行列式性质与计算

行列式性质与计算a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

=下页a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

=a11a22a33

ann.a1100…0a12a220…0a13a13a33…0a1na2na3n…ann

……………

=a11a22a33

ann.第2页,共23页，2024年2月25日，星期天

将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT(Transpose)或D

.即如果2.1行列式的性质a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

D=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann

…………

DT

=则.第2节

行列式的性质与计算显然，(DT)T=D.下页行列式的转置第3页,共23页，2024年2月25日，星期天性质3

用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式.即a11…kai1…an1

a12…kai2…an2

a1n…kain…ann

……………=k.a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………性质1

行列式与它的转置行列式相等，即D=DT.推论1

如果行列式的某一行(列)的元素全为零，则D＝0.性质2

互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.推论

如果行列式D中有两行(列)的元素相同，则D=0.

推论2

如果D中有两行(列)对应元素成比例，则D=0.下页第4页,共23页，2024年2月25日，星期天

性质4

若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和.即a11…ai1+bi1…an1a12…ai2+bi2…an2a1n…ain+bin…ann……………a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

=

性质5

将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

a11…ai1+kaj1…an1a12…ai2+kaj2…an2a1n…ain+kajn…ann……………=.+a11…bi1…an1

a12…bi2…an2

a1n…bin…ann

……………

.下页第5页,共23页，2024年2月25日，星期天行列式的计算要点：利用性质将其化为上（下）三角行列式，再进行计算.下页为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)

：以数k≠0乘以行列式的第i行，用kri表示；以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.交换行列式的第i行与第j行，用表示；（换法变换）（倍法变换）（消法变换）思考：这三种变换的结果分别是什么？第6页,共23页，2024年2月25日，星期天例1.计算行列式解：=-85.下页第7页,共23页，2024年2月25日，星期天例2.

计算行列式解：下页第8页,共23页，2024年2月25日，星期天例3.计算行列式解：

将各行都加到第一行，从第一行提取[x+(n-1)a]得下页第9页,共23页，2024年2月25日，星期天一、余子式与代数余子式

定义6

在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a

ij

所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij

的余子式，记作Mij.a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

例如，求4阶行列式中a32的代数余子式a11a21a41

a13a23a43

a14a24a44

M32

A32

(-1)3+2M32=-M32令Aij

(

1)i

jMij，Aij称为元素aij的代数余子式.2.2行列式按行(列)展开下页第10页,共23页，2024年2月25日，星期天

一、余子式与代数余子式

定义6

在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a

ij

所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij

的余子式，记作Mij.令Aij

(

1)i

jMij，Aij称为元素aij的代数余子式.a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

再如，求4阶行列式中a13的代数余子式a21a31a41

a22a32a42

a24a34a44

M13

A13

(-1)1+3M13=M13下页2.2行列式按行(列)展开第11页,共23页，2024年2月25日，星期天

定理4

n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即

定理5

n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即D

ai1Ai1

ai2Ai2

ainAin(i=1,2,

,n)，D

a1jA1j

a2jA2j

anj

Anj(j=1,2,

,n).ai1Aj1

ai2Aj2

ainAjn

0(i

j)，a1iA1j

a2iA2j

ani

Anj

0(i

j).二、展开定理下页第12页,共23页，2024年2月25日，星期天

例4．分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D=

解：按第一行展开13311-2311-213

a11A11

a12A12

a13A13D=1

(-1)1+1+0

(-1)1+2

(-1)1+3+(-2)=1

(-8)+0+(-2)

5=-18.三、利用展开定理计算行列式下页第13页,共23页，2024年2月25日，星期天按第二列展开1-2311-2-2111-23

=0+1

(-3)+3

(-1)

5=-3-15=-18.

例4．分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D=

解：按第一行展开

a11A11

a12A12

a1nA1nD=1

(-8)+0+(-2)

5=-18.

(-1)3+2+3

(-1)2+2+1

(-1)1+2=0

a12A12

a22A22

a32A32D下页第14页,共23页，2024年2月25日，星期天解：

将某行(列)化为一个非零元后展开例5．计算行列式1

2

34120-53-1-101

012D==(-1)(-1)3+2

7

147-2-51

126

029

0-11

12=1

(-1)2+2

692-1=-6-18=-24.7

0

1470-2-53-1-101

0121

2

34120-53-1-101

012D=下页第15页,共23页，2024年2月25日，星期天例6.

计算行列式解：下页第16页,共23页，2024年2月25日，星期天,(D2=5)解：例7.

计算行列式下页第17页,共23页，2024年2月25日，星期天证明：从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得例8.

证明范得蒙德（Vandermonde）行列式下页第18页,共23页，2024年2月25日，星期天下页第19页,共23页，2024年2