子集和补集 教案 高中数学新湘教版必修第一册（2022-2023学年）

1.1.2子集和补集

最新课程标准学科核心素养

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给1.能识别给定集合的子集、真子集.（逻辑推理）

定集合的子集.2.会列举有限集的所有子集、真子集的方

2.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会法.（逻辑推理）

图形对理解抽象概念的作用.3.会判断集合间的关系，并能用符号和Venn

3.在具体情境中，了解空集的含义.图表示.（直观想象）

4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，4.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确地

能求给定子集的补集.进行集合的补集运算.（数学运算）

新知初探

教材要点

要点一子集

文字语言符号语言图形语言

如果集合4的________元素由xGA,能推出就说

都是集合B的元素，就说4__________，读作

包含于B,或者说B包含A,____________或

则称A是B的一个子集.

状元随笔（1）集合A为集合B的子集，表明集合A如果存在元素，则它们都是集合B的元

素，但集合B的元素则不一定是集合A的元素；（2）符号笛”和的使用范围是不

一样的，前者用于表示元素和集合的关系，后者用于表示集合和集合的关系.

要点二集合相等

如果AU8并且BUA,就说两个集合相等，记作4=5

状元随笔

1.若AUB,且BUA,贝IJA=B：反之，如果A=B,则AUB,且BUA.

2.若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.

要点三真子集

如果AUB但ArB,就说A是8的真子集，记作.

状元随笔在真子集的定义中，A星B首先要满足AUB,其次至少有一个xWB,但X&A.

要点四子集的性质

1.每一个集合都是它自己的子集，即AUA.

2.空集是任一集合的子集.

3.对于集合A,B,C,若AUB,BUC,则AUC；若A曝B,B氧,则A*C.

要点五全集与补集

1.全集：如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定把集

合U叫作全集(或基本集).

状元随笔全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题,

Z是全集；在实数范围内研究问题，R是全集；在具体题目中，全集一般是给定的.

2.补集

若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集叫作A的补

自然语言

集，记作________

符号语言[uA=______________________

图形语言

AU（[UA）=________,an（[〃）=________,

运算性质

状元随笔(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合A的补

集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它

们是相互依存、不可分割的两个概念.

(2)1uA包含三层意思：①AUU；②(uA是一个集合，且(CuA)UU；③[uA是由U中所有不

属于A的元素构成的集合.

(3)若xGU,贝iJxGA或xe(CuA),二者必居其一.

基础检测

1.思考辨析(正确的画W”,错误的画“X”)

(1){0,1}={1,0)={(0,1)).()

(2)如果集合BUA,那么若元素。不属于A,则必不属于8.()

(3)任何集合都有子集和真子集.()

(4)在全集U中存在某个元素xo，既有沏44又有助阵([必).()

2.已知集合M={x£Z|l307t},若集合M有4个子集，则实数加=()

A.1B.2

C.3D.4

3.(多选)已知集合A={x|f-1=0},则下列式子表示正确的是()

A.ieAB.{-l}eA

C.0£AD.{-1,\]QA

4.设全集U={〃£N|1W彷10},A={1,2,3,5,8},则「必=.

题型探究

题型1集合的子集、真子集问题

例1⑴满足{a,b,c,d,e}的集合M的个数为()

A.6B.7

C.8D.9

(2)已知集合4={(x,y)\x+y=2,x,y《N},试写出A的所有子集.

方法归纳

1.假设集合A中含有〃个元素，则有：

(1M的子集有2"个；

(2)4的非空子集有(2"-1)个；

(3)A的真子集有(2"-1)个；

(4)4的非空真子集有(2"-2)个.

2.求给定集合的子集的两个注意点：

(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；

(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.

跟踪训练1(1)若集合A={xeZ|TVxV2},则A的真子集个数为()

A.1B.2

C.3D.4

(2)写出满足{3,4摩尸={0,1,2,3,4}的所有集合P.

题型2集合间关系的判断

例2指出下列各组集合之间的关系：

(l)A={x|-l<x<5},B={x|0Vx<5}；

(2)A={x|x=2"，nGZ},B={x|x=4n,〃GZ}；

(3)A={(x,y)|xy>0},B={(x,y)\x>0,y>0或x<0,yVO}；

(4)A={x|x=l+/,aGN*},B={x|x=/-4a+5,”GN*}.

