h(x)的图象是连续不断的，且在x£(0,+8)

上单调递增，所以小网=h(0),所以对VxGR,只需MSh(O)即可，

故选项D正确.

二、填空题

5.若函数f(x)=(X+&)小2+1为R上的奇函数，则a=.

因为f(x)=(x+a)Nx2+1为R上的奇函数,所以f(0)=ax^O+1=

a=0,止匕时f(x)=xyjx2+1,所以f(-x)=-x\J(-x)2+1=-

x^yX2+1=-f(x),即函数f(x)=x#2+1是奇函数，所以a=0满

足题意.

答案：0

6.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=X?+1,则f(-

2)=,f(0)=

由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0.

答案：-50

Ix?+xxV()

7.已知函数f(x)=\为奇函数，则a+b=_______.

[ax2+bx,x>0

由函数f(x)为奇函数，得f(-1)+f(l)=0,

5Z.f(-1)=0,f(l)=a+b,所以a+b=0.

答案：0

8.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f(I)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-

1)=•

因为y=f(x)+x2为奇函数，

所以f(-x)+x2=-f(x)-X2,

所以f(-X)=-f(x)-2x2,

又g(l)=f(l)+2=3,

所以g(-l)=f(-1)+2=-f(l)-2+2

=-f(l)=-I.

答案：-1

三、解答题

9.已知函数f(x)=x+仁(a£R,x#0).

⑴讨论f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若f(x)在区间[1,+8)上是增函数,求实数a的取值范围.

⑴根据题意，对于函数f(x)=x+2,

若a=0,则f(x)=x,易得f(x)为奇函数,

若a#0，贝Uf(x)=x+点,其定义域为{x|x#O},

f(-x)=-x+1，有f(-x)#f(x)且f(-x)#-f(x),f(x)为非奇非偶函

数；

⑵根据题意,当xNl,则有f(x)=x+1,

设1<X1<X2,则f(Xl)-f(x2)=卜+5)■卜2+9二(XI-

/\

、X1X2-a

X2)----------,

IX1X2)

若f(x)在区间[1,+8)上是增函数，

/\