方法归纳

判断集合间关系的方法

(1)用定义判断

首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合8,若是，则AUB,否则A不是8

的子集；

其次，判断另一个集合8中的任意元素是否属于第一个集合A,若是，则BUA,否则8不

是4的子集；

若既有AU8,又有BUA,则4=8.

(2)数形结合判断

对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的

取舍.

跟踪训练2(1)若集合例={x|f-l=0},T={-\,0,I},则M与7的关系是()

A砥7B.MT

C.M=TD.M(rr

(2)设M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关

系为()

A.PGNGMGQB.QaMGNGP

C.P^MQNQQD.QQNQMQP

题型3补集运算

例3(1)设集合U=R,M={x|x>2或x<-2},则CuM=()

A.{x|-2<r<2}B.{x|-2<x<2}

C.{4r<-2或x>2}D.{x降-2或应2}

(2)设{/={0,1,2,3},A^{x&U\x1+mx^O],若[必={1,2},则实数，〃=.

方法归纳

求补集的原则和方法

(1)一个基本原则.

求给定集合A的补集，从全集。中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集

合即为4的补集.

(2)两种求解方法：

①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴

上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍.

②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解.

跟踪训练3已知全集U={x|定-3},集合A={x|-3<W},贝！.

易错辨析忽略空集的特殊性致误

例4设加=&|f-»3=0},N={x|«I=O},若N£M,求所有满足条件的〃的取值集合.

解析：由NUM,3},

得N=。或%={-1}或7={3}.

当N=0时，axT=0无解，即a=0.

当％={-1}时，由J=T,得a=T.

a

当N={3}时，由乙=3,得。=士

a3

故满足条件的〃的取值集合为{-1，0，

易错警示

易错原因纠错心得

忽略了N=0这种情况.空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”

的原则.

课堂练习

1.集合A={-1,0,1},在A的子集中，含有元素0的子集共有（）

A.2个B.4个

C.6个D.8个

2.（多选）下列说法正确的是（）

A.OG0B.0a{0}

C.若aeN,则-a&ND.HQ

3.已知集合4=国⑪=*},B={0,1,2］,若AUB,则实数a的值为（）

A.1或2B.0或1

C.0或2D.0或1或2

4.设集合4={*11|*+k1=0},8=&6期炉_'+1=0},则集合4,8之间的关系是.

5.已知集合4={川-14<2},B={x|x>l},求［RA,［RB.

参考答案

新知初探

要点一

每个AUB（或824）A包含于BB包含A

要点三

A些8

要点五

Ct/A{x\x&U,且依A}U0

［基础检测］

1.答案：（l）x（2）4（3）x（4）x

2.解析：根据题意，集合“有4个子集，则M中有2个元素，又由M="GZ|103«},其

元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m=2.

答案：B

3.解析：由4=*尺-1=0}={1,-1}知A、C、D正确，B错误.故选ACD.

答案：ACD

4.解析：由题意，得1/={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故[4={4,6,7,9,10).

答案：{4,6,7,9,10)

题型探究•课堂解透

例1解析：(1)根据题意，满足{a,b}^M^{a,b,c,d,e}的集合M有：{a,b,c},{a,

b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}共6个.

⑵因为A={(x,y)|x+y=2,x,yGN},所以4={(0,2),(1,1),(2,0)).所以A的子集有：

0,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},

{(0,2),(1,1),(2,0)).

答案：(1)A(2)见解析

跟踪训练1解析：(1)：集合A={xGZ|TVx<2}={0,1),

.,.集合4="€勾-14<2}的真子集为。，{0},{1},

所以A的真子集个数为3.故选C.

(2)由题意知，集合尸中一定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满

足题意的集合尸为：{0，3,4),{1,3,4},{2,3,4),[0,1,3,4},{0,2,3,4),

[1,2,3,4},{0,1,2,3,4).

答案：(1)C(2)见解析

例2解析：(1)将集合A,B在数轴上表示出来，如图所示.

L$工

-105K

(2)：4是偶数集，B是4的倍数集，星A.

(3)集合A中的元素是平面直角坐标系中第一、三象限内的点，集合B中的元素，也是平面

直角坐标系中第一、三象限内的点，故4=8.

(4)对于任意A,有x=1+〃=(a+2)2-4(a+2)+5

：aeN*,，a+2GN*.，xCB.由子集的定义知AQB.

设16B,此时〃-4a+5=1,

解得a=26N*,..T+a2=l在“eN*时无解，

...144综上所述，A^B.

跟踪训练2解析：(1)；M={X*T=0}={-1,1},T={-\,0,1